1、 第第 6 6 章 数理统计的基本概念章 数理统计的基本概念一一.统计的基本概念统计的基本概念二二.统计量的分布统计量的分布三三.抽样分布抽样分布，由大数定律：，由大数定律：（3）则则 在在 8.1，需确定估计区间（，需确定估计区间（）。）。（2）构造）构造 2甲甲乙PX1.8x统计工作最基本内容：统计工作最基本内容：1.估计电视机寿命的平均值估计电视机寿命的平均值，估计电视机寿命的方差估计电视机寿命的方差 2.比较两厂电视机寿命值有无差别，方差有无差别。比较两厂电视机寿命值有无差别，方差有无差别。总体总体样本样本统计量统计量参数点估计参数点估计假设检验假设检验区间估计区间估计目的：目的：（方
2、差同理）（方差同理）方法：方法：21是否一致与 2221是否一致与 0是否一致与 202是否一致与.,.,21nxxx统计工作的基本步骤统计工作的基本步骤1.收集资料：收集资料：2.统计分析：对数据整理和分析统计分析：对数据整理和分析3.统计推断：统计推断：i）点估计：确定未知参数）点估计：确定未知参数的估计量的估计量ii）区间估计：确定（左，右）区间）区间估计：确定（左，右）区间（1）参数估计：）参数估计：（2）假设检验：）假设检验：i）推断两个总体均数是否一致）推断两个总体均数是否一致ii）推断两个总体方差是否一致）推断两个总体方差是否一致iii）推断一个总体均数有无变化）推断一个总体均数
3、有无变化iv）推断一个总体方差有无变化）推断一个总体方差有无变化2221212一一.统计的基本概念统计的基本概念为样本一组观察值。,21nxxx总体有限总体（观察值有限个）无限总体（观察值无穷多个）随机变量 X 总体（n为样本容量）研究对象观察值的全体研究对象观察值的全体（样本是从总体中抽取的部分个体）（样本是从总体中抽取的部分个体）nXXX21,个体：每个观察值。个体：每个观察值。独立同分布，则称独立同分布，则称nXXX21,为简单随机样本，简称为样本。为简单随机样本，简称为样本。,21nXXXnXXX21,.2,1,ipxXPiinnxXxXxXP,.,2211niixXP1样本联合分布列
4、：样本联合分布列：（1）代表性：）代表性：保证总体中每个个体有同等机会被抽到。保证总体中每个个体有同等机会被抽到。（2）独立性：）独立性：每次抽取独立进行，各个体值互不影响。每次抽取独立进行，各个体值互不影响。（1）离散型：总体）离散型：总体X的分布列的分布列发生的概率xxx样本点n21,与总体同分布与总体同分布nxxxF,.,21nxxxf,.,21（2）连续型：总体）连续型：总体X的分布密度的分布密度f(x)样本样本 联合密度：联合密度：（3）总体）总体X的分布函数的分布函数F(x)样本样本 联合分布函数为：联合分布函数为：nxfxfxf21 nxFxFxF21发生的可能性xxx样本点n2
5、1,nXXX,21nXXX,21nXXX21,设为总体为总体X的样本，的样本，nXXXTT21,函数，且不含任何未知参数，称函数，且不含任何未知参数，称T为统计量。为统计量。；niiXnX11nikikXnA11 XEkEXI.常用统计量：常用统计量：（1）样本均数：）样本均数：（2）样本）样本k阶矩：阶矩：iiipx1（3）样本中心矩：）样本中心矩：kniikXXnB1-1 kXEXE（4）样本方差：）样本方差：212-1-1niiXXnS 2XEXEXD XD21-1-1niiXXnS样本标准差：样本标准差：（5）顺序统计量：）顺序统计量：nXXX21,nXXX21，XXXXn211,mi
6、n nnXXXX21,max样本总体，2221212XP.2.1.一已知分布，N10 分布n2 分布mnF未知分布nt,.二2SYX 2221SS量的分布定义统计定义基本概念构造统计量统计量 的分布SS的分布YX的分布S的分布X22212.三3.4.样本的联合分布样本的联合分布准备工作：准备工作：，9.7x在在7.9左右左右nNX2,1,0 NnX推导抽样分布推导抽样分布 n205.89.7.5.88.71001xnXnXX xf1nXPnnXX05.805.805.8，NX2,，9.7，5.8,8.7,0例：电视机寿命值例：电视机寿命值由大数定律，对任意的容许误差由大数定律，对任意的容许误差
