1、一元积分学 二重积分的意义 1.1.物理意义物理意义 (,)Df x y dxdy(,)f x y表表示示以以为为面面密密度度有有限限平平面面区区域域质质量量的的代代数数和和.2.2.几何意义几何意义 (,)Dzf x y表表示示以以为为底底，以以为为顶顶的的曲曲顶顶柱柱体体体体积积的的代代数数和和.Oyzx(,)zf x yDdxdy一元积分学 二重积分的性质 DdxdyD1)1)的的面面积积ddd()()()()DDDf Pg Pf Pg P2)2)1212ddd=+()()()DDDD DDf Pf Pf P3)3)若若，则则dd()(),()()DDf Pg PPDf Pg P4)4)
2、若若，则则d*()()=(),Df PDf Pf PD 5)5)设设是是有有界界闭闭区区域域 上上连连续续函函数数，则则*PD000(,)()(,).DDxyf x yx yf x y dxdy6)6)若若 关关于于对对称称，且且是是关关于于的的奇奇函函数数，则则(,)(,).DDDyxf x y dxdyf y x dxdy7)7)若若 关关于于对对称称，则则1212(,)(,).DDDDyxf x y dxdyf y x dxdy若若和和关关于于对对称称，则则0()aaf x dx规规：律律一元积分学 二重积分的计算公式 直角坐标系下计算：直角坐标系下计算：xOy()xy ab()xy()
3、()axbXxyx型型：()()aybYyxy型型：xOy()yx ab()yx(,)Df x y dxdydd()()(,)bxaxxf x yy(,)Df x y dxdydd()()(,)byayyf x yx 一元积分学 二重积分的计算公式 极坐标系下：极坐标系下：(,)Df x y dxdy()()r 可可积积区区域域xOy ,x ydxdyd drrd drr 转转换换公公式式：(,)=(cos,sin)DDf x y dxdyf rrrd dr则则 =(cos,sin)df rrrdr 不不做做要要求求()()arbrrO空间解析几何 向量的概念 向量向量 123(,)aa aa
4、向向量量Oyzx3a222123+aaaa大大小小：312222222222123123123(,)+aaaaaaaaaaaacos,cos,cos方方向向余余弦弦：2221coscoscos空间解析几何 向量的乘积 1.1.向量的内积向量的内积:123123(,),(,)aa aabb b b向向量量cos,.a ba ba b 内内积积：为为向向量量，的的夹夹角角ab1 12233a ba ba ba b坐坐标标形形式式：0a bab结结论论1 1：空间解析几何 向量的乘积 2.2.向量的外积向量的外积:123123(,),(,)aa aabb b b向向量量.ab外外积积：仍仍为为一一个
5、个向向量量ab123123ijkabaaabbb坐坐标标形形式式：0/abab结结论论：2 2sin,.a ba b 外外积积大大小小：为为向向量量，的的夹夹角角.a b外外积积方方向向：垂垂直直于于向向量量，a bab：大大小小表表示示平平行行四四3 3积积结结论论边边形形面面空间解析几何 向量的乘积 3.3.向量的混合积向量的混合积:123123123(,),(,)(,)aa aabb b bcc cc向向量量，.abc混混合合积积：为为一一个个数数ab123123123aaaabbbbccc坐坐标标形形式式：abc：表表示示平平行行六六面面体体积积结结论论4 4体体的的a b0,abca
6、 b c共共面面结结论论：5 5c空间解析几何 平面的方程 0000,(,)Mxyzn A B C求求过过点点，法法向向量量为为的的平平面面方方程程,M x y z方方法法：任任取取平平面面上上一一点点，0MnM0M Mn因因为为，0000,=xxyyzzA B C0000A xxB yyC zz故故平平面面方方程程为为0AxByCzD平平面面一一般般方方程程1xyzabc截截距距式式Oyzxabc空间解析几何 直线的方程 0000,(,)Mxyzl a b c求求过过点点，方方向向为为的的直直线线方方程程,M x y z方方法法：任任取取直直线线上上一一点点，0MlM0/M Ml因因为为，0
7、00,xxyyzzk a b c000 xxyyzzabc故故直直线线方方程程为为000 xxkayykbzzkc参参数数方方程程空间解析几何 点到平面距离公式 00000,+MxyzAxByCz Dd求求点点到到平平面面的的距距离离.1111,Mxy z方方设设该该平平面面法法过过点点：，0Mn1M=,nA B C法法向向量量为为，01010222,xxyy zzA B CdABC1010nM MM Mnn表表示示向向量量在在 方方向向上上的的投投影影00000,+MxyzAxByCz D即即点点点点到到平平面面的的距距离离.1110A xxB yyC zz平平面面方方程程又又可可表表示示为
8、为.000222+AxByCzDdABC空间解析几何 点到直线距离公式 1001001,xxyyzzabcMxyzd求求点点到到直直线线的的距距离离.1111,Mxy z方方设设该该直直线线法法过过点点：，=,la b c方方向向向向量量为为，10M Mldl1Ml0Md=平平行行四四边边形形面面积积10M Mld l010102221ijkxxyyzzbabcac空间解析几何 直线之间的距离公式 11122211122211:llxxyyzzxxyyzzabcabcd直直线线直直线线的的距距离离.到到111111111,=,lMxy za b c 设设直直线线 过过点点，方方向向向向量量为为
