1、第48讲 微分方程模型与基本概念问题的引入今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？“鸡兔同笼”问题设鸡有只，则兔有只，根据题意列方程得：算术代数解方程第48讲 微分方程模型与基本概念问题的引入列车制动问题列车在平直线路上以(相当于)的速度行驶；当制动时列车获得加速度?.问开始制动后多少时间列出才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？?微分方程初值条件第48讲 微分方程模型与基本概念主要内容微分方程建模通解和特解积分曲线解的近似几何描述第48讲 微分方程模型与基本概念微分方程建模实际问题数学模型实际预测数学结论建模求解解释验证微分方程微分方程用数学的语言和方法，通过抽象、简
2、化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学工具.数学建模第48讲 微分方程模型与基本概念微分方程建模马尔萨斯人口增长模型英国人口学家马尔萨斯根据百余年的人口统计资料，在 1798年提出了人口的增长率与该时刻人口总量成正比这一观点Thomas Robert Malthus用表示某个国家 时刻的人口总数，记为人口增长率(即出生率与死亡率之差)，第48讲 微分方程模型与基本概念微分方程建模，即由于在时间间内人口的平均增长率(净增长率)为其中为人口的增量，?.所以马尔萨斯人口增长模型常微分方程模型：?模型指数模型00d,d().xkxtx tx第48讲 微分方程模型与基本概念微分方程建模马尔
3、萨斯人口增长模型00d,d().xkxtx tx010d(),d().xxrxtkxx密度制约模型密度制约模型?第48讲 微分方程模型与基本概念微分方程建模湖南长沙马王堆汉墓考古根据原子物理学理论，放射性同位素碳-14(记作?)在 时刻的蜕变速度与该时刻?的含量成正比,活着的生物通过新陈代谢不断地摄取生物体内的?(与空气中的?百分含量相同)生物死亡之后立即停止摄取?,并且尸体中的?开始蜕变假定生物死亡时体内?的含量为?我们先研究死亡生物体内?含量随时间 的变化规律，并运用这一规律来推断出湖南长沙马王堆一号墓是哪个时代的墓葬第48讲 微分方程模型与基本概念微分方程建模假定生物死亡时体内?的含量为
4、?，在 时刻生物体内?的含量为，则有?其中为比例常数，负号则表示?的含量是不断递减的.设?的半衰期为，即?，解得.【建模与求解】第48讲 微分方程模型与基本概念微分方程建模已知?的半衰期为5568年出土时，测得出土木炭标本中?的平均原子蜕变速度新砍伐木材烧成的木炭中?的平均原子蜕变速度年 由此推断出马王堆一号墓大约是2000多年前的汉墓.29.78次/分38.37次/分【建模与求解】第48讲 微分方程模型与基本概念通解和特解定义1含有自变量、未知函数 以及未知函数导数或微分的关系式称为常微分方程，简称微分方程(为常数)(为常数）?一阶微分方程二阶微分方程未知函数导数的最高阶数称为该微分方程的阶
5、第48讲 微分方程模型与基本概念通解和特解一般的阶微分方程的形式(也称隐式表达式)为为阶线性微分方程，其左端是关于未知函数以及未知函数的各阶导数的线性表达式?特别，称下面的 阶微分方程?第48讲 微分方程模型与基本概念通解和特解定义2设函数在区间 上连续，且有直到 阶的导数如果将及其各阶导数代入式中，使之成为关于 在区间 上的恒等式?则称为上述方程在 上的一个解.?例如，?满足方程，称?为该方程的解.第48讲 微分方程模型与基本概念通解和特解定义3阶微分方程?的，包含 个相互独立的任意常数?的解?称为该微分方程的通解.常数?互相独立的理解：每一个常数?对解的影响是其他常数所不能代替的.第48讲
