1、高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学大 学 数 学（一）第十一讲 无穷小量的比较脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民湖南大学高等数学第三章 函数的极限与连续性本章学习要求：了解函数极限的概念，知道运用“”和“X”语言描述函数的极限。理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极限求相应的函数极限。理解函数在一点连
2、续以及在区间上连续的概念，会判断函数间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法。第三章函数的极限与连续性第六节 无穷小量的比较一.无穷小量比较的概念二.关于等阶无穷小的性质和定理设,是同一个极限过程中的两个无穷小量.则称是的若,0lim=记为.)(o=高阶无穷小,此时,lim=也可称是的低阶无穷小.若0lim=CC，为常数,记为则称与是同阶无穷小,.)(O=若0 ,0lim=kCCk，为常数,则称为的k 阶无穷小,记为.)(Ok=.,是同阶无穷小与此时k则称是的若,1lim=记为.等阶无穷小,等
3、价无穷小必是同阶无穷小,但反之不真.不存在,但又不是无穷大,若lim则称与是不能比较的无穷小.x 0 时的几个无穷小量的比较：).0()(o ,0lim )1(220=xxxxxx=+xxxx2sinlim )2(0,32limsinlim00=+xxxxxx)O(2sinxxx=+)0(x例1=xxx20sincos1lim )3(21sin2sin2lim22220=xxxxx)0()(sinOcos1 2=xxx1sinlim )4(0=xxx)0(sin xxxxxx220sin2sin2lim)0 ,0(ln1 axaxax证明1ln1 lim 0=axaxx即要证 ,1 =xay令
4、ayyxaln)1ln()1(log+=+=axaxxln1lim 0故)0(ln1 xaxax从而且时则 ,0 ,0 yx=+)1ln(lim0yyy1)1ln(1lim10=+yyy有何想法？例2证 ).0()1ln(,+xxx得到由该例的证明过程 ,21cos1lim 20=xxx因为所以1 cos x=O(x2)(x 0).)0(21cos1 2xxx还有例3xxxxxx1sin lim1sinlim 00=x 0 时,xx1sin不可比较的无穷小.不存在,但不是无穷大,与 x 是例4二.关于等阶无穷小的性质和定理1.定理定理设在某一极限过程中,)(lim =或为若a .limlim
5、=则,证综上所述,lim 则设a=,limlimlimlimlimlima=,0 ,0lim ,lim 的情形即则设=a .lim ,0lim =故于是 .limlim=限过程中的第三个变量.2.定理z 是该极设在某极限过程中,limlimzz=(或为 ),则若,limaz=定理zz lim lim=，a=由定理1,得0 1lim=z,故 limz=.综上所述,设则,limaz=z limlim=则设，0 1lim=z,lim=z .limlimzz=证设在某极限过程中,则.3.定理传递性定理无穷小量可以用其等价无穷小量替代.定理告诉我们:在计算只含有乘、除法的极限时,例 .21sintanl
6、im 30=xxxx直接计算可得如果在加减法中用等价无穷小量替代,则会产生错误:.0limsintanlim3030=xxxxxxxx ).sin ;tan ,0(xxxxx时将常用的等阶无穷小列举如下:xx sinxx tan2cos12xxxx)1ln(+mxxm11+211xx+nxxn1)1(+xex1axaxln12sintan3xxx xx arcsinxx arctan.0 ,aNnm其中当 x 0 时xxx53lim0=53=xxx5sin3tanlim0 xxx5sin3tanlim0求例5解=xxx1sinlim2xxx1sinlim2求xxx1lim2=xxlim例6解x
7、xxxtansin21lnlim0+xxx21lim0=xxxxtansin21lnlim0+求xxxtan)1ln(21lim0+=xxxtansin2lim0+xxx2lim0+212=例7解=+3221lnlimxxx02lim=xx+3221lnlimxxx求322limxxx例8解+=2)(cos2lim0 xbaebxx12)()(lim 210=xbaxbax。，babxaxeebxaxxsinsinlim0求=bxaxeebxaxxsinsinlim02)(sin2)(cos2)1(lim)(0 xbaxbaeexbabxx+2)(sin1lim)(0 xbaexbax和差化积
