1、一元积分学 不定积分的概念与性质()()(),()().F xIFxf xF xf xI定定义义1.1.设设在在 上上可可导导，且且称称是是在在 上上的的一一个个原原函函数数()(),()()+().F xf xf xF xCf x定定义义2.2.设设是是的的任任一一原原函函数数 则则的的全全部部原原函函数数的的一一般般表表不不式式称称为为的的定定积积分分达达d()().f xxF xC记记作作1.概念 2.性质 1d()()f xxf x）dd()()f x dxf xx或或2d()()fxxf xC）d()()f xf xC或或ddd()()()().f xg xxf xxg xx3 3）
2、一元积分学 不定积分的概念与性质 3.原函数的存在性 1.）连连续续函函数数一一定定有有原原函函数数2）第第一一类类间间断断点点处处无无原原函函数数.一元积分学 不定积分的常用公式 22111d0.arctanxxC aaxaa2212d0.arcsinxxC aaax3d.tanln cos;x xxC dcotln sinx xxC114d.lntancoscosxxCxx115d.lncotsinsinxxCxx222216d.lnxxxaCxa一元积分学 不定积分的计算方法 dd()()()()()().g xf xf x g xf xg x1.1.分分部部积积分分公公式式d()()f
3、 g xg xxd()()f g xg x2.2.第第一一换换元元积积分分公公式式ddd()()()()()()=u g xf uuf g xg xf g xg xx3.3.第第二二换换元元积积分分公公式式4.4.有有理理函函数数的的积积分分110110()nnnnmmmma xaxaR xb xbxb一元积分学 定积分的概念 0:.()axbDSyf x求求曲曲边边梯梯形形的的面面积积几何背景.曲边梯形的面积 xOy()yf xab1ixixi 12111,-,na bnxxxn）分分划划：在在内内插插入入个个点点将将意意区区间间分分成成任任份份；120 1,iiixxin 任任意意）乘乘积
4、积：在在内内取取一一点点0 xnx13()niiifx）求求和和：；1iiixxx014lim()niiifx ）取取极极限限：,1maxii nx ()iifx 做做乘乘积积；01dlim()=nbiiaifxfxx 一元积分学 广义积分的概念 d+(),)lim()=lim()()().xaaxxf xaf ttF xF aF x设设在在 上上任任何何有有限限区区间间内内定定义义1 1部部都都可可积积，.dd-()=lim().,(bbbxxf xxf ttF xb 上上.ddd-+()=lim()lim()(.,)cxxcxxf xxf ttf ttF x 一元积分学 广义积分的概念 d
5、d(),)lim(),()lim()=lim()()().xbbxbaaaxbxbf xa bf xf ttf ttF xF aF x设设在在 上上可可积积，而而定定义义2.2.ddlim()()(,.bbxaxaaf ttf xxb在在上上瑕瑕积积分分.ddd()=lim()lim(),bxbaaxxcxcf xxf ttf tt()cf x为为的的无无界界点点.一元积分学 定积分的性质（定积分与积分变量无关）dd1d.bbbaaafxxfttfuu 01d=lim()nbiiaif xxfx ddd2.()bbbaaafxg xxfxxg xx（线性性质）d3d.baabfxxfxx（换限
6、性质）dd4d.bcbaacfxxfxxfxx（拆限性质）xOy()yf xabc一元积分学 定积分的性质 5d.baxbaxOyab1（几何性质）d06.aafxx（一条线的面积为0）以上为计算性质，下列为关系性质：d7d()(),.,bbaaf xg xxa bfxxg xx若若则则xOy()yf xab()yg x d8d,.,bbaaxa bfxxfxx若若则则 .fxfxfx分分析析 dddbbbaaafxxfxxfxx一元积分学 定积分的性质 9d(),().bamf xM xa bm bafxxM ba若若则则().mf xM分分由由析析 dddbbbaaam xfxxM x10
7、.(积积分分中中值值定定理理）d(),=()()baf xC a ba bfxx fba 若若则则至至少少存存在在一一点点使使xOy()yf xab d.bafxxmMba析析由由分分由由介介值值定定理理可可证证.xOy()yf xab一元积分学 定积分的重要定理 1.定定理理可可积积的的必必要要条条件件(),(),.f xa bf xa b若若在在上上可可积积，则则在在上上有有界界2.定定理理可可积积的的充充分分条条件件(),(),.f xC a bf xa b若若，则则在在上上可可积积3(),(),.f xa bf xa b若若在在上上除除有有限限个个第第一一类类间间断断点点外外连连续续，
8、则则在在定定上上可可积积理理一元积分学 定积分的重要定理 定理4.（微积分定理第一部分微分部分）d(),()().xaf xa bxfttf x 设设在在上上连连续续，则则定理5.（微积分定理第二部分积分部分）d(),()(),baf xC a bFxf xfttF bF a设设，则则()baF x一元积分学 定积分的应用 1.微元法：01d=lim()nbiiaif xxfx xOy()yf xabx+x dx1）所所求求量量满满足足可可加加性性；2,a b）存存在在实实数数区区间间与与所所求求量量对对应应；3ddd,(),xa bx xxSf xx）点点区区间间所所对对应应分分量量 d.b
