1、高等院校非数学类本科数学课程脚本编写：刘楚中教案制作：刘楚中 湖南大学高等数学第七章 常微分方程本章学习要求：n了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念.n了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方 程、一阶线性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分 方程.熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法.n会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程.n知道下列高阶方程的降阶法：.)()(xfyn),(yxfy ),(yyfy n了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线 性微分方程的解法.n熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法.n掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正
2、弦函数、余 弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方 程的解法.第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程)()(ddygxfxy变量可分离方程变量可分离方程 xyfxydd齐次方程齐次方程222111ddcybxacybxafxy可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程0)(ddyxpxy一阶线性齐方程一阶线性齐方程)()(ddxqyxpxy一阶线性非齐方程一阶线性非齐方程nyxqyxpxy)()(dd伯努利方程伯努利方程)()(ddygxfxy变量可分离方程变量可分离方程 xyfxydd齐次方程齐次方程0)(ddyxpxy一阶线性齐方程一阶线性齐方程)()(ddxqyxpxy一阶线性
3、非齐方程一阶线性非齐方程nyxqyxpxy)()(dd伯努利方程伯努利方程)()(ddygxfxy变量可分离方程变量可分离方程 222111ddcybxacybxafxy可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程一、变量可分离方程一、变量可分离方程如果一阶微分方程可以化为下列形式：如果一阶微分方程可以化为下列形式：xxfyygd)(d)(则称原方程为变量可分离的方程。则称原方程为变量可分离的方程。运用积分方法即可求得变量可分离方程的通解：运用积分方法即可求得变量可分离方程的通解：xxfyygd)(d)(其中其中C 为积分后出现的任意常数。为积分后出现的任意常数。),(。就是原方程的通解就是原方程
4、的通解积分的结果积分的结果Cxyy 将一个方程化为变量分离方程并求出其通解的过程，将一个方程化为变量分离方程并求出其通解的过程，称为分离变量法。称为分离变量法。例解解 ),(11 002的特解。的特解。的通解，并指出过点的通解，并指出过点求方程求方程yxxy原方程即原方程即 ,1dd2xxy对上式两边积分，得原方程的通解对上式两边积分，得原方程的通解Cxy arctan )(。x，故，故时，时，当当00 yyxx arctan00，xyC的特解为的特解为从而，过点从而，过点),(00yx arctanarctan00。xxyy 例解解 )1(21dd 2。求解微分方程求解微分方程yxy 01
5、2分离的方程分离的方程时，该方程可化为变量时，该方程可化为变量当当y d1d22，xyy对上式两边积分，得原方程的通解对上式两边积分，得原方程的通解 11ln1。Cxyy经初等运算可得到原方程的通解为经初等运算可得到原方程的通解为 11。xxCeCey)(1CeC 1 01 2，代入原方程可知：，代入原方程可知：，得出，得出令令yy 1 也是原方程的解。也是原方程的解。y 1 0 1，所以，所以，对应于对应于；对应于对应于由于由于CyCy原方程的解为原方程的解为 11，xxCeCey )(。为任意常数为任意常数C 例解解 0d)1(d)1(2的通解。的通解。求方程求方程yxyxy，得，得方程两
6、边同除以方程两边同除以)1)(1(2yx 01d1d2。yyxx两边同时积分，得两边同时积分，得|ln|1|ln21|1|ln2，Cyx|1|1|2。即即Cyx故所求通解为故所求通解为 11 2。yCx 因为只因为只求通解，所求通解，所以不必再讨以不必再讨论了。论了。例解解 2dd 。的所有解的所有解求方程求方程yxy原方程即原方程即。)0(d2dyxyy两边积分，得两边积分，得 ，Cxy故通解为故通解为 )(2。Cxy 0 被包含在通解内。被包含在通解内。也是方程的解，但它不也是方程的解，但它不易验证易验证y 0 看，方程的奇解是积分看，方程的奇解是积分为方程的奇解，几何上为方程的奇解，几何
7、上此时称此时称y曲线族的包络。曲线族的包络。工程技术中工程技术中解决某些问题时，解决某些问题时，需要用到方程的需要用到方程的奇解。奇解。二、齐次方程二、齐次方程xyfxydd齐次方程齐次方程 d)(dxxuufu变量分离方程变量分离方程 xuuxyddd)(ddufuxux代入原方程，得代入原方程，得 例解解 tandd 的通解。的通解。求方程求方程xyxyxy dddd ，则，则令令xuxuxyxyu于是，原方程化为于是，原方程化为 dtand，xxuu两边积分，得两边积分，得 dtand，xxuu|ln|ln|sin|ln，Cxu即即 sin，Cxu sin 。故原方程的通解为故原方程的通
8、解为Cxxyxuuxyddduxuxxyddddxxxxsincoscottan1三、可化为齐次方程的方程三、可化为齐次方程的方程XYXYdd齐次方程齐次方程222111ddcybxacybxafxy可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程0111cybxa0222cybxa ，yx ，令令yYxX d)(dXXZZfZ变量分离方程变量分离方程 三、可化为齐次方程的方程三、可化为齐次方程的方程XYXYdd齐次方程齐次方程222111ddcybxacybxafxy可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程 d)(dXXZZfZ变量分离方程变量分离方程 例解解 0d)823(d)732(2222的通
