1、第16讲 函数极限存在性的判定准则问题的引入数列极限存在性判定准则 夹逼定理 单调有界原理 柯西收敛准则数列极限与函数极限关系数列极限?函数极限?第16讲 函数极限存在性的判定准则主要内容函数极限与数列极限的关系夹逼定理两个重要极限及应用第16讲 函数极限存在性的判定准则函数极限与数列极限的关系定理1 设?，则对于任何满足?的数列?，均有?.1234n?函数值数列第16讲 函数极限存在性的判定准则函数极限与数列极限的关系定理1 设?，则对于任何满足?的数列?，均有?.第16讲 函数极限存在性的判定准则函数极限与数列极限的关系定理2设?，则对于任何满足?且?的数列?，均有?.()yf x0 x?
2、第16讲 函数极限存在性的判定准则函数极限与数列极限的关系海涅定理Axfxx)(lim0)(,0nnxfxx 有定义且.)(limAxfnn有()x ()nx?（极限的归一性）例1证明不存在.?第16讲 函数极限存在性的判定准则夹逼定理定理3(夹逼定理)设在?的去心邻域?中满足，且?和?存在且相等，则?存在，且?xyoA()f x()x()x?第16讲 函数极限存在性的判定准则两个重要极限及应用例2(重要极限之一）证明：?.?例3证明以下结论：?(2?第16讲 函数极限存在性的判定准则两个重要极限及应用例4(重要极限之二）证明：?1?2?第16讲 函数极限存在性的判定准则两个重要极限及应用例5
3、计算下列极限例6计算极限?（其中a为非零常数）?(1)?(2)?第17讲 无穷小与无穷大问题的引入第一次数学危机 无理数的发现第二次数学危机 微积分的逻辑基础问题：一质点做直线运动，在时刻t距离出发点的距离为?，求质点在?时刻的速度.考虑?后的极短瞬间，质点在该瞬间走过的路程为?质点在该瞬间的速度为?第17讲 无穷小与无穷大问题的引入乔治贝克莱(GeorgeBerkeley)“无穷小量是已死量的幽灵.”第一次数学危机 无理数的发现第二次数学危机 微积分的逻辑基础自然与自然的规律隐藏在茫茫黑夜中，上帝说“让牛顿降生吧”，于是一片光明。亚历山大 蒲柏第17讲 无穷小与无穷大主要内容无穷小的概念无穷
4、小的运算性质无穷大与铅直渐近线无穷小的比较第17讲 无穷小与无穷大无穷小的概念无穷小定义1 若?，则称函数是过程的无穷小说明:(1)除 0以外任何很小的常数都不是无穷小；(2)称一个函数是无穷小时必须同时指明自变量的变化过程.思考：0是不是无穷小？?是不是无穷小？其中表示连续变量的六种变化过程之一.第17讲 无穷小与无穷大无穷小的概念例如，因为?，因为?，所以?都是过程的无穷小因为?，所以?是过程的无穷小所以是过程?的无穷小.第17讲 无穷小与无穷大无穷小的概念定理 1(无穷小与函数极限的关系)?其中为?时的无穷小量.?其中为时的无穷小量.函数与其极限相差相应过程的无穷小.第17讲 无穷小与无
5、穷大无穷小的运算性质 有限个无穷小之和仍是无穷小.无穷小与有界函数之积是无穷小.定理2(1)设为过程?的无穷小，在?的某个去心邻域中有界，则也是过程?的无穷小(2)设为过程的无穷小，在某个无穷邻域中有界，则也是过程的无穷小 有限个无穷小之积仍是无穷小.注意：同一命题所对应的过程相同第17讲 无穷小与无穷大无穷小的运算性质例1求极限?（无穷小与有界函数之积）-0.100.05-0.050.10-0.050.05第17讲 无穷小与无穷大无穷小的运算性质例2求极限?1?1010（无穷小与有界函数之积）第17讲 无穷小与无穷大无穷大与铅直渐近线定义2（1）若,当?时，有,则称函数为过程?的无穷大，记为
6、无穷大?.（2）若,当?时，有,则称函数为过程?的正无穷大，记为?.注：此时称?为函数图形的铅直渐近线.第17讲 无穷小与无穷大无穷大与铅直渐近线?为?铅直渐近线?为铅直渐近线第17讲 无穷小与无穷大无穷大与铅直渐近线无穷大与无穷小的关系定理3（1）若?，则?；（2）若在?的某去心邻域内非零，且?，则?.推论 若?，则?.例3证明：是过程的无穷大.第17讲 无穷小与无穷大无穷大与铅直渐近线用“0”和“”分别表示同一过程的无穷小和无穷大，则无穷大与无穷小的关系可表示为“?”.思考：下面哪些结果是确定的？第17讲 无穷小与无穷大无穷小的比较下面的四个函数都是过程的无穷小：,?.?0.50.50.4