7、一定能找到一个一定能找到一个n，使得：，使得：抽取容量为抽取容量为n=100的样本，的样本，则则 在在8.05左右，左右，一般地，一般地，的估计精度区间应该为：的估计精度区间应该为：100X关于统计量的分布关于统计量的分布我们只抽样一次我们只抽样一次 用来估计用来估计，1T2TXXX xfX11z2zX xf1nNXn2,21，TT；1,0 NnXn；121TXTPn121znXzPn21TT，已知05.805.8nzXnzXinin，APnx两端小概率抽不到统计的基本原理（小概率事件原理）统计的基本原理（小概率事件原理）若事件若事件A发生的概率发生的概率则统计认为则统计认为A在一在一于是于是
8、的估计区间应该为：的估计区间应该为：即即的估计区间应该为：的估计区间应该为：的非小概率区间端点值的非小概率区间端点值次抽样下不发生。次抽样下不发生。称为随机变量称为随机变量X 的的 分位点。分位点。构造估计量X正态 分布YXtN去掉未知参数21求出,TT构造估计量22S2 分布2S21求出,TTXXX xf 用右尾面积的大小标注用右尾面积的大小标注 分位点的位置所在。分位点的位置所在。（小概率事件区间与非小概率事件区间的分界点（小概率事件区间与非小概率事件区间的分界点 ）构造估计量21YX 正态 分布X构造估计量22212221SSFSS分布222121求出,TT，XXP21,TT x025.
9、0Z xexx2-221025.0Z95.0025.0025.0 x025.0Z975.0Z025.0025.0,ZZ，025.0025.0ZZ975.0Z0.025 Z及表1,0 NZ（1）定义：）定义：（2）性质：关于）性质：关于Y轴对称轴对称（3）分位点：）分位点：（以（以=0.05维离维离）1）双侧分位点：）双侧分位点：非小概率事件区间：非小概率事件区间：小概率事件区间：小概率事件区间：05.0Z95.005.095.005.005.0Z x x05.0,Z,05.0Z05.00.95ZZ，Z05.005.0,Z05.0Z2）单侧分位点：）单侧分位点：单侧上限分位点（过高异常）：单侧上
10、限分位点（过高异常）：非小概率事件区间：非小概率事件区间：小概率事件区间：小概率事件区间：单侧下限分位点（过低异常）：单侧下限分位点（过低异常）：非小概率事件区间：非小概率事件区间：小概率事件区间：小概率事件区间：例例1.（1）当）当=0.05，求，求 双侧分位点。双侧分位点。1,0 NX025.0Z96.101.0Z33.2解：解：=0.05，双侧分位点，双侧分位点=0.1，单侧下限分位点，单侧下限分位点=0.01，单侧上限分位点，单侧上限分位点1.0Z28.1025.0Z95.0025.0025.0 x025.0Z975.0Z01.0Z01.099.09.01.01.09.0ZZ（2）当）
11、当=0.01，求，求 单侧上限分位点。单侧上限分位点。1,0 NX（3）当）当=0.1，求，求 单侧下限分位点。单侧下限分位点。1,0 NX 一个相关的结论（只需了解）一个相关的结论（只需了解）0,00,212-21-yyeyyfyY:1,1,0.1222分布，密度函数为称XXYNX 0,00,2212-1-22zzeznzfznnZ,.222221nXXXZn则相互独立，且所有的现有 ,1,0,.,.221NXXXXin0 ,00,21212-1-2121yyeyy 分布具有可加性。n2（1）定义：）定义：则称则称 自由度为自由度为1的卡方分布。的卡方分布。nXnii212 nmmn222，