9、aSf xx则则一元积分学 定积分的应用 2.直角坐标系下平面图形面积：()()axbXxyx型型：x+x dxxOy()yx ab()yx d,xa bx xx 由由微微元元法法，点点区区间间所所对对应应的的面面积积微微元元dd()-(),Sxxxd()-().baSxxx故故图图形形面面积积为为()()aybYyxy型型：d()-().baSyyy同同理理，面面积积为为一元积分学 定积分的应用 3.极坐标系下平面图形面积：()()r 不不做做要要求求221dd2()(),S 221d2()().S 故故图图形形面面积积为为()()arbrrxOy d,由由微微元元法法，点点区区间间所所对对
10、应应的的面面积积微微元元一元积分学 定积分的应用旋转体体积 2dd,Vfxx 2d().baVfxx 故故体体积积为为xOyad,xa bx xx 由由微微元元法法，点点区区间间所所对对应应的的体体积积微微元元b(),yf xxa xbxx由由曲曲线线及及 轴轴所所围围图图形形绕绕 轴轴旋旋转转一一周周所所形形成成旋旋1.1.转转体体体体积积xdxx(),xf yya ybyy由由曲曲线线及及 轴轴所所围围图图形形绕绕 轴轴旋旋转转一一周周所所形形成成旋旋2.2.转转体体体体积积2d().baVfyy 一元积分学 定积分的应用横截面积已知的空间体体积 dd(),VS xxd).(baVS xx
11、故故体体积积为为xOyad,xa bx xx 由由微微元元法法，点点区区间间所所对对应应的的体体积积微微元元bxxaxbx设设有有一一空空间间体体介介于于 轴轴上上和和点点的的两两垂垂直直于于 轴轴的的平平面面之之间间，xdxx()xxS x过过 点点与与 轴轴垂垂直直的的平平面面截截空空间间体体所所得得截截面面积积为为一元积分学 定积分的应用弧长公式 1.直角坐标系下曲线：:(),Cyf xxa b设设曲曲线线,22dsdxdy弧弧长长微微元元21dbaSyx由由微微元元法法，dsdxdy21dyx2.参数曲线长度：22d()+()baSttt由由微微元元法法，(),()xtta byt 若
12、若曲曲线线为为，,一元积分学 定积分的应用弧长公式 3.极坐标系下曲线长度：22d()+()baSrr由由微微元元法法，(),rra b若若曲曲线线为为曲曲线线为为，,定积分的应用物理应用 质量、引力、压力、做功等等 无穷级数 无穷级数的概念 1.1.数项级数数项级数.121+.nnnnaaaaa 其其中中为为一一个个无无穷穷数数列列na 称称为为通通项项，12+.nnSaaa为为部部分分和和称称11limnnnnnnSaa若若存存在在，则则称称级级数数，否否则则称称级级数数收收敛敛发发散散.limnnSS记记，称称为为的的.和和级级数数无穷级数 无穷级数的概念 2.2.函数项级数函数项级数.
13、121()+().nnnnfxfxfxfxfx 其其中中为为一一串串函函数数 12nnSfxfxfx+.为为部部分分和和称称 00011nnnnxDfxxfx,对对若若收收敛敛，则则称称为为的的收收敛敛点点，1nnfx收收敛敛点点的的全全体体组组成成的的集集合合称称为为的的收收敛敛域域，nnS xSxS xlim记记=,=,称称为为函函数数项项级级数数的的和和函函数数.无穷级数 无穷级数的性质 11110=.nnnnnnnnkakakaka1.1.时时，与与的的敛敛散散性性一一致致，且且收收敛敛时时111111=.nnnnnnnnnnnnnnabababab2.2.若若与与都都收收敛敛，则则也
14、也收收敛敛，且且1.）收收敛敛发发散散注注发发散散：2.）发发散散发发散散不不确确定定.3.3.一一个个级级数数去去掉掉或或添添加加有有限限项项不不改改变变级级数数的的敛敛散散性性11111,nnnn例例如如：无穷级数 无穷级数的性质.4.4.收收敛敛级级数数满满足足结结合合律律 1 11 11 1例例如如：0.收收敛敛1 1 1 11 1 111.nn发发散散10lim.nnnnaa5.5.若若收收敛敛，则则1limlimlimnnnnnnaSS证证明明：0.反反之之结结论论注注不不成成立立：111ln,nn对对例例如如：级级数数110limln,nn11121321lnlim lnlnln
15、lnln()lnnnnnn.故故发发散散+无穷级数 正项级数的判别法 10.nnnaa正正足足项项：满满级级数数1,nnnSSS显显然然即即单单增增.lim,nnnSS若若有有上上界界，则则存存在在1.nna收收敛敛1nna反反之之，若若收收敛敛，lim,nnS则则存存在在,由由极极限限的的有有界界性性.nS有有上上界界1.nna判判正正项项级级数数收收敛敛别别法法1 1部部：分分和和有有上上界界无穷级数 正项级数的判别法 11nnnnnnabab设设,为为两两个个正正项项级级数数判判别别法法2 2，若若从从某某比比较较项项则则法法：以以后后有有，11nnnnba1 1）当当收收敛敛时时，收收
16、敛敛；11nnnnab2 2）当当发发散散时时，发发散散.1111+nnnnnnnnababab设设,为为两两个个正正项项级级数数，若若从从某某项项以以后后有有推推论论：，则则11nnnnba1 1）当当收收敛敛时时，收收敛敛；11nnnnab2 2）当当发发散散时时，发发散散.11+nnnnabab由由分分析析：，11+nnnnbaab111+-nnnnnbbabb12111+-nnnnbbbabbb111+=nabb无穷级数 正项级数的判别法 110limnnnnnnnaabkb设设,为为两两判判别别个个正正项项级级数数，且且法法3 3：11nnnnab则则，敛敛散散性性一一致致.判判别别法法4 4：比比值值法法110+limnnnnnaara设设为为一一个个正正项项级级数数，且且1 01)r 时时收收敛敛；21)r 时时发发散散.判判别别法法5 5：根根值值法法10limnnnnnaar设设为为一一个个正正项项级级数数，且且1 01)r 时时收收敛敛；21)r 时时发发散散.比比阶阶法法无穷级数 正项级数的判别法 积积判判别别法法6 6：分分判判别别法法 10,),nnnbfxa
