1、第67讲 多元复合函数微分法问题的引入一元复合函数的求导法则设则一元复合函数的求导的链式法则dddddddddddddd自变量因变量“依次求导，沿线相乘”第67讲 多元复合函数微分法问题的引入多元复合函数的几种情形：一个自变量的情形：多个自变量的情形：建立多元复合函数的求导法则！第67讲 多元复合函数微分法主要内容多元复合函数的求导法则多元函数一阶微分形式不变性第67讲 多元复合函数微分法多元复合函数的求导法则定理1（一个自变量的情形）设函数在点处可微，在处可导，则复合函数在点处可导，且有或?多元复合函数求导数的链式法则第67讲 多元复合函数微分法多元复合函数的求导法则因变量 到自变量 的路径
2、有：相加得“沿线相乘，分线相加”树形图方法第67讲 多元复合函数微分法多元复合函数的求导法则定理2（两个自变量的情形）设函数在点处关于 和 的偏导数都存在，函数在点对应的点处可微,则复合函数在点处关于 和 的两个偏导数都存在，且有多元复合函数求偏导数的链式法则第67讲 多元复合函数微分法多元复合函数的求导法则“沿线相乘，分线相加”因变量 到自变量 的路径有：相加得第67讲 多元复合函数微分法多元复合函数的求导法则其他情形?第67讲 多元复合函数微分法多元复合函数的求导法则例1用树形图的方法写出下列复合函数的求导结果，设下面所涉及的函数都可微.；.;例2设?，求和例3设，其中 为可微函数，求?和
3、?第67讲 多元复合函数微分法多元复合函数的求导法则例4设函数，其中为可微函数，证明例5设函数?，其中 具有二阶连续偏导数，?求第67讲 多元复合函数微分法多元函数一阶微分形式不变性一元函数中，无论是自变量还是中间变量，都有一阶微分形式不变性问：多元函数也具有一阶微分形式不变性吗?二元函数 的全微分为：ddddd和 是函数 的自变量第67讲 多元复合函数微分法多元函数一阶微分形式不变性设二元函数,则全微分形式不变性dddddddddddd?d?d?d?d和 是函数 的中间变量第67讲 多元复合函数微分法多元函数一阶微分形式不变性例6 设函数?，其中 为可微函数，先用微分运算法则求 的全微分，再
4、写出和的表达式【例6解】根据一阶全微分形式的不变性有?比较得?第68讲 隐函数存在定理问题的引入练习：设函数方程?确定，求?.将方程两边同时关于 求导数，得?解得?一般问题：设函数方程确定，求?.?第68讲 隐函数存在定理问题的引入 方程在什么条件下才能确定隐函数，即隐函数的存在性；在方程能确定隐函数时，研究其连续性、可微性及求导方法问题.不能显化第68讲 隐函数存在定理主要内容一个方程确定的隐函数方程组确定的隐函数第68讲 隐函数存在定理一个方程确定的隐函数定理1（隐函数存在定理）如果函数满足下列条件：(1)?；(2)在点?的某一邻域内具有连续偏导数；(3)?，则方程在点?的某邻域内惟一确定
5、一个函数，满足且?，并有dd?第68讲 隐函数存在定理一个方程确定的隐函数两边对求导在?的某邻域内?则设为由确定的隐函数，?dd?第68讲 隐函数存在定理一个方程确定的隐函数隐函数存在定理的几何解释?P?在 与平面的交集上?存在?的邻域使得?关于 增加曲线 在附?近确定隐函数第68讲 隐函数存在定理一个方程确定的隐函数切线方程：即dd?隐函数图形的切线方程-切向量?第68讲 隐函数存在定理一个方程确定的隐函数例1验证?在点(0,1)某邻域内确定一个函数，并求dd?（1）；?,?（3）?,?（2）?和?连续；验证隐函数存在定理条件：0第68讲 隐函数存在定理一个方程确定的隐函数定理2（隐函数存在
6、定理）如果函数满足下述条件：(1)?；(2)在?的某个邻域内具有连续的偏导数；(3)?，则方程在点?的某一邻域内惟一确定一个二元函数，?使得，且?，并有连续的偏导数第68讲 隐函数存在定理一个方程确定的隐函数两边对求偏导，同样可得则设为由确定的隐函数，在?的某邻域内?第68讲 隐函数存在定理一个方程确定的隐函数例2 设?，求例3 设?，求和?【例2解】令?，由于?第68讲 隐函数存在定理方程组确定的隐函数例4设，求关于求偏导数?解得?第68讲 隐函数存在定理方程组确定的隐函数例5 设函数由方程组所确定，试推导和的公式关于的雅可比行列式第68讲 隐函数存在定理方程组确定的隐函数第69讲 偏导数在