7、794260.250.6931470.40.40.3894180.160.5877870.30.30.295520.090.4700040.20.20.1986690.040.3364720.10.10.0998330.010.1823220.050.050.0499790.00250.09531第17讲 无穷小与无穷大无穷小的比较?=?=?=?0.50.5214570.9588511.3862941.9177020.40.4108690.9735461.4694672.4338650.30.3045480.9850671.5666793.2835580.20.201340.9933471.6
8、823614.9667330.10.1001670.9983341.8232169.9833420.050.0500210.9995831.90620419.991670.010.010.9999831.98026399.99833第17讲 无穷小与无穷大无穷小的比较定义3 设均是过程中的无穷小,且,(1)若?,则称是在过程的高阶无穷小，记作).例如，?=?（）)也称是在过程的低阶无穷小.第17讲 无穷小与无穷大无穷小的比较定义3 设均是过程中的无穷小,且,(2)若?,则称是在过程的同阶无穷小.(）.(3)若?，则称是在过程的等价无穷小，记为?)例如，第17讲 无穷小与无穷大无穷小的比较例4证
9、明下列等价关系（过程均为）：(1);(2)?;(3);(1);(2)?;(3)?;例5证明下列等价关系（过程均为）：(4)?.同一过程的等价无穷小具有传递性.第17讲 无穷小与无穷大无穷小的比较定理4设?和?均为过程的无穷小，?在相应的去心邻域中不等于0，且有?(1)若极限?存在，则极限?一定存在，且?(2)若?，则有?（无穷小等价代换）第17讲 无穷小与无穷大无穷小的比较例6计算函数极限?例7计算函数极限?错误的等价代换：?第18讲 函数连续的概念问题的引入流水潺潺树木葱葱第18讲 函数连续的概念问题的引入温度的变化身高的增长“自然界中，一切都是连续的”第18讲 函数连续的概念主要内容连续函
10、数的概念连续性的等价刻画间断点及其类型第18讲 函数连续的概念连续函数的概念定义1设函数在点?的某邻域?内有定义，若当?时存在极限，且有?则称函数在点?处连续，并称点?为函数的连续点?增量形式:形式:?当?时，有有?第18讲 函数连续的概念连续函数的概念?(1)在某?有定义；(2)极限?存在；(3)?在点?连续?第18讲 函数连续的概念连续函数的概念定义2(1)设函数在区间?内有定义，若?，则称函数在?处右连续(2)设函数在区间?内有定义，若?，则称函数在?处左连续?函数在?处连续，当且仅当它在?处左连续和右连续第18讲 函数连续的概念连续函数的概念?定义3(1)若函数在开区间内每一点连续，则
11、称该函数在区间内连续,记为 (2)若函数在开区间内连续，且在和处分别右连续和左连续，则称函数在闭区间上连续.记为 .右连续左连续连续第18讲 函数连续的概念连续函数的概念例1设函数在内有定义，且对内的任何满足证明：在内连续的充要条件是该函数在处连续第18讲 函数连续的概念连续函数的概念容易验证：多项式函数?在中任何点处都连续 正弦函数和余弦函数在 中的任何点处都连续 对数函数在?中的任何点处连续例2讨论函数 为有理数 为无理数在点处及其附近点的连续性第18讲 函数连续的概念间断点及其类型(1)函数在?点无定义；(2)函数在?点有定义，但?不存在；(3)函数在?点有定义，且?存在，但?则称?为的
