1、第10讲 子数列与聚点原理问题引入数列收敛的必要条件数列收敛的充分条件 有界 单调有界若数列存在极限，则该数列一定有界，即存在正常数 M，使得设数列单调增加且有上界，即且存在常数 M 使得则数列存在极限.数列收敛的充分必要条件？柯西收敛原理第10讲 子数列与聚点原理主要内容子数列的概念数列收敛的归并性聚点原理柯西收敛原理第10讲 子数列与聚点原理子数列的概念原数列新数列定义1（子数列）从数列中选取无穷多项，并按原来的先后顺序组成新的数列，称新数列为原数列的子数列，记为其中下标为正整数，且满足第10讲 子数列与聚点原理数列收敛的归并性定理1 若数列收敛，则其任何子数列也收敛，且判断数列发散的方法
2、：数列存在一个发散的子数列，则该数列一定发散；数列存在极限不等的子数列，则该数列一定发散.例1 证明数列不存在极限第10讲 子数列与聚点原理数列收敛的归并性定理2（拉链定理）数列收敛的充要条件是它的两个子数列和收敛且极限相同第10讲 子数列与聚点原理聚点原理定理3（聚点原理）任何有界数列均存在收敛的子数列，即若数列满足（其中M0为常数），则存在收敛的子数列.3c3d1n2n3nkn1na2nakna收敛子数列第10讲 子数列与聚点原理柯西收敛原理定理4（柯西收敛原理）数列收敛的充要条件是：对于任意正数，存在正整数 N，当时恒有称满足上述条件的数列为柯西数列（基本数列）.nOan.第10讲 子数
3、列与聚点原理柯西收敛原理柯西收敛原理等价形式数列收敛的充要条件是：对于任意正数，存在正整数 N，当时，对一切成立.例2设证明数列收敛.第10讲 子数列与聚点原理柯西收敛原理例3设证明数列发散.如何快速计算n7.485475.187382.928979.7876112.090114.3927annan10102103104105106第11讲 级数的概念与性质问题引入二项式定理的推广杨辉三角（帕斯卡三角）第11讲 级数的概念与性质问题引入无穷个数相加减带来的困惑答案：二项式定理的推广第11讲 级数的概念与性质主要内容级数的由来级数收敛的概念收敛级数的性质聚点原理第11讲 级数的概念与性质级数的由
4、来引例1古希腊哲学家芝诺的阿齐尔斯和龟的问题阿从A到B的时间为阿从B到C的时间为阿齐尔斯追上龟的时间第11讲 级数的概念与性质级数的由来引例2用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正边形，设 a0表示内接正三角形面积，ak表示边数增加时增加的面积，则圆内接正边形面积为当时这个和逼近于圆的面积 A.即第11讲 级数的概念与性质级数的由来引例3等比数列的求和问题211nqqq1(1)1nqqq前有限项的和当时，有，所以因此得到等比数列的求和公式第11讲 级数的概念与性质级数收敛的概念无穷级数121nnnaaaa前 n 项部分和12nnSaaa定义1对于级数，若其部分和数列收敛，且极限为 S，
5、则称级数收敛，S 称为该级数的和，记为若部分和数列发散，则称级数发散第11讲 级数的概念与性质级数收敛的概念例 称等比数列的和，即为几何级数证明：当时级数收敛，当时发散211nnSqqq 1(1)1nqqq前n项部分和1 1 11nSn (1)q 111(1)1 1 1(1)2nnnS (1)q 几何级数的应用：无限循环小数的分数表示第11讲 级数的概念与性质级数收敛的概念例2证明级数收敛.例3 证明数列收敛的充要条件是级数收敛例4 证明调和级数发散第11讲 级数的概念与性质收敛级数的性质定理1（级数收敛的必要条件）若级数收敛，则有定理2设级数和收敛，则级数也收敛，且定理2表明收敛级数可将对应