8、例9解此题也可先在分子处加 1 减 1xbxaxnmx+11lim0 xbxxaxnxmx11lim11lim00+=nbmaxbxnxaxmxx=1lim1lim00 xbxaxnmx)11()11(lim0+=xbxaxnmx+11lim0求例10解证明：若在某极限过程中0,0,.0lim=在某极限过程中,若,则=1limlim011lim1=且 0,则 的充要条件是例11证反之,0lim =若则=lim)(lim101lim1=故.?55 ,0 332的几阶无穷小量是时当xxxx,55 55333232xxxx=由于,555lim55 lim330303232=xxxxxx.32 55
9、,0 332阶无穷小量的是时故xxxx)O(5532332xxx=例12解)(limCxxfk=解例13 .)122(lim xxxxx+求 ,0 ,1 于是时则令+=yxyxyyyy11221lim0+=+原式+=+yyyyy)11(2121lim0yyyyyy11lim2121lim00+=+.011=变量代换四则运算等价无穷小解例14 .)2cos1cos(1lim 40 xxx求 ),0(2cos1 2得由xxx420402)2cos1(lim)2cos1cos(1lim xxxxxx=.28)2(lim22)2(lim4404220=xxxxxx连续两次使用等价无穷小替代.等价无穷小
10、替代解例15 .)sin1(lim cos1120 xxxxe+求+=+xxexexxxxxcos1)sin1ln(limexp)sin1(lim 20cos1120 ,)0(2cos1 ,)1ln(2得由+xxxxx=220sin 2limexpxxexx .sinlim2lim exp22200exxexxx=函数的性质等价无穷小替代重要极限也可再用等价无穷小替代?这样做行不行 .sin 0 ,1sinlim 22220 xxexxxexxx时所以由于=)(1lim)sin1(lim cos1120cos1120 xxxxxxxe+=+故 .)1(lim22 202exxx=+=)0(,2
11、1cos1 (2xxx请看下面的定理.定理定理 ,等价无穷小量为某极限过程中的两个和设 ,)1lim(,)(lim ,)(axx=+=又在该极限过程中 .)1lim()1lim()()(axx=+=+则有证 )1lim()1ln()(lim)1ln(lim)()(+=+xxeex )(lim)(limxxee=)()1ln(lim)1ln()(limxeex+=.)1lim()(x+=).1ln()1ln(,:+则若还可得到等价无穷小替代解例16 .)()sin1()sin1()sin1)(sin1(lim 132Nnxxxxnnx求 ,)0(11 故由于+xmxxmxxxxxxnxsin1s
12、in1sin1sin1sin1sin1lim32=原式xxxxxxnxsin11)1(sin1sin11)1(sin1sin11)1(sin1lim32+=.!113121nn=利用初等方法进行变化,使之能用等价无穷小替代.解例17 .coslncoslim 20 xxexx求+=)1(cos1ln(cos1)1(cos1ln(1lim20 xxxexx原式)1(cos1ln(cos1lim0+xxx)1(cos1ln(1lim20+=xexx1coslim20=xxx1coscos1lim0+xxx.)1ln(;2cos1 ,02xxxxx+时3=解例180),(,lim 2111211+n
13、xnxnxxxaaanaaa求 lnlim exp11211naaanxxnxxx+=+原式 11lnlim exp11211+=+naaanxxnxxx 1lim exp11211+=+naaanxxnxxx)1()1()1(limexp11211+=+xnxxxaxaxax .lnlnexpln2121nnaaaaaa=+=axaxxxxln1)1ln(0+时解例19 .),cos1(1)1(,0 312axaxx求常数时已知+,2cos1 ;1 ,0 2得时由xxnxxxn+,322 3 limcos11)1(lim12203120axaxxaxxx=+=.23 =a故判别级数+=1)c
14、os1(nnx的敛散性.(x 0为常数)由于=21cos1limnnxn)0(022=xx而+=121nn是 n=2 的 P 级数,它是收敛的,解解即 .)cos1(1收敛+=nnx故原级数，212lim2222xnnxn=例20解例21 ).(lim 2112sin)(1 lim ,)(lim 0 300 xfexxfxfxxxx=+求且存在已知 .0 )(,)(lim 0时有界当故函数存在由于xxfxfx 02sin)(lim 0得由=xxfx )0(2sin)(2112sin)(1 +xxxfxxf 从而 ,3)(lim32sin)(21lim112sin)(1 lim20030 xfxxxfexxfxxxx=+=.6)(lim 0=xfx故.1 ,sin ,0 xexxxx时.2111 ,0 xxx+时
