1、高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学大 学 数 学（一）第七讲 函数极限的概念和性质脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民湖南大学高等数学第三章 函数的极限与连续性本章学习要求：了解函数极限的概念，知道运用“”和“X”语言描述函数的极限。理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极限求相应的函数极限。理解函数在一
2、点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法。第三章 函数的极限与连续性第一节 函数的极限与性质的极限时一)(,.xfx的极限时二)(,.0 xfxx 三.极限定义及定理小结四.函数极限的基本性质的极限时一)(,.xfx由于数列实际上可以看成是定义域为正整数域的函数,所以,可望将数列的极限理论推广到函数中,并用极限理论研究函数的变化情形.1 :nxxnn=从数列),0(1+=xxy与函数的图形可以看出:.01lim ,01lim=xnxnOxy123n nx
3、n1=xy1=如何描述它？1 :极限的定义：回忆数列nxxnn=有时使当若 ,0 ,0NnN|axn记为为极限以时当则称数列成立 ,anxn.limaxnn=.)(:+=Znnfxn数列是一种特殊的函数故可以从形式进行相当与而 ,)(lim lim axfaxxnn=+:,),(,XNxnxfxn替换为替换为替换为将推广有时使当若 ,0 ,0XxX|)(|axf记为为极限以时当则称函数成立 ,)(,axxf+.)(limaxfx=+有问题没有？好像没有问题.有时使当若 ,0 ,0XxX ,)(,极限存在时当则称函数成立+xxf ,)(limaxfx=+|)(|axf的极限函数时)(,.1xfx
4、+定义定义 .)()(+xaxf或记为记为为其极限值常数 ,a想想：如何从几何的角度来表示该定义？)(|)(|+axfaaxf的几何意义 )(limaxfx=+Oxyay=+=ay=ayX)(xfy=,)(,即函数的图时当+axfaXx .之间和形夹在两条平行线=+=ayayOxyay=+=ay=ayXX)(xfy=将图形对称过去后,你有什么想法?将图形对称 .,函数的极限时我们将得到x有时使当若 ,0 ,0XxX ,)(,极限存在时当则称函数成立xxf ,)(limaxfx=|)(|axf的极限函数时)(,.2xfx定义定义 .)()(xaxf或记为记为为其极限值常数 ,a .)(lim )
5、(lim的情形类似的几何意义与axfaxfxx=+Oxyay=+=ay=ayXX)(xfy=现在从整体上来看这个图形,你有什么想法?0|XxXxXx或Oxyay=+=ay=ayXX)(xfy=你能否由此得出一个极限的定义和一个重要的定理.0|XxXxXx或现在从整体上来看这个图形,你有什么想法?有时使当若 ,|,0 ,0XxX ,)(,极限存在时当则称函数成立xxf ,)(limaxfx=|)(|axf的极限函数时)(,.3xfx定义定义 .)()(xaxf或记为记为为其极限值常数 ,a由于|x|X 0 x X 或 x X,所以,x 按绝对值无限增大时,又包含了 x 的情形.既包含了 x+,定
6、理定理 .)(lim)(lim )(limaxfxfaxfxxx=+及极限的三个定义即可证明该定理.0)(|XXxXxXx或由绝对值关系式:.2121lim 33=+xxx证明：证证 ,0 ,2121 33+xx要 ,|21 3x即要 ,21|3x即 ,|,21 3有时则当故取XxX=2121 33+xx成立.由极限的定义可知:.2121lim 33=+xxx例1.11)(2时的极限当讨论函数+=xxxf解2211 ,1 ,|xxx+此时也无限增大无限增大时当无限缩小,可以小于任意小的正数.因而应该有 .011lim2=+xx下面证明我们的猜想:要由极限的定义 ,0 ,11 11 011 22
7、2+=+=+xxx ,11 2x即要 .11 ,0 ,1 2显然成立则时当+xx.11 ,11|,1 2成立时时当+xx证 明 过 程怎么写？例2则当取不妨设 ,11 ,)10 (0=X有时 ,|Xx ,11 11 011 222+=+=+xxx .011lim :2=+xx故由极限的定义可知这里想得通吗？,)(0 的接近程度的与是用来描述由于axf .,某个正数它小于设故可以在一开始时就假小且它的值可以取得任意 .arctan lim 不存在证明xx22yxyarctan=x由图容易看出：,2arctanlim=+xx ,2arctanlim=xx .arctan lim 不存在由定理可知：
8、xx需要证明之处请同学们自己先证一下.例3证 .2arctanlim )1(=+xx证明：,|2arctan|,0即要要x .2arctan2+x ,2arctan2 所以只需证明由于x .arctan2x.2arctan 0 ,2 xx就有时当,tan 2arctan ,20 的单调性及由时当xx .02tanx ,0 ,2tan max ,时则当取综上所述XxX=.2arctanlim ,|2arctan|=+xxx即证 .2arctanlim )2(=xx证明：,|2arctan|,0即要要x .2arctan2+x ,2arctan2 所以只需证明由于x .2arctan+x.2arc