6、项相加减.收敛级数与发散级数对应项相加减所得级数一定发散.第11讲 级数的概念与性质级数收敛的概念定理3 设为非零常数，则级数与有相同的敛散性定理4增加或减少级数中的有限项不改变原级数的收敛性，即，级数的收敛性与前有限项无关定理5 设级数收敛，则在不改变级数项前后位置的条件下，任意结合级数的有限项得到新级数，则新级数也收敛，且和不变第11讲 级数的概念与性质级数收敛的概念定理5 设级数收敛，则在不改变级数项前后位置的条件下，任意结合级数的有限项得到新级数，则新级数也收敛，且和不变第11讲 级数的概念与性质柯西收敛原理定理6（柯西收敛原理）级数收敛的充要条件是：对于任意正数，存在正整数 N，当时
7、，不等式对一切成立.例5证明级数收敛.推论 若级数收敛，则第12讲 正项级数收敛性判别方法问题引入雅各布 伯努利与约翰 伯努利关于级数的研究（2）证明的和小于2雅各布 伯努利：“如果谁能解决并告知这个迄今为止我们还无能为力的问题，我们将不胜感谢。”约翰 伯努利的学生莱昂哈德 欧拉解决了上述问题（1）证明调和级数发散第12讲 正项级数收敛性判别方法主要内容正项级数收敛的充要条件比较判别法比值判别法与根值判别法第12讲 正项级数收敛性判别方法正项级数收敛的充要条件定理1（正项级数收敛的充要条件）设为正项级数，则该级数收敛的充要条件是其部分和数列有界，即存在不依赖于n 的正常数 M，使得若，则称级数
8、为正项级数例1 证明级数收敛.第12讲 正项级数收敛性判别方法正项级数收敛的充要条件例 设 p 1 为常数，则级数收敛p-级数非凡的结果！第12讲 正项级数收敛性判别方法比较判别法定理2（比较判别法的不等式形式）设和均为正项级数，且，则有(1)当级数收敛时，级数也收敛；(2)当级数发散时，级数也发散例3 证明：当时，p-级数发散.第12讲 正项级数收敛性判别方法比较判别法例2 设级数和收敛，级数的通项满足：证明级数也收敛第12讲 正项级数收敛性判别方法比较判别法定理3（比较判别法的极限形式）设和均为正项级数，且，则（1）当时，级数和有相同的敛散性；（2）当时，如果级数收敛，那么收敛；（3）当时
9、，如果级数发散，那么发散.第12讲 正项级数收敛性判别方法比较判别法例3 判断级数的敛散性.221112 21nnnn例4 设 k 为正整数，讨论级数的敛散性112knnn第12讲 正项级数收敛性判别方法比值判别法与根值判别法定理4（比值判别法）设为正项级数，且，则有（1）当时，级数收敛；（2）当时，级数发散1nna01q1nna1q 1nna达朗贝尔判别法例5 利用比值判别法判断下列级数的敛散性第12讲 正项级数收敛性判别方法比值判别法与根值判别法定理5（根值判别法）设为正项级数，且，则有（1）当时，级数收敛；（2）当时，级数发散1nna01q1nna1q 1nna柯西判别法例6 判断级数的
10、收敛性.12(1)5nnn 第13讲 变号级数收敛性判别方法问题引入级数的收敛性是否存在一般的判别收敛性的方法?收敛级数满足结合律.那么，收敛级数满足交换律吗？相加什么条件能确保收敛级数满足交换律?第13讲 变号级数收敛性判别方法主要内容交错级数绝对收敛与条件收敛级数收敛性判定一般方法第13讲 变号级数收敛性判别方法交错级数定理2（拉链定理）数列收敛的充要条件是它的两个子数列和收敛且极限相同交错级数正负项交错出现的级数定理1（莱布尼兹判别法）对于交错级数，若满足（）单调减少，即；（），则级数收敛，且第13讲 变号级数收敛性判别方法交错级数例1 证明交错级数收敛.11(1)1nnnn例2考虑级数
11、的敛散性（1）单调下降（2）级数为交错级数，但1nnan1()n 级数不满足收敛的必要条件，所以发散.第13讲 变号级数收敛性判别方法绝对收敛与条件收敛变号级数1nna正项级数1nna1nna利用比值或根值法判断级数发散级数发散1nna例3 证明级数当时均发散.1nnxn定理2 若正项级数收敛，则级数收敛，且1nna1nna11.nnnnaa第13讲 变号级数收敛性判别方法绝对收敛与条件收敛定义1若级数收敛，则称级数为绝对收敛若级数收敛，而级数发散，则称级数为条件收敛1nna1nna1nna1nna1nna绝对收敛的级数一定收敛，反之则不然111(1)nnn收敛，11111(1)nnnnn发散
