1、高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学大 学 数 学（一）第二十四讲 不定积分及其计算脚本编写：刘楚中教案制作：刘楚中湖南大学高等数学第五章 一元函数的积分本章学习要求：熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式.熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积分的换元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部分分式法.了解利用建立递推关系式求积分的方法.理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系.熟悉牛顿莱布尼兹公式.理解广义积分的概念.掌握判别广义积分收敛的比较判别法.能熟练运用牛顿莱布尼兹公式计算广义积分。掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分表达和计算一
2、些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。能利用定积分定义式计算一些极限。第五章 一元函数的积分学第三节 不定积分及其计算一.不定积分的概念二.不定积分的计算定义上的全体原函数的集合在区间 I )(xf I ,)()(|)(=xxfxFxF记为上的不定积分在称为 ,I )(xf)()(d)(为任意常数CCxFxxf+=的一个原函数；为其中)()(,xfxF称为被积表达式；称为被积函数 d)(,)(xxfxf称为不定积分号；.称为积分常数C一.不定积分的概念,)(,的全部原函数的过程称求已知函数习惯上xf .)(
3、的不定积分为求函数xf .运算求不定积分是求导的逆 例如：;d2 ,2)(22Cxxxxx+=;sin dcos ,cos)(sinCxxxxx+=.|lnd1 ,1)|(lnCxxxxx+=每一个求导公式,反过来就是一个求原函数的公式,加上积分常数C就成为一个求不定积分的公式.不定积分与定积分是两个不同的概念.)(limd)(:10|=niiixbaxfxxf限定积分是一种和式的极 ),()(:则算不定积分是求导的逆运xfxF=.)(d)(CxFxxf+=请参看第五章第二节微积分基本公式中关于函数的原函数与函数的可积性的论述.二.不定积分的计算利用不定积分的性质换元法(第一、第二)分部积分法
4、部分分式法1.利用性质计算不定积分首先介绍不定积分的基本性质.性质 1),()d)(xfxxf=,d)(d)(dxxfxxf=,)(d)(Cxfxxf+=+=.)()(dCxfxf 逆运算性质 2则设 (I),)(),(21Rxfxf,d)(d)(d)()(2121+=+xxfbxxfaxxbfxaf .,为常数其中ba.函数的和的形式该性质可推广至有限个 线性性质例1.d)12(33+xx求解 d1)6128(d)12(24633+=+xxxxxx+=xxxxxxxdd6d12d8246 .251278357Cxxxx+=例2.d1132 2+xxxx求解)(165211322除法+=+xx
5、xxx+=+xxxxxxxd)1652(d11322+=xxxxxd116d5d2 .|1|ln652Cxxx+=绝对值例3.d13 22+xxx求解+=+=+xxxxxxxxxd113d3d1333d1322222 .arctan33Cxx+=利用加一项、减一项的方法.例4.1d +xex求解+=+=+xeexxeeeexxxxxxxd1dd111d.)1ln(Cexx+=?利用加一项、减一项的方法.例5.)()(d babxaxx求解=xbxaxbabxaxxd111)(d=xbxxaxbad1d11 .ln1Cbxaxba+=部分分式法例6 .dsincos2cos 22xxxx求解 d
6、sincossincosdsincos2cos222222=xxxxxxxxx=xxxxdcos1dsin122.tancotCxx+=.下面看另一种解法例6 .dsincos2cos 22xxxx求解=xxxxxxxxdsincos42cos 4dsincos2cos2222=xxxd)2(sin2cos2 2221vvv=.2sin2Cx+=有何想法？两个解法答案不同，你例7 .sin1d +xx求解 d )sin1)(sin1(sin1 sin1d+=+xxxxxx=xxxdcossin12=xxxxxdcossindcos122.sectanCxx+=想想它是谁的导数？怎么做？利用平方
7、差公式例8 .d2 xexx求解Ceexexexxxx+=)2ln()(2 d)2(d2 .2ln12Cexx+=aaaxxln)(=例9 .d|xex求解 ,0 时当 x,dd1|Cexexexxx+=,0 时当 x,dd2|Cexexexxx+=,故必是连续函数由于一个函数的原函数,)(lim)(lim2010CeCexxxx+=+,2 21从而即有+=CC+=.0 ,0 ,2d|xCexCexexxx.)(为积分常数C2.不定积分的换元法利用积分性质和简单的积分表可以求出不少函数的原函数,但实际上遇到的积分凭这些方法是不能完全解决的.现在介绍与复合函数求导法则相对应的积分方法 不定积分换
8、元法.它是在积分运算过程中进行适当的变量代换,将原来的积分化为对新的变量的积分,而后者的积分是比较容易积出的.(1)不定积分的第一换元法 :公式首先看复合函数的导数 )(),(上的可构成区间设可微函数IxuuFy=),()()(xxFxF=),(则可微的复合函数xFy=它的微分形式为xxxFxFd)()()(d(=),()(则记ufuF=,d)(d)()()(d(uufxxxfxF=看出点什么东西没有?原函数?被积表达式?也是被积表达式?定理 ,)()(上的一个原函数在区间是设IufuF ,)(),()(且上可微在区间又JxuICuf=,)(上有则在区间JIJ .)()(d)(d)()(CxF