6、 微分方程模型与基本概念通解和特解例如，对微分方程?，?容易验证都是微分方程的解.通解?是通解吗？思考：第48讲 微分方程模型与基本概念通解和特解定义3微分方程?的通解中确定了任意常数的解称为一个特解.?例如,都是?的特解第48讲 微分方程模型与基本概念通解和特解初始条件：阶微分方程?(*)?(*)方程(*)联合初始条件(*)式称为初值问题或柯西问题一阶微分方程的初值问题：?的解在某一点?所满足的条件：第48讲 微分方程模型与基本概念通解和特解显式解与隐式解注:显式解与隐式解统称为微分方程的解.如果关系式(,)=0所确定的隐函数=(),为方程的解,则称(,)=0是方程?的一个隐式解.对于 个相
7、互独立常数的解(,?)=0的解为隐式通解,而(,?)则称为显示通解.第48讲 微分方程模型与基本概念通解和特解例如，对一阶微分方程显式解:隐式解:?和?隐式通解:?第48讲 微分方程模型与基本概念积分曲线该曲线在点?处的切线的斜率为?通常称微分方程的解对应的曲线为积分曲线.若不给定初始条件，微分方程的通解在几何上对应着一族积分曲线，该族曲线称为微分方程的积分曲线族初值问题00d(,),d()yf x yxy xy的解对应过点?的一条积分曲线，第48讲 微分方程模型与基本概念积分曲线?特解通解第48讲 微分方程模型与基本概念积分曲线例1验证是方程?的通解，并讨论其积分曲线的分布情况.注1：微分方
8、程的通解不一定包含微分方程的所有解.注2：表明，有些初值问题的解可能不止一个，即解不是惟一的123?1?2?3?11第48讲 微分方程模型与基本概念解的近似几何描述考虑微分方程?若的定义域为平面区域.在内一点作斜率为的单位线段，则称该线段为点的线素.内所有的线素构成由微分方程 内所有的线素构成由微分方程确定的线素场.第48讲 微分方程模型与基本概念解的近似几何描述如果给每个线段加上指向 增加的方向箭头，则称带方向的线素场为由微分方程确定的方向场，这个方向场也称为有微分方程确定的向量场.第49讲 一阶常微分方程的求解问题的引入不定积分与微分方程的解未知函数即为函数的原函数为方程的通解?1686年
9、，莱布尼兹求解方程1838年，刘维尔证明不能用初等积分法求解！积分第49讲 一阶常微分方程的求解问题的引入一阶微分方程的几种情形（1）?（2）（3）?（4）可分离变量方程齐次方程线性方程伯努利方程第49讲 一阶常微分方程的求解主要内容可分离变量方程齐次方程一阶线性微分方程伯努利方程第49讲 一阶常微分方程的求解可分离变量方程一个原函数这就是所求方程的通解这种通过分离变量求方程通解的方法叫做分离变量法.称形如的一阶微分方程为可分离变量的方程.当时，若存在?使得?,则?为原方程的一个特解.则有第49讲 一阶常微分方程的求解可分离变量方程分离变量两边积分积分计算方程通解为什么是方程的通解？第49讲
10、一阶常微分方程的求解可分离变量方程例1求微分方程的通解.?方向场与积分曲线第49讲 一阶常微分方程的求解可分离变量方程例2求微分方程的通解.?方向场与积分曲线第49讲 一阶常微分方程的求解齐次方程齐次微分方程：，代入原方程得令=,则可分离变量方程情形1：如果，则齐次方程的通解为情形2：如果，由此有第49讲 一阶常微分方程的求解齐次方程例3求解方程?.?有理函数分解方法：?比较系数得解得第49讲 一阶常微分方程的求解齐次方程例4求解方程齐次方程【例4解法】令，则原方程可化为令，解得齐次方程第49讲 一阶常微分方程的求解一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若,称为一阶齐次线性微分方程;否则称
11、为一阶非齐次线性微分方程.?齐次线性微分方程非齐次线性微分方程例如第49讲 一阶常微分方程的求解一阶线性微分方程求一阶齐次线性方程通解可分离变量微分方程?第49讲 一阶常微分方程的求解一阶线性微分方程用常数变易法求解一阶非齐次线性微分方程设?dx是非齐次线性微分方程的解通解：?d?d?d?d?d齐次方程通解非齐次方程特解第49讲 一阶常微分方程的求解一阶线性微分方程例5求解微分方程例6求微分方程?的通解.一阶非齐次线性微分方程通解公式：?d?d?第49讲 一阶常微分方程的求解一阶线性微分方程例7已知某车间的容积为?其中含的二氧化碳，现以含二氧化碳的新鲜空气输入.问每分钟应输入多少这样的新鲜空气