12、nnE2。nnD22,1,0 NXnXXX21,性质：2 相互独立，则与可加性：两个变量mn22i 则若,ii2nX n2 122X，则2,1,1,0niNXi独立同分布，独立同分布，niiXD12niiDX12niiEX12 niiXEnE1222inEXn4EXdxexx24221n23224EXEXn xf n2025.0025.0 n2975.0 n2025.0 ，nn，2025.02975.00 n，n2025.02975.0 n2975.0 n2025.0 nD2 2242EXEXnnDii 证明：（3）分位点：）分位点：（以（以=0.05维离维离）1）双侧分位点：）双侧分位点：非
13、小概率事件区间：非小概率事件区间：小概率事件区间：小概率事件区间：xf n205.0 n205.0 xf05.0 n295.0 n2 n205.0，n205.0 n，205.00 n295.0，n295.0 n，295.002）单侧分位点：）单侧分位点：单侧上限分位点（过高异常）：单侧上限分位点（过高异常）：非小概率事件区间：非小概率事件区间：小概率事件区间：小概率事件区间：单侧下限分位点（过低异常）：单侧下限分位点（过低异常）：非小概率事件区间：非小概率事件区间：小概率事件区间：小概率事件区间：（3）当）当=0.025，求，求 单侧上限分位点。单侧上限分位点。例例2.（1）当）当=0.01，
14、求，求 双侧分位点。双侧分位点。（2）当）当=0.05，求，求 单侧下限分位点。单侧下限分位点。152995.0 10295.094.3601.4 102X 152005.0801.32 152X252X解：（解：（1）当）当=0.01，xf n2 n2025.02995.099.02005.0（2）当）当=0.05，05.095.0（3）当）当=0.025，975.0252025.0 10295.0=40.65t tfn2nYXt 10，Nnt nYNX2,1,0 1,0 iiNntn 时认为当45n5分布Student（1）定义：）定义：X与与Y 独立，则称独立，则称服从自由度为服从自由度
15、为n的的t分布，记为分布，记为 ntt（2）性质：）性质：i）关于）关于Y 轴对称轴对称0.025025.0975.0及 ttt025.0025.0,-tt，-，-025.0025.0tt025.0t95.0025.0975.0t025.0 tf025.0t05.0,t，t05.00.95t05.0t05.0t95.005.0 tft05.095.005.0t05.0,t,05.0t05.0t（3）分位点：）分位点：（以（以=0.05维离维离）1）双侧分位点：）双侧分位点：非小概率事件区间：非小概率事件区间：小概率事件区间：小概率事件区间：2）单侧分位点：）单侧分位点：单侧上限分位点（过高异常
16、）：单侧上限分位点（过高异常）：非小概率事件区间：非小概率事件区间：小概率事件区间：小概率事件区间：单侧下限分位点（过低异常）：单侧下限分位点（过低异常）：非小概率事件区间：非小概率事件区间：小概率事件区间：小概率事件区间：（2）当）当=0.01，求，求 单侧上限分位点。单侧上限分位点。例例3.（1）当）当=0.05，求，求 双侧分位点。双侧分位点。（3）当）当=0.1，求，求 单侧下限分位点。单侧下限分位点。17 tt 12 tt29 tt95.0025.0025.001.0t01.099.09.01.0 xf025.0t解：（解：（1）当）当=0.05，975.0t025.0t17025.0t11.2（2）当）当=0.01，1201.0t68.2（3）当）当=0.1，1.09.0tt29291.09.0tt31.1（1）定义：）定义：，则称，则称;,1nmFmVnUF mnF,ii1），若iiintt）2则t2)/(nYXnYX12nF,1 xfFmnF,1mnF,mnF,独立，与,22VUmVnU;,1则,若 inmFXmnFX服从自由度为服从自由度为(n，m)的的F分布，记为分