12、间断点.设函数在?的某去心邻域有定义，若下列情形至少有一成立，则在?点不连续.第18讲 函数连续的概念间断点及其类型定义4（间断点分类）设?为的间断点.第类:若?,第类:若其中有一个为，称?为可去间断点.?和?均存在,若?,称?为无穷间断点.?和?至少一个不存在,称?为跳跃间断点.若其中有一个为振荡，称?为振荡间断点.?跳跃度第18讲 函数连续的概念间断点及其类型例3指出函数的间断点及其类型.例4单位阶梯函数(赫维赛德函数)的间断点及其类型.?1?1?第18讲 函数连续的概念间断点及其类型例5指出函数的间断点及其类型.?例6设函数?证明函数在处连续?第18讲 函数连续的概念间断点及其类型例7设
13、?当常数 和?取何值时函数在上连续？?2?2?1123第19讲 连续函数的运算问题的引入 连续函数对函数运算的封闭性四则运算有理数有理数四则运算复合运算求逆运算连续函数连续函数第19讲 连续函数的运算主要内容连续函数的运算法则初等函数的连续性压缩映像原理第19讲 连续函数的运算连续函数的运算法则定理1(连续函数的四则运算)设函数在点?处连续，则函数?在点?处连续在?处连续.在处连续.双曲正弦函数?在()上连续.（连续函数对四则运算是封闭的）第19讲 连续函数的运算连续函数的运算法则定理2(连续函数的复合运算)设复合函数有意义，?，若在?处连续，在?处连续，则在点?处连续?视为函数和?的复合?当
14、时连续.x0 xu0()xy0()fx ux yf u yfx例如，第19讲 连续函数的运算连续函数的运算法则由连续函数复合运算法则知，极限运算与连续函数运算可以交换顺序，即?例如，?注：由复合函数的求极限法则，即使在?处不连续，只要极限?存在，且在?处连续，上述结论依然成立.?第19讲 连续函数的运算连续函数的运算法则幂指函数：?若有?，且，则有?例1求函数极限?第19讲 连续函数的运算连续函数的运算法则定理3(连续函数的求逆运算)设函数在区间?上连续且递增(递减)，?是函数的值域，则?也为一区间，且的反函数?在区间?上连续且递增(递减)?反三角函数,及等在其定义域中连续.第19讲 连续函数
15、的运算初等函数的连续性基本初等函数包括下面五种函数：(1)幂函数：?(为常数)；(2)指数函数：?(为常数,)；(3)对数函数：?(为常数,)；(4)三角函数：等；(5)反三角函数：等 所有基本初等函数在其定义域上连续.第19讲 连续函数的运算初等函数的连续性基本初等函数在其定义域内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在连续定义区间内定义区间内定义域？所以该函数没有连续点.的定义域是离散点例如，若初等函数在区间内有定义，则它在该区间内连续.第19讲 连续函数的运算初等函数的连续性例3求函数的连续区间与间断点，并指出间断点的类型.?2-11-23-4-224例2问函数在
16、哪些点处连续？?跳跃间断点无穷间断点第19讲 连续函数的运算压缩映像原理连续函数与数列极限的关系函数在?连续的充要条件是：?均有?.递推数列极限的存在性数列?：?是否收敛？如果极限?存在，且在?处连续，则?？?第19讲 连续函数的运算压缩映像原理定理4 设函数连续，若存在常数使得对于任何，均有，则一定存在惟一的，使得.注：（1）称满足的为函数的不动点.（2）称满足定理条件的函数为区间上的压缩映射.定理4称为压缩映像原理或Banach不动点定理.第19讲 连续函数的运算压缩映像原理例3设?,求?存在?因此，所求数列极限为?第20讲 闭区间上连续函数的性质问题的引入从直观上我们知道，任给一块面积为的大理石，一定可以将其用锯子以直线锯口将其分割成面积相等的两块.试问你能从数学上给予证明吗？第20讲 闭区间上连续函数的性质主要内容最值定理零值定理与介值定理定理应用第20讲 闭区间上连续函数的性质最值定理最大值与最小值对于在区间上有定义的函数，如果有?，使得对于任一,都有?，则称?是函数在区间上的最大值，记作?或?.第20讲 闭区间上连续函数的性质最值定理最大值与最小值对于在区间上有定义的函数，