9、方方法法：222222222,=,lMxyza b c 设设直直线线 过过点点，方方向向向向量量为为1M1 2 2M=平平行行六六面面体体体体积积2112M M21=d211221=M Md空间解析几何 二次曲面 1.1.旋转曲面方程：旋转曲面方程：00(,)F x yxz例例如如，求求绕绕 轴轴旋旋转转所所得得旋旋转转曲曲面面方方程程22,xyyz方方法法：不不动动，化化为为2.2.球面方程：球面方程：2222xyzR球球心心在在坐坐标标原原点点220,.F xyz得得旋旋转转曲曲面面方方程程2222xaybzcR一一般般球球面面方方程程空间解析几何 二次曲面 3.3.其他二次曲面方程：其他
10、二次曲面方程：要要求求会会画画图图像像22zxy例例1 1 画画出出.的的图图像像.方方法法：截截面面法法，即即用用平平面面去去截截曲曲面面.22100)zxy时时，0 0 0(,)所所交交为为原原点点22311)zxy时时，20)z时时，无无交交点点；22422)zxy时时，Oyzx250)xzy时时，空间解析几何 二次曲面 22zxy例例2 2 画画出出.的的图图像像.22100)zxy时时，0 0 0(,)所所交交为为原原点点22311)zxy时时，20)z时时，无无交交点点；22424)zxy时时，Oyzx50)xzy时时，空间解析几何 多元微分学在几何中的应用 00000():(),
11、()xx tlyy tMxyzttzz t1)1)设设为为一一空空间间曲曲线线，为为曲曲线线上上的的点点，000000()()()xxyyzzx ty tz t切切线线方方程程:0000000()+()+()=x txxy tyyz tzz法法平平面面方方程程：1.1.曲线的切线与法平面：曲线的切线与法平面：000000(,):,(,)F x y zlMxyzG x y z2)2)设设为为一一空空间间曲曲线线，为为曲曲线线上上的的点点，000001xxxxxxyyzzdydzdxdx切切线线方方程程:空间解析几何 多元微分学在几何中的应用 2.2.曲面的切平面与法线：曲面的切平面与法线：000
12、00:(,),S F x y zMxyz1)1)设设为为一一曲曲面面，为为曲曲面面上上的的一一点点，0000+=.xyzxxFyyFzzF切切平平面面方方程程:000.xyzxxyyzzFFF法法线线方方程程,.xyzFFF称称为为法法向向量量0000(,),S zf x yMxyz，2)2)设设:为为一一曲曲面面，为为曲曲面面上上一一点点,1,xyff法法向向量量为为0000+=.xyxxfyyfzz切切平平面面方方程程:空间解析几何 多元微分学在几何中的应用 2.2.曲面的切平面与法线：曲面的切平面与法线：00000(,)(,),(,),xx uuvvyy u vP xyzzz u v3)
13、3)设设为为一一，对对应应的的点点曲曲面面，12,PC C点点的的两两条条特特殊殊曲曲线线取取过过0000000000,uvuvuvy zz xx yxxyyzzu vu vu v故故切切平平面面方方程程为为+000012,uvuvxyzxyzvvuuuvvv它它们们的的切切向向量量分分别别是是12Pnvv点点法法向向量量为为0100(,):(,)(,)xx u vCyy u vzz u v0200(,):(,)(,)xx uvCyy uvzz uv00,uvijkxyzuuuxyzvvv空间解析几何 方向导数 1.1.概念：概念：0()uf PPl在在点点处处沿沿 方方向向的的方方向向导导数
14、数0000()()=limPPPf Pf PulP POyzx0y(,)zf x y0 x0000,cos,cos,cosufx y zPxyzl数数量量场场在在上上可可微微，则则其其沿沿任任何何方方向向的的方方向向导导数数定定理理.均均存存在在，且且2.2.计算：计算：0000000000=,cos,cos,cosxyzPufxyzfxyzfxyzl空间解析几何 方向导数 3.3.概念之间关系：概念之间关系：可可微微方方向向导导由由定定理理，数数存存在在；方方向向导导数数存存在在.可可微微Oyzx220 0,cos,cos,.zxylul设设方方向向任任意意求求例例.0 0(,)解解 注注意
15、意到到函函数数.在在点点不不可可微微，2200 000 0,(,)(,)=limxyuf x yflxy由由定定义义，2222220000=limxyxyxy1=故故沿沿任任何何方方向向方方向向导导数数均均为为1.1.1 1）方向导数与可微：）方向导数与可微：空间解析几何 方向导数 2 2）方向导数与连续：）方向导数与连续：连连续续方方向向导导数数存存在在Oyzx0y(,)zf x y0 x方方向向导导数数存存在在连连续续3 3）方向导数与偏导数：）方向导数与偏导数：偏偏导导数数存存在在方方向向导导数数存存在在方方向向导导数数存存在在偏偏导导数数存存在在空间解析几何 方向导数 可可微微方方向向
16、导导由由定定理理，数数存存在在；方方向向导导数数存存在在.可可微微Oyzx220 0,cos,cos,.zxylul设设方方向向任任意意求求例例.0 0(,)解解 注注意意到到函函数数.在在点点不不可可微微，2200 000 0,(,)(,)=limxyuf x yflxy由由定定义义，2222220000=limxyxyxy1=故故沿沿任任何何方方向向方方向向导导数数均均为为1.1.1.1.方向导数与可微：方向导数与可微：空间解析几何 方向导数 2.2.方向导数与连续：方向导数与连续：连连续续方方向向导导数数存存在在Oyzx0y(,)zf x y0 x方方向向导导数数存存在在连连续续3.3.方向导数与偏导数：方向导数与偏导数：偏偏导导数数存存在在方方向向导导数数存存在在方方向向导导数数存存在在偏偏导导数数存存在在多元积分学 多元积分的分类 1.1.黎曼积分：黎曼积分：dd d(,)(,)DDf x yf x yx y 二二重重积积分分：dd d d(,)(,)f x y zf x y zx y z三三重重积积分分：dd(,)(,)CCf x y zsf x ys第第一一型型曲曲线线积
