1、第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征1.联合分布联合分布2,NX第三章：二维随机变量（推广第三章：二维随机变量（推广n维）维）（9.3.8.1）是一个样本点）是一个样本点独立重复独立重复n次次nXXX ,21随机抽取随机抽取n个产品个产品测寿命值测寿命值概率统计研究：寻求理论支持概率统计研究：寻求理论支持 第一章：确定研究对象（第一章：确定研究对象（）第二章：建立随机变量第二章：建立随机变量电视机寿命值电视机寿命值（9.3,6.9,7.2.8.1）估计两厂寿命估计两厂寿命均值均值（关注产品寿命值关注产品寿命值（随机现象随机现象）（存在（存在-未知未知）比较两厂寿命比较两厂寿命均值
2、均值（甲厂寿命（甲厂寿命均值均值在在7.9年左右年左右）9.71.83.9nx合理合理？总体分布总体分布第四章：数字特征第四章：数字特征nNXn2,一一.数学期望数学期望二二.方差方差三三.协方差和相关系数协方差和相关系数随机变量随机变量X，分布函数，分布函数 F(x)，定义，定义 X 的平均值。的平均值。120 用用 X，Y 分别表示甲，乙两人的的得分情况，显然应该比较分别表示甲，乙两人的的得分情况，显然应该比较 两人的平均两人的平均 分，得分高者入选。现进行分，得分高者入选。现进行100次射击次射击例如，甲乙两人进行射击比赛，争夺奥运会资格。比赛规则如下：例如，甲乙两人进行射击比赛，争夺奥
3、运会资格。比赛规则如下：中靶得中靶得1分，击中靶心得分，击中靶心得2分，飞靶得分，飞靶得0分。分。甲甲100次射击得分结果：次射击得分结果：97.11009821110 x9811210anX98.01.01.0210nnXa210210ppppXi96.198.02012.00y9802210anY97.1 98.021.011.00 x98.002.0210nnYa210210ppppYj96.1y210210pppx210210pppy变量样本均数,客观存在的常数均取值以频率做权加权平 X均取值以概率做权加权平 X数学期望乙乙100次射击得分结果：次射击得分结果：5.01.1，例BX不收
4、敛，若pxEXii1iiipxEX1则称绝对收敛，若级数iiipx1.,2,1 ipxXPii5.05.010pX1,0 1k-1kppkXPk 5.05.015.00XE 5.05.015.015.015.00111010XE1,0 5.015.0k-1kkXPk的分布列为 X 设离散型随机变量(1)。期望的数学期望为X期望不存在或无穷大。则称X常数数学期望即平均值 绝对收敛，若积分dxxfx-的数学期望。为则称XdxxfxEX-，的密度函数为设随机变量xfX 22ba 不收敛若积分dxxfx-，例 2.baUX 其他 0 1bxaabxfba dxxfxEX-dxabxba12baab1
5、iiipxXE1X xf期望不存在或无穷大。则称X，分布列为2,1 ipxXPii绝对收敛，若级级1iiipxg iiipxgXgEYE1则称iiipx122XY 2XE7.03.021pX7.03.041pYXE1.37.043.01EYEYiiipx12XE1.37.023.0122 的函数，是随机变量设XY 3 是连续函数XgXgY 为离散型随机变量，Xi的数学期望。为随机变量Y dxxfxgXgEEY-dxxfxg-若积分 dxxfxXE-21 dxxfxXE-22，密度函数为xf，例：11UX 其他 011 21xxf dxxXE2111dxxdxx2121100102112XEdx
6、xXE2111绝对收敛，的期望存在，则称Y为连续性随机变量，X ii3121112dxxijjipyYxXP,分布列为。,且11ijijjipyxgEZ，,若11ijijjipyxg，2,1,ji的联合分布列为，设例YX,.2 YEXEXE,2 YXEXYEYE32192939432929193231092911-210jippYX XE解：；13223112XE332231122试求：的函数，是随机变量设YXZ,4是连续函数gYXgZ ,，为二维离散型随机变量YX,i的期望存在。则YXgZ,92591593922912YXE3192939432929193231092911-210jippY
7、X42022101-210YX YE解：979229312YE91192293122XYE989249129212021055522221-210YX7，若-,dxdyyxfyxg.,-dxdyyxfyxgEZ为XZ .2 .,YEXE求-,dxdyyxyfEYEX特别的，dxdyyxfx-,-,.1dyyxfxfX解 dxxfxEXX-;,-dxdyyxxf;,-dxdyyxxfEXZE是连续性随机变量，YX,ii,yxf联合密度为YXgZ,的期望存在，则称随机变量Z,yxfYX的联合密度为例：已知;,-dxdyyxxf.,2,1 ipxXPiiiiipxEX1，的密度函数为.2xfX dx
8、xfxEX-，XgY iiipxgXgEYE1 。-dxxfxgXgEEY，pyYxXPijji,。,11ijijjipyxgEZ.,-dxdyyxfyxgEZ ,YXgZ 期望的定义：1.X的分布列的分布列，XgY 3.(X,Y)的分布列的分布列4.(X,Y)的分布密度的分布密度f(x,y)yxf,4已知证：EYEXYXE4 bXaEbaXE3.2cEXcXE 为常数。其中ccEc,1 baXEYE2,1,3ipxXPbaXYii证：bXaE1iiipbax11iiiiibppax11iiiiipbpxa dxdyyxfyxYXE,dxdyxyfdxdyyxxf ,EYEX XEE XE一般