12、1nnxn当时收敛，收敛1nnxn第13讲 变号级数收敛性判别方法绝对收敛与条件收敛定理3（交换律）设为绝对收敛的级数，则任意交换级数项的前后位置，得到的新级数仍然绝对收敛，且有1nna1nna11.nnnnaa交换项的前后位置第13讲 变号级数收敛性判别方法绝对收敛与条件收敛11nnnnab定理4（级数的乘积）设与为绝对收敛的级数，则它们的乘积仍为绝对收敛，且1nna1nnb,1iji jab,111.ijnni jnnabab12341234()()nnaaaaabbbbb1 11 21 312 1222 323 13 23 33nnnababababa ba ba ba ba ba ba
13、 ba b级数相乘的结果第13讲 变号级数收敛性判别方法绝对收敛与条件收敛两级数相乘的结果写成如下形式：1 11 21 312 1222 323 13 23 33123nnnnnnnnababababa ba ba ba ba ba ba ba ba ba ba ba b柯西乘积 在绝对收敛的条件下，有11 21111()nnnnnnnnaba baba b第13讲 变号级数收敛性判别方法级数收敛性判定一般方法当时，几何级数绝对数收敛柯西乘积应用第13讲 变号级数收敛性判别方法级数收敛性判定一般方法lim0?nna发散na为正项级数？na比较判别法（不等式与极限形式）根值判别法 比值判别法收敛
14、？na收敛（绝对收敛）na1(1)?nnu为交错级数na?321uuu利用级数的运算性质部分和其它判别法收敛na否是是否是否否是是否判别级数敛散性的过程判别级数敛散性的过程第13讲 变号级数收敛性判别方法级数收敛性判定一般方法例4研究级数的敛散性2(1)(1)nnnn(1)0()(1)nnnn 满足收敛必要条件2(1)(1)nnnn 收敛吗？(1)1(1)2nnnn 发散2(1)(1)nnnn 2(1)(1)nnnn 是交错级数1(2,3,)(1)nnn 非单调减少比较判别法510152025300.20.40.60.81.01.21.4第13讲 变号级数收敛性判别方法级数收敛性判定一般方法l
15、im0?nna发散na为正项级数？na比较判别法（不等式与极限形式）根值判别法 比值判别法收敛？na收敛（绝对收敛）na1(1)?nnu为交错级数na?321uuu利用级数的运算性质部分和其它判别法收敛na否是是否是否否是是否判别级数敛散性的过程判别级数敛散性的过程第14讲函数极限的概念问题的引入数列的极限51015200.51.01.52.0第14讲函数极限的概念问题的引入天体运动炮弹发射航海第14讲函数极限的概念主要内容连续变量的变化过程函数极限例子函数极限的定义第14讲函数极限的概念连续变量的变化过程xO函数自变量变化过程有六种形式：0 xx0 xxx x 0 xxx 0 x第14讲函数
16、极限的概念连续变量的变化过程tO时间坐标轴t 公元元年史前、生命的出现、地球的形成地球资源枯竭、气候环境日益恶劣、地球上生命消失t tO公元元年2000t2020t第14讲函数极限的概念函数极限例子?第14讲函数极限的概念函数极限例子?1?11?24第14讲函数极限的概念函数极限的定义函数关于过程的极限定义数列极限?的定义：对于任何给定的正数，存在正整数，当时，恒有?定义1设函数在大于某一正数时有定义，若存在常数,使得对任意给定的正数，存在正数，当时，恒有则称函数当 自变量 趋于无穷大（即）时存在极限,记为?或(当)第14讲函数极限的概念函数极限的定义极限?定义简洁形式：?,当时,恒有极限?定义的几何解释第14讲函数极限的概念函数极限的定义极限?定义简洁形式：?,当时,恒有极限?定义的几何解释第14讲函数极限的概念函数极限的定义极限?定义简洁形式：?,当时,恒有极限?定义的几何解释第14讲函数极限的概念函数极限的定义例1证明.1020304050-0.6-0.4-0.20.20.40.6第14讲函数极限的概念函数极限的定义例1证明.1020304050-0.6-0.4-0.20.20.