9、CuFuufxxxf+=+=该定理称为不定积分的第一换元法,也叫“凑微分”法。证明过程请看书!例10解.dcossin 3xxx求 ,dcosd ,sin 故则令xxuxu=uuxxxddcossin33Cu+=441C+=4sin41例11解.dsin 3xx求 ,sin)cos1(sinsinsin 223xxxxx=由于 ,dsind ,cos 得从而，则故令xxuxu=)d)(1(dsin)cos1(dsin223=uuxxxxx ddd)1(22=uuuuu.coscos313133CxCuu+=+=常用的公式有：;)sin(d)(dcos)(sin )1(xuuufxxxf=;)c
10、os(d)(dsin)(cos )2(xuuufxxxf=;)tan(d)(cosd)(tan )3(2xuuufxxxf;)sin(d)1(dcossin )4(1212xuuuuxxxnmnm=;)cos(d)1(dcossin )5(1212xuuuuxxxnmmn=;)tan()1(ddcossin )6(12222xuuuuxxxnmmnm=+=+;)cos()1(dusind )7(222xuuxxnn=;)sin()1(dcosd )8(222xuuuxxnn=;)tan(d)1(sind )9(2122xuuuuxxnnn=+=;)tan(d)1(cosd )10(122xuu
11、uxxnn=+=.,+Znm其中例12解.dcossin 310 xxx计算 ,dcosd ,sin 于是则令xxuxu=uuuxxxd)1(dcossin210310=uuud)(1210Cuu+=1311131111.sin131sin1111311Cxx+=例13解.cos d 4xx计算 ,cos dd tan 2于是，则令xxuxu=xxxxxxxxdcos1secdcos1cos1cosd22224=+=xxx22cosd)tan1(.tan31tan3133CxxCuu+=+=+=uud)1(2例14解.dsec xx求xxxxxxxdsec sec)sec(tan dsec+=
12、+=xxxxxdsectan)sec(tan.|sectan|lnCxx+=CxxCuuuuxxxxxxxx+=+=1sin1sin ln21 11 ln21 1dsin1dcoscos dcos dsec 222则有此题若按下面方式做，Cxfxxfxf+=|)(|lnd)()(:一般有例15解.dsectan 35xxx计算=xxxxxxxxdsectansectandsectan2435xxxxdsectansec)1(sec22=xusec =令=uuud)1(222+=uuuud)2(246Cuuu+=357315271Cxxx+=357sec31sec52sec71例16解.ln d
13、 xxx求于是则令 ,1d ,ln xuxu=Cuuuxxx+=|lndlnd.|ln|lnCx+=.)ln(d)(d)(ln :=xuuufxxxf一般公式例17解+.d1 4xxx求 ,d2d ,2故则令xxuxu=+=+241d21d1uuxxx.arctan21arctan212CxCu+=+=.)(d)(1d)(:1nnnxuuufnxxxf=一般公式为例18解+.d1 2xeexx求 ,dd ,故则令xeueuxx=1dd122+=+uuxeexx.arctanarctanCeCux+=+=.)(d)(d)(:xkxkxeuuufxeef=一般公式为例19解+.1 d 4xxx计算
14、，故，则令xxuxud2d 2=+=+241 d211 duuxxxCuu+=|1|ln212 .)1 ln(2142Cxx+=例20解.)1 ln()1(d 22+xxxx计算，故，则令 1 dd )1 ln(2xxuxxu+=+=d )1 ln()1(d22=+uuxxxx 2Cu+=.)1 ln(22Cxx+=例21解+.d)ln(ln1 2xxxx计算+=+xxxxxxxxxd)ln1(ln1d)ln(ln1222 dln1d ln1 2，故，则令xxxuxxu=+=dd)ln(ln122=+uuxxxx 1Cu+=.lnCxxx+=例22解.)0(d +axxaxa计算+=+xxax
15、axxaxadd22+=2222ddxaxxxaxa=22222)d(21)/(1 )/d(xaxaaxaxa .arcsin22Cxaaxa+=例23解 .d)1(arctan xxxx+计算，故，则令xxuxu2dd =+=+uuuxxxxd1arctan2d)1(arctan2，从而，则令21dd arctan uuvuv+=d2d)1(arctan=+vvxxxxCv+=2.)(arctan)(arctan22CxCu+=+=换元法可以连续使用(2)不定积分的第二换元法 d)(d)()(是被积表达式第一换元法：=uufxxxf常遇到的是一般形。而在实际问题中，常已明显含有因子)(x。，
16、而不能分出因子式的积分：)(d)(xxxf 将积分转化：及反函数的导数公式，这时我们利用复合函数=ttgtttfd)(d)()(xxfd)()(tx=令CtF+)(容易积出：应满足什么条件？想想函数)(t定理上在区间，函数设函数*)()()(ItxICxf=。，且严格单调增加，可微，IIt)(0)(*)()()(*，则上有原函数在区间若tFIttf 上有在区间 I ,)(d)(1CxFxxf+=是积分常数。的反函数；是其中，)()(1Ctx分第二换元法。该定理描述的是不定积证存在，存在定理可知：由定理的条件及反函数 )(1xt=上单调增加、可微。且在I导法则，有由复合函数及反函数求)()()(111=xxFxF)(1)(ttF=)(1)()(tttf=.)()()(的原函数是ttftF)(tf=.)(xf=)()(1上的一个原函数，故在是即IxfxF .)(d)(1CxFxxf+=0)(t例24解+).0(d 22aaxx计算计算。第一换元法此题可以用 算。现在采用第二换元法计 22 dsecd tan 2，故，则令=tttaxtax=+tattaaxxsecdsecd222=ttds
