1、高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学大 学 数 学（一）第五讲 常数项级数的概念和性质脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民湖南大学高等数学第二章 数列的极限与常数项级数的含义。和极限。正确理解语言描述数列的会用了解数列极限的概念，NN念和性质。量的概收敛准则。熟悉无穷小熟悉数列极限的性质和。极限或简单的极限证明限运算法则计算数列的以及极式”法、“夹逼定理”能熟练运用“放大不等性质。件以及收敛级数的基本必要条性质。掌握级数收敛的理解常数项级数概念和别法。收敛判判别法。掌握交错级数熟悉常数项级数的收敛级数的敛散性。数、熟悉等比级数、调和级P本章学习要求：第二章 数列的极
2、限与常数项级数第四节 常数项级数的概念和性质一.无穷级数的概念二.级数收敛的必要条件三.无穷级数的基本性质一.无穷级数的概念1.无穷级数的定义设有数列 un:u1,u2,un,+=+=nnnuuuu211为一个无穷级数,简称为级数.称 un 为级数的一般项或通项.则称表达式 .,1数则称该级数为常数项级均为常数的每一项若级数nnnuu+=.)(),(:1数项级数为函则称级数函数一个变量的若级数的每一项均为同+=nnnnxuxuu下列各式均为常数项级数;214121211+=+=nnn;211+=+=nnn;)1(1111)1(111+=+=nnn.cos2cos1coscos1+=+=nnn例
3、1下列各式均为函数项级数,)1(1)1(112111+=+=nnnnnxxxx.Rx,22100+=+=nnnnnxaxaxaaxa.1|x,sin2sinsinsin1+=+=nxxxnxn.Rx例22.级数的敛散性定义无穷级数+=1nnu的前 n 项之和：,211nnkknuuuuS+=称为级数的部分和.若SSnn=lim存在,则称级数+=1nnu收敛.S 称为级数的和：.1Sunn=+=若nnS+lim不存在(包括为),+=1nnu发散.则称级数讨论等比级数的敛散性.+=11nnar等比级数的部分和为：=nkknarS11当公比|r|1 时,.1)1(limlim=+rraSnnnn当公
4、比 r=1时,.limlim=+naSnnnSn=a,n为奇数0,n为偶数当公比当公比|r|1 时时,等比级数收敛；等比级数收敛；当公比 r=1时,当公比当公比|r|1 时时,等比级数发散等比级数发散.综上所述,.lim ,不存在故nnS+讨论级数的敛散性.+=+1)12)(12(1nnn+=+12112121)12)(12(1nnnn+=1211212171512151312131121 nnSn+=121121n解解 751531311 +例4而=+=+121121limlimnSnnn故21)12)(12(11=+=nnn21即该级数收敛,其和为.21=S 21)12)(12(17515
5、31311 =+nn二.级数收敛的必要条件若级数+=1nnu收敛,则必有.0lim=+nnu定理)(limlim1+=nnnnnSSu1limlim+=nnnnSS0=SS证证设 ,1Sunn=+=.lim SSnn=+则由于,1 1)1(lim|lim1=+=+nnunnnn故该级数发散.,0lim+nnu解解例5 .1)1(11的敛散性判别级数+=+nnnn证明调和级数是发散的:调和级数的部分和有：，11=S，211122+=SS+=4131211224SS证证21211+，221+=201+例6 .,11121调和中项的与为则称若cabbca=+=+=1 .1312111nnn=328S
6、S231+=+=817161514131211817161514131211+2121211+?212kSk+由数学归纳法,得，212kSk+k=0,1,2,而+=+21limkk故nnS+lim不存在,即调和级数发散.三.无穷级数的基本性质有相同的敛散性,且.11+=+=nnnnuccu若 c 0 为常数,则+=1nncu+=1nnu与1.性质 1证证+=1nnu的部分和为，=nkknuS1+=1nncu的部分和为,11nnkknkkncSuccuS=故nnnnnnSccSS+=limlimlim同时收敛或同时发散,即与+=1nnu+=1nncu且有 .11+=+=nnnnuccu2.性质
7、2 ,2111SSvunnnn和其和分别为收敛与若+=+=且也收敛则级数 ,)(1+=nnnvu211)(SSvunnn=+=.11+=+=nnnnvu证证+=1)(nnnvu的部分和为：=nkkknvuS1)(=+=)()(2121nnvvvuuu故=+)(limlim21nnnnnSSSnnSS21)()()(2211nnvuvuvu+2121limlimSSSSnnnn=+即级数+=1)(nnnvu收敛,且21111)(SSvuvunnnnnnn=+=+=+=因为等比级数,31 2111收敛与+=+=nnnn所以级数.31211也收敛+=nnn例7问 题一个收敛级数与一个发散级数的和是收
8、敛的还是发散的？是发散的问 题两个发散的级数之和是收敛的还是发散的？不一定.)1()1(111之和与看看+=+=nnnn但对收敛级数来说,它的和将改变.在一个级数的前面加上或者去掉有限项后,所得到的新的级数与原级数的敛散性相同.3.性质 3kmmmkuuuS+=21kmmmmuuuuuu+=2121)(mkmSS=+证证)(21muuu+设级数+=1nnu的部分和为Sn,去掉级数的前面 m 项后得到的级数+=1mkku的部分和为:kSmkmkkkSSS=+limlim由于 Sm 当 m 固定时为一常数,所以故 级数+=1nnu与级数+=1mkku.有相同的敛散性级数仍然收敛,且其和不变.对收敛的级数加括号后所得到的新在级数运算中,不能随意加上或去掉括号,因为这样做可能改变级数的敛散性.4.性质 4问 题收敛的级数去掉括号后所成的级数仍收敛吗？不一定+)11()11(看看问 题发散的级数加括号后所成的级数是否仍发散？不一定+1111 看看问 题如果加括号后的级数仍发散,原级数是否也发散？原级数也发散加括号可引起收敛,去括号可引起发散.