7、几何上的应用问题的引入设具有一阶连续偏导数，称由切线?和?所确定的平面为曲面在点处的切平面.（2）切平面与曲面上通过的其他曲线是否也贴近？（1）函数具有一阶连续偏导数是否是存在切平面的必要条件？（3）如何得到一般曲面的切平面方程？?切平面切平面?第69讲 偏导数在几何上的应用主要内容曲面的切平面和法线参数曲面的切平面方程组所确定的空间曲线的切线第69讲 偏导数在几何上的应用曲面的切平面和法线设有曲面，其中 可微，是曲面上通过点?的任意一条光滑曲线.设曲线 的参数方程为令?是点 对应的参数，即?=0第69讲 偏导数在几何上的应用曲面的切平面和法线?=0?,?,?曲线 在 的切向量曲面 在 的法向
8、量切平面曲面 在 的切平面方程?第69讲 偏导数在几何上的应用曲面的切平面和法线特别地，当曲面 的方程为（其中 可微），令则曲面 在点?处的法向量为?于是曲面 在点 的切平面方程为：?.法线方程为?第69讲 偏导数在几何上的应用曲面的切平面和法线例1求球面?上点?处的切平面与法线方程例2求旋转抛物线面?在点处的切平面及法线方程第69讲 偏导数在几何上的应用参数曲面的切平面设曲面由可微函数给出，试求参数为?所对应的曲面上的点?的切平面.分别取?与?,由曲面的参数方程可得两条曲面上经过给定点的曲线:?则两曲线在?点的切向量分别为?第69讲 偏导数在几何上的应用参数曲面的切平面因此，曲面在该点的法向
9、量为?,?,?,?曲面：的法向量第69讲 偏导数在几何上的应用参数曲面的切平面例4设曲面由参数方程给出，试求该曲面在由参数确定的点处的切平面方程.第69讲 偏导数在几何上的应用方程组所确定的空间曲线的切线?设空间曲线 的向量值函数为则在点?处的切向量为切线方程为?(?法平面方程为第69讲 偏导数在几何上的应用方程组所确定的空间曲线的切线设有空间曲线:当可表示为切向量:时,dddd实际上?第69讲 偏导数在几何上的应用方程组所确定的空间曲线的切线例5 求曲线?在点处的切线及法平面方程第70讲 方向导数与梯度问题的引入天气预报第70讲 方向导数与梯度问题的引入天气预报第70讲 方向导数与梯度问题的
10、引入天气预报第70讲 方向导数与梯度问题的引入局部地区等压线天气预报第70讲 方向导数与梯度问题的引入二元函数 如何刻画二元函数沿不同方向的变化？函数沿什么方向变化最快？局部地区等压线第70讲 方向导数与梯度主要内容方向导数的概念方向导数的计算梯度及其几何意义第70讲 方向导数与梯度方向导数的概念二元函数的偏导数反映了函数沿平行于坐标轴方向的变化率.?第70讲 方向导数与梯度方向导数的概念二元函数的偏导数函数沿平行于坐标轴方向的变化率?第70讲 方向导数与梯度方向导数的概念?有向距离?函数在段的平均变化率?第70讲 方向导数与梯度方向导数的概念如果极限?存在，则称极限值为函数在点?沿方向 的方
11、向导数，并且记作?或?,?.?定义第70讲 方向导数与梯度方向导数的概念xyzOu(,)D f x y u0u(,)D f x y u0方向导数反映了函数在?处沿方向 的变化率.思考：方向导数的符号、大小反映了函数怎样的变化情况？?符号反映增减性?大小反映变化的快慢第70讲 方向导数与梯度方向导数的概念?如果方向，即与 轴平行的方向，则有?如果方向，即与 轴平行的方向，则有?第70讲 方向导数与梯度方向导数的概念方向导数的几何意义?O曲面?曲线切线?第70讲 方向导数与梯度方向导数的计算定理1设函数在点?可微，那么函数在该点沿任意向量 方向的方向导数都存在，且有?其中为向量 的方向余弦一般地，