9、解。的通解。求求yyyxxxyx d2d d2d 22，则，则，令令yyvxxuyvxu于是，原方程变为于是，原方程变为 732823dd，vuvuvu联立方程组联立方程组0823 vu0732 vu解之，得解之，得 1 2。，vu 12 ，则有，则有，令令vXuY 3223dd，XYXYXY ddd ，于是得到，于是得到，则，则令令XZZXYXYZ d2d1322，XXZZZ两边积分，得两边积分，得|ln|ln2|1|ln21|1|ln25，CXZZ即即 1)1(25。CZXZ的的通通解解为为，代代入入上上式式，得得原原方方程程由由 1212 22yxvuXYZ 3)1(22522。Cyxy
10、x你由这个例题的解题过程想到什么了？你由这个例题的解题过程想到什么了？222111ddcybxacybxafxy可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程 021时，时，ccxyxybaxybafybxaybxafxy22112211dd 2121时，时，kbbaa21222122)()(ddcuckufcybxacybxakfxy)()(ddygxfxy变量可分离方程变量可分离方程 xyfxydd齐次方程齐次方程222111ddcybxacybxafxy可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程0)(ddyxpxy一阶齐线性方程一阶齐线性方程)()(ddxqyxpxy一阶非齐线性方程一阶非齐线性
11、方程nyxqyxpxy)()(dd伯努利方程伯努利方程四、一阶线性微分方程四、一阶线性微分方程形如形如)()(xqyxpy的方程称为一阶线性微分方程。的方程称为一阶线性微分方程。0)(时，时，当当xq方程称为一阶齐线性方程。方程称为一阶齐线性方程。方程称为一阶非齐线性方程。方程称为一阶非齐线性方程。0)(时，时，当当xq习惯上，称习惯上，称0)(yxpy为方程为方程)()(xqyxpy所对应的齐方程。所对应的齐方程。时，方程有唯一解。时，方程有唯一解。、一般说来，当函数一般说来，当函数 )()(Cxqxp 0)(。是一个变量可分离方程方程yxpy一阶齐线性方程的解一阶齐线性方程的解运用分离变量
12、法，得 d)(d，xxpyy )0(，y两边积分，得 d)(|ln1，Cxxpy故 d)(1。xxpCeey 1的通解为，得一阶齐线性方程记CeC d)(。xxpCey 0 对应于对应于y 0。C表示一个表示一个原函数原函数，则一阶齐线性方程若Cxp)(0)(yxpy的解存在，且唯一，其通解为。xxpCeyd)(例解解 02 的通解。的通解。求求xyy ),()(2)(，Cxpxxp故该一阶齐线性方程的通解为故该一阶齐线性方程的通解为 2d)2(d)(。xxxxxpCeCeCey 例解解 2 0sin 2。，求解初值问题：求解初值问题：xyxyy先求此一阶齐线性方程的通解：先求此一阶齐线性方程
13、的通解：),(sin)(，Cxxp cosdsin。xxxCeCey 2 2代入通解中，得代入通解中，得将将xy)2 (2cosCe因为因为 2，C故该初值问题的解为故该初值问题的解为 2cos。xey )()(ddygxfxy变量可分离方程变量可分离方程 xyfxydd齐次方程齐次方程222111ddcybxacybxafxy可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程0)(ddyxpxy一阶齐线性方程一阶齐线性方程)()(ddxqyxpxy一阶非齐线性方程一阶非齐线性方程nyxqyxpxy)()(dd伯努利方程伯努利方程一阶非齐线性方程的解一阶非齐线性方程的解比较两个方程：比较两个方程：)()
14、(。xqyxpy 0)(，yxpy我想：它们的解的形式应该差不多。但差了一点我想：它们的解的形式应该差不多。但差了一点 什么东西呢？什么东西呢？xxpCeyd)(xxpexCyd)()()()(xqyxpy )()(d)(可微，则可微，则，且待定函数，且待定函数令令xCexCyxxp )()()()(d)(d)(d)(，xxpxxpxxpexCxpexCexCy怎么办？怎么办？得得的表达式代入方程中，的表达式代入方程中，及及将将yy )()()()()()(d)(d)(d)(，xqxpexCexCxpexCxxpxxpxxp故故 )()(d)(，xqexCxxp即即 )()(d)(，xxpex
15、qxC上式两边积分，求出待定函数CxexqxCxxpd)()(d)()(。为任意常数C )(d)(方程的通解为中，得一阶非齐线性代入xxpexCy )d)(d)(d)(。Cxexqeyxxpxxp 以上的推导过程称为以上的推导过程称为“常数变易法常数变易法”。这种方。这种方法经常用来由齐次问题推出相应的非齐次问题、由法经常用来由齐次问题推出相应的非齐次问题、由线性问题推出相应的非线性问题。线性问题推出相应的非线性问题。0)(yxpyxxpCeyd)()d)(d)(d)(Cxexqeyxxpxxp)()(xqyxpy 例解解 cos2 2的通解。的通解。求方程求方程xexyyx cos)(2)(
16、2，因为因为xexqxxpx所以，方程的通解为所以，方程的通解为)dcos(d)2(d)2(2Cxxeeeyxxxxx)Cd cos(222xexeexxx)Cdcos(2xxex )sin(2。Cxex 例解解 dd 3的通解。的通解。求方程求方程yxyxy不是线性方程不是线性方程原方程可以改写为原方程可以改写为 1dd2，yxyyx这是一个以这是一个以 y 为自变量的一阶非齐线性方程，其中为自变量的一阶非齐线性方程，其中 )(1)(2，yyqyyp故原方程的通解为故原方程的通解为)d(d)1(2d)1(Cyeyexyyyy 213。Cyy )()(ddygxfxy变量可分离方程变量可分离方程 xyfxydd齐次方程齐次方程222111ddcybxacybxafxy可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程0)(ddyxpxy一阶齐线性方程一阶齐线性方程)()(ddxqyxpxy一阶非齐线性方程一阶非齐线性方程nyxqyxpxy)()(dd伯努利方程伯努利方程五、伯努利方程五、伯努利方程形如形如)1 ,0()()(nyxqyxpyn的方程称为伯努利方程。的方程称为伯努利方程。dd)1(