12、，才能在30分钟后使得车间空气中二氧化碳的含量不超过0.06%?(假定输入的新鲜空气与原有空气很快混合均匀后,以相同的流量排出)混合问题注入速度排出速度第49讲 一阶常微分方程的求解一阶线性微分方程设每分钟应输入?新鲜空气，t时刻车间空气中二氧化碳的含量为?d?例7已知某车间的容积为?其中含的二氧化碳，现以含二氧化碳的新鲜空气输入.问每分钟应输入多少这样的新鲜空气，才能在30分钟后使得车间空气中二氧化碳的含量不超过0.06%?【解】d?第49讲 一阶常微分方程的求解一阶线性微分方程d?一阶非齐次线性微分方程时，5406.0540010006.0 x因此每分钟应至少输入 250?新鲜空气.?第4
13、9讲 一阶常微分方程的求解伯努利方程形如的方程称为伯努利方程?解法：令,1 nyz(线性方程)以?除方程两边,得?例8求微分方程的通解.?第50讲 可降阶的高阶微分方程问题的引入悬链线问题解二阶微分方程?悬链线第50讲 可降阶的高阶微分方程问题的引入从地面垂直向上发射火箭问题?二阶微分方程第50讲 可降阶的高阶微分方程主要内容?型的微分方程?,?型的微分方程?,?型的微分方程第50讲 可降阶的高阶微分方程?型的微分方程同理可得?令?积分问题?，即?第50讲 可降阶的高阶微分方程?型的微分方程例1 求微分方程?的通解若函数在内具有阶导数，且?，则为次数不超过 的多项式?第50讲 可降阶的高阶微分
14、方程?型的微分方程?另外两种类型的高阶微分方程重点研究第50讲 可降阶的高阶微分方程?,?型的微分方程通解?积分即?，则?原方程通解?型微分方程?例2求解方程?.第50讲 可降阶的高阶微分方程?,?型的微分方程例3设有一均匀、柔软的绳索，两端固定，绳索仅受到重力的作用下垂，试问该绳索在平衡状态下是怎样的曲线？?设曲线最低点为，点 处的张力为，方向水平向左点处的张力为，方向与曲线相切?为曲线上任一点，设绳索线密度为?,?)【条件量化及建模】第50讲 可降阶的高阶微分方程?,?型的微分方程悬链线应用于桥梁的设计第50讲 可降阶的高阶微分方程?,?型的微分方程通解?分离变量后积分即?，则原方程通解?
15、型微分方程?dddd?dddddd第50讲 可降阶的高阶微分方程?,?型的微分方程例4解初值问题?例5设曲线的曲率等于常数，求曲线的方程 设曲线 C 的直角坐标方程为 y=f(x),且 f(x)具有二阶导数，则曲线 C 点 M(x,y)处的曲率为?第50讲 可降阶的高阶微分方程?,?型的微分方程【例5解】?设?0，且（其中为常数）令，则有?设曲线方程为?第50讲 可降阶的高阶微分方程?,?型的微分方程【例5解】?圆心为任意点半径为 的圆第50讲 可降阶的高阶微分方程?,?型的微分方程例6从地面垂直向上发射质量为的火箭，要使火箭距离地面m,火箭应至少具备多大的初速度？若火箭脱离地球引力范围,火箭
16、又应具备多大的初速度?模型：m)设时火箭距地面第51讲 高阶线性微分方程问题的引入质量为的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上，当重力与弹性力抵消时，物体处于平衡状态，若用手向下拉物体使它离开平衡位置后放开，物体在弹性力与阻力作用下作往复运动，阻力的大小与运动速度成正比，方向相反.试确定物体的运动规律.d?有阻尼自由振动微分方程:有阻尼强迫振动微分方程:d?第51讲 高阶线性微分方程主要内容线性方程解的结构降阶法与刘维尔公式常系数齐次线性微分方程第51讲 高阶线性微分方程线性方程解的结构二阶线性微分方程?阶线性微分方程的一般形式为?()d()d()dp xxp xxeq x ex()dp xxyCe一阶线性方程?的通解为：非齐次方程特解齐次方程通解第51讲 高阶线性微分方程线性方程解的结构二阶齐次线性微分方程?(*)定理1若函数?和?是二阶齐次线性方程(*)的两个解，则它们的线性组合?也是该方程的解，其中?和?是任意常数叠加原理?第51讲 高阶线性微分方程线性方程解的结构函数组的线性相关与线性无关定义1设?是定义在区间上的个函数，如果存在不全为零的 个常数?，使得对一切，都有?则称这个函数在