12、当函数可微时，有?第70讲 方向导数与梯度方向导数的计算三元函数在点?沿方向（对应的单位向量为?）的方向导数定义为?同样，当函数在点可微时，函数在该点沿方向的方向导数?第70讲 方向导数与梯度方向导数的计算例1求函数?在点沿方向的方向导数例2求函数?在点处沿从该点到的方向的方向导数第70讲 方向导数与梯度梯度及其几何意义?梯度向量简称梯度第70讲 方向导数与梯度梯度及其几何意义 方向导数是梯度向量在 方向上的投影 梯度方向是函数增加最快的方向 负梯度方向是函数减小最快的方向 与梯度正交的方向函数的变化率为零梯度：如果函数在点可微grad?第70讲 方向导数与梯度梯度及其几何意义二元函数的梯度：
13、三元函数的梯度：?第70讲 方向导数与梯度梯度及其几何意义例3 求函数?在点处的梯度以及函数在该点处沿梯度方向的方向导数例4 设一座山的高度由函数?给出，如果登山者在山坡上的点处，问：此时登山者往何方向攀登时坡度最大？第70讲 方向导数与梯度梯度及其几何意义梯度的几何意义函数在一点的梯度垂直于通过该点的等值线,指向函数增大的方向.?切向量?梯度向量第70讲 方向导数与梯度梯度及其几何意义 河流的流向 行进路线的选择 丘壑的形成 风向的确定 第71讲 多元函数的泰勒公式问题的引入“以平代曲”“以曲代曲”函数?,?高次多项式近似一次多项式近似二次多项式近似第71讲 多元函数的泰勒公式问题的引入“以
14、平代曲”“以曲代曲”函数?,?高次多项式近似一次多项式近似二次多项式近似第71讲 多元函数的泰勒公式主要内容海赛矩阵多元函数的泰勒公式近似计算第71讲 多元函数的泰勒公式海赛矩阵?一元函数微分概念 二元函数微分概念二元函数一阶导数梯度一元函数的导数第71讲 多元函数的泰勒公式海赛矩阵?二元函数的二阶导数（海赛矩阵）二元函数一阶导数第71讲 多元函数的泰勒公式海赛矩阵2()fx设元函数在点?处对于自变量各分量的二阶偏导数?连续，则称矩阵为函数在点 处的二阶导数或海赛矩阵.第71讲 多元函数的泰勒公式海赛矩阵例1计算函数?的梯度与海赛矩阵，并求，?以及?例2计算函数?在处的梯度与海赛矩阵.?第71
15、讲 多元函数的泰勒公式多元函数的泰勒公式定理1（1）设函数在的某邻域 内存在一阶连续偏导数，则对于任意的，均存在使得;（2）设函数在的某邻域内存在二阶连续偏导数，则对于任意的，均存在使得?.阶带拉格朗日余项的麦克劳林公式阶带拉格朗日余项的麦克劳林公式第71讲 多元函数的泰勒公式多元函数的泰勒公式一般情形的泰勒公式设函数在?的某邻域 内存在一阶连续偏导数，则对于任意的，均有?其中为连接?与线段上的某一点.二元函数的拉格朗日中值公式?第71讲 多元函数的泰勒公式多元函数的泰勒公式例3设函数在区域 内存在偏导数，且对于 内任意的，均有?.证明：在区域 内为常数.第71讲 多元函数的泰勒公式多元函数的
16、泰勒公式定理2设是元函数，?，如果在?的某邻域内具有二阶连续偏导数，则对于点?的某邻域内的点，存在常数，使得?称上式为在点?处的一阶带拉格朗日余项的泰勒公式?+o(?)皮亚诺余项第71讲 多元函数的泰勒公式多元函数的泰勒公式例4写出函数?在点处的带皮亚诺余项的一阶及二阶泰勒公式?第71讲 多元函数的泰勒公式近似计算?由在点?处带皮亚诺余项的一阶、二阶泰勒公式，分别有?某邻域内 的函数值的近似计算公式：?二元函数的情形?第71讲 多元函数的泰勒公式近似计算例5 分别使用一阶和二阶泰勒公式近似计算?.?的值(其保留11位有效数字的近似值为1.1871533798)【例5解】令?，?,?,?,?,?,?第71讲 多元函数的泰勒公式近似计算【例5解】令?，?.?.?.?=1.1871533798一次近似二次近似第72讲 多元函数的极值问题的引入结构设计总重量最轻资源分配总效益最大物资运输总费用最低产品生产总利润最高第72讲 多元函数的极值问题的引入结构设计总重量最轻资源分配总效益最大物资运输总费用最低产品生产总利润最高第72讲 多元函数的极值主要内容多元函数极值的概念多元函数极值的必要条件多元