9、的，一般的，是是 n 个随机变量，有个随机变量，有nXXX,.,21niiXE1 .5YEXEXYEYX独立时，有与当 XEXEXXXXXn则，构造抽样总体,.,21niiniiEXnXnE1111 YEXE yfxfyxfYX,已知证：dxdyyxfxyXYE,dxdyyfxxyfYX dyyyfdxxxfYX;1niiEX总体总体X，抽样，抽样 ，相互独立相互独立，与总体同分布。与总体同分布。YXE4 baXE3 cXE2 Ec1 XYE 5 XEEYEX bXaE.cEX,c .YEXEEXXnEnii11独立与YX期望的性质：nXXX,.,21niXi2,1,pBX,11 nkknkk
10、nqpkCXE0-pnBX,2 pppXE110pppXE222110pXEknkknqpCkXP-nk.2,1,0nkkXE1 nkpBXXXknkk1,0,1;21证：knEXnp npXEnkknkqpknknk0-!nkknkqpknkpnn11-11!11!1!1npnpqpn1 1011-1111nkknkknqpCnp 1nkkEXnpqpnnpn221npnkknkknqpCk0-22XEnkknkknqpCkkk0-2nkknkqpknknkk2-!1nkknkknqpkC0-2022-222!22!2!21nkknkqpknknnnp20t-222!2!21ntntktqp
11、tntnnnpnpnpnnp12 XE PX 3.2,1,0 !-kekkXPk0-!kkekk1-1!1kkek0-1!ttktet0!nxnxen2XE0-2!kkekk0-2!kkekkkk2-22!1kkekkk02-22!2kkek2 XE pGX 4.2,1 11-kppkXPk XE11-1kkpkp11-kkkpq11-kkkqp,1 1qqqqfkk设 11 qqqqfkk则22111pqqq XE11-kkkqp21ppp1 pXE12XE11-21kkppk11-2kkpqk,1 1qqqqfkk设 1 1 qqqqfkk则312121 pqkkkk有2XEpqkkpkk
12、1111-pqkkpqkk1112-pppq112 3pqkkpkk1111-21 pq2XE baUX,5 其他,0;,-1bxaabxf2ba dxxfxEX-dxabxba1 dxxfx-2dxabxba12322baba 2baXE1 eX 6.0,0;0,-xxexfx dxxfxEX-dxexx-0 xdex-0dxexexx0-0-dxxfxEX-22dxexx-02xdex-02dxxeexxx0-0-22dxxex0-2dxexx0-2 1XEdxexexx0-0-2222 2,7NX xexfx222-21 dxxfxEX-dxexx222-21dtettxtdtdx2-2
13、21dttet222-222dtet XE2-22dxex.,2,1 ipxXPiiiiipxEX1，的密度函数为xfX dxxfxEX-，XgY iiipxgXgEYE1 dxxfxgXgEEY-ijjipyYxXP,分布列为。,11ijijjipyxgEZ.,-dxdyyxfyxgEZ ,YXgZ 1.期望的定义期望的定义联合密度为联合密度为f(x,y)YXE4 baXE3 cXE2 Ec1 XYE 5 XEEYEX bXaE.cEX,c .YEXEEXXnEnii11独立与YX2.期望的性质期望的性质常用分布的期望.3 pBX,11 pXE npXE pnBX,2 PX 3 XE pGX
14、 4 pXE1 baUX,5 2baXE eX 6 1XE 2,7NX XE pBX,11 nkknkknqpkCXE0-pnBX,2 pppXE110pppXE222110pXEknkknqpCkXP-nk.2,1,0nkkXE1 nkpBXXXknkk1,0,1;21证：knEXnp npXEnkknkqpknknk0-!nkknkqpknkpnn11-11!11!1!1npnpqpn1 1011-1111nkknkknqpCnp 1nkkEXnpqpnnpn221npnkknkknqpCk0-22XEnkknkknqpCkkk0-2nkknkqpknknkk2-!1nkknkknqpkC
15、0-2022-222!22!2!21nkknkqpknknnnp20t-222!2!21ntntktqptntnnnpnpnpnnp12 XE PX 3.2,1,0 !-kekkXPk0-!kkekk1-1!1kkek0-1!ttktet0!nxnxen2XE0-2!kkekk0-2!kkekkkk2-22!1kkekkk02-22!2kkek2 XE pGX 4.2,1 11-kppkXPk XE11-1kkpkp11-kkkpq11-kkkqp,1 1qqqqfkk设 11 qqqqfkk则22111pqqq XE11-kkkqp21ppp1 pXE12XE11-21kkppk11-2kk
16、pqk,1 1qqqqfkk设 1 1 则qqqqfkk312121 pqkkkk有2XEpqkkpkk1111-pqkkpqkk1112-pppq112 3pqkkpkk1111-21 pq2XE baUX,5 其他,0;,-1bxaabxf2ba dxxfxEX-dxabxba1 dxxfx-2dxabxba12322baba 2baXE1 eX 6.0,0;0,-xxexfx dxxfxEX-dxexx-0 xdex-0dxexexx0-0-dxxfxEX-22dxexx-02xdex-02dxxeexxx0-0-22dxxex0-2dxexx0-2 1XEdxexexx0-0-2222 2,7NX xexfx222-21 dxxfxEX-dxexx222-21dtettxtdtdx2-221dttet222-222dtet XE2-22dxex.,2,1 ipxXPiiiiipxEX1，的密度函数为xfX dxxfxEX-，XgY iiipxgXgEYE1 dxxfxgXgEEY-ijjipyYxXP,分布列为。,11ijijjipyxgEZ.,-dxdyyxfyxgEZ ,Y