9、tan 0 ,2 +xx就有时当得的单调性及由时当 ,tan 2arctan ,20 xx+.2tan2tan=+x ,0 ,2tan max ,时则当取综上所述XxX=.2arctanlim ,|2arctan|=xxx即 .lim 不存在证明xxxxxeeee+,111limlim 22=+=+xxxxxxxxeeeeee ,111limlim 22=+=+xxxxxxxxeeeeee ,limlim xxxxxxxxxxeeeeeeee+由于 .lim 不存在故xxxxxeeee+例4证证的极限时二)(,.0 xfxx x x0时函数的极限,是描述当 x 无限接近 x0时,函数 f(x)
10、的变化趋势.112)(,0 +=xxfx时当f(x)在点 x0=0 处有定义.=11)(,1 3xxxfx时当函数 f(x)在点 x0=1 处没有定义.312+xx例5无限只考虑有无定义在必考虑 ,)(0 xxxxf=的变化函数时即接近)(,),(U ,00 xfxxx是否成立。趋势，即不等式|)(|axf我们不这类极限过程时在讨论 ,0 xx 的极限函数时)(,.10 xfxx 定义定义 ,|0 ,0 ,00时当若xx|)(|axf ,)(,0时的极限当为函数则称成立xxxfa .)()()(lim 00 xxaxfaxfxx=或记为 :,需要考察的是就是说 ,0去心邻域时的落在点当轴上在x
11、xx )(,是否落在点对应点轴上在xfyyy=.邻域内的aOxyay=+=ay=ay0 x()(xfy=xy),(U0 xx),U(ay+0 x0 x的几何解释 )(lim0axfxx=P .lim 00 xxxx=证明证证 ,|0 ,00时则当取=xx|0 xx .lim ,00 xxxx=故成立这是证明吗？非常非常严格！例6 .82)4(2lim 22=+xxx证明证 ,0 ,)8(2)4(2 2+xx要=+=+|)2(|2|2|2|8)2(2|xxx只要 ,|)2(|0 ,2 有时则当故取=x ,)8(2)4(2 2+xx .82)4(2lim 22=+xxx即2x例7证 .311lim
12、 31=xxx证明 ,0 ,311 3xx要 ,|1|2|2|31|22+=+=+xxxxxx只要？如何处理它例8这里|x+2|没有直接的有界性可利用,但又必须设法去掉它.因为 x 1,所以,从某时候开始 x 应充分地接近 1.()0 x211 11+1 4|2|+x1 1=取1|1|0 x证 .311lim 31=xxx证明 ,0 ,311 3xx要 ,|1|2|2|31|22+=+=+xxxxxx只要 ,|1|4|1|2|311 3+=xxxxx于是 ,|1|0 ,4 ,1 min 有时则当取=x .311 3xx证毕 ,)1 ,1 (U ,1 ,1 1此时必有时当令=xx ,4|2|+x
13、例8在极限定义中：1)与和 x0 有关,即=(,x0).一般说来,值越小,相应的值也越小.2)不等式|f(x)a|0,同时也要对 x x0 以任何方式进行都成立.3)函数 f(x)以 a 为极限,但函数 f(x)本身可以不取其极限值a.y=a+y=a y=axOyx0 x0 x0+)(xfy=曲线只能从该矩形的左右两边穿过极限的几何意义函数时)(,.20 xfxx 考虑两个问题.y=a+y=a y=axOyx0 x0+)(xfy=函数在 x0 的左边可以无定义想想这种情形下,函数有极限吗?如何描述这种情形？想想这种情形下,函数有极限吗?y=a+y=a y=axOyx0 x0)(xfy=函数在
14、x0 的右边可无定义如何描述这种情形？3.函数的左、右极限,0 ,0 ,00时当若xx|)(|axf记为右极限,时的当为则称成立 )(,0 xxxfa )(lim0axfxx=+.)0(0axf=+也可记为,)()(0+xxaxf或定义,0 ,0 ,00时当若xx|)(|axf记为左极限,时的当为则称成立 )(,0 xxxfa )(lim0axfxx=.)0(0axf=也可记为,)()(0 xxaxf或定义(1)左、右极限均存在,且相等；(2)左、右极限均存在,但不相等；(3)左、右极限中至少有一个不存在.找找例题！函数在点x0 处的左、右极限可能出现以下三种情况之一：=111211)(2xx
15、xxxxf求=)(lim1xfx=+)(lim1xfxxOy1121在 x=1 处的左、右极限.1lim21=xx0)1(lim1=+xx解例9下面将左、右极限的图形重合起来,会有什么结果.y=a+y=a y=axOyx0 x0+y=a+y=a y=aOyx0 x0)(xfy=对此有什么想法没有？“左右重合”=axfxx)(lim0axfxfxxxx=+)(lim)(lim00定理利用|x x0|x x0 和极限的定义,即可证得.。求设)(lim ,1,11,1)(12xfxxxxxfx+=2)1(lim)(lim 211=+=+xxfxx2)1(lim)(lim11=+=xxfxx2)(li
16、m 1=xfx解例10 .|lim 0 xxx求=+|lim 0 xxx=|lim0 xxx)(lim)(lim00 xfxfxx+.|lim 0不存在xxx=+xxx0lim11lim0=+x=xxx0lim1)1(lim0=x解例11例12 .|)(|lim ,)(lim :00axfaxfxxxx=则若证明证,0 ,0 ,)(lim 0=所以因为axfxx ,|0 0有时当xx|)(|axf|)(|axf ,得故由极限的定义 .|)(|lim 0axfxx=?立该命题的逆命题是否成.情也成立的对x三、极限定义及定理小结三、极限定义及定理小结极限定义一览表目标不等式过 程 描 述度量极限形式axnn=limaxfx=)(limaxfx=+)(limaxfx=)(limaxfxx=)(lim0axfxx=+)(lim0axfxx=)(lim00000000时当,0NnN时当|,0XxX时当 ,0XxX时当 ,0XxX时当|0 ,00 xx时当 0 ,00 xx时当 0,00 xx|axn|)(|axf|)(|axf|)(|axf|)(|axf|)(|axf|)(|axf极限定义一览表
