1、简谐振动及其描述复旦大学大学物理（上）第六章内容提要振动现象及振动参量简谐振动及运动方程简谐振动参量振动现象机械振动：物体在一个平衡位置往复运动振动现象是一种常见的自然现象，也广泛应用于生产生活。振动参量振幅：振动物体偏离平衡位置的最大位移周期：振动物体往复运动一次的经历的时间频率：振动物体单位时间内往复运动的次数内容提要振动：一个物理量在某个数值附近往复变化的现象。每个振动都可以由振幅、周期频率等来描述。简谐振动回复力平衡位置位置振幅简谐振动运动方程特点特点:(1)等幅振动等幅振动(2)周期振动周期振动 x(t)=x(t+T)x(t)=Acos(t+0)振动方程振动方程加速度加速度速度速度=
2、-(+0)=-(+0)=22=-2(+0)=-(+0)=2振动参量振幅振幅 A(amplitude)周期周期T 和频率和频率 =1/T(Hz)角频率（角频率（(angular frequency)圆频率）圆频率）=2 T=2 周期性条件周期性条件Note:仅依赖于系统本身的性质，与初始条件无关。仅依赖于系统本身的性质，与初始条件无关。e.g.弹簧振子：弹簧振子：=劲度系数振子质量振动参量相位相位和初相和初相(t+0)是是 t 时刻的相位时刻的相位 0是是t=0时刻的相位时刻的相位 初相初相振幅和初相运动初始条件决定振幅和初相运动初始条件决定振动参量设设已知已知在在t=0时，时，x=x0,v=v
3、0，x0=Acos 0v0=-Asin 00振动的初始条件振动的初始条件()=(+0)()=-(+0)代入方程代入方程振动参量22020 xA000arctan()x两式联立可解得：两式联立可解得：通常取通常取:0由此由此我们可以得到：我们可以得到：()=(+0)课后练习已知某质点作简谐运动，振动曲线如图所示，试根据图中数据写出振动表达式。【例例】OX(cm)t(s)-1-21简谐振动的描述习题解析知识点回顾简谐动表达式简谐动表达式()0cosxAt=+A、0三个特征量三个特征量dd=xvt0sin()At=+0cos2At=+222002dcos()cos()dxaAtAtt=+=+课后练习
4、如图，有一水平弹簧振子，弹簧的劲度系数k=20N/m，重物的质量m=5 kg，重物静止在平衡位置上。设以水平恒力F=10N向左作用于物体（不计摩擦），使之由平衡位置向左运动了0.05m，撤去力F，并开始计时，求物体的振动表达式。【例例】xOmF课后练习（2）振幅和初相由初始条件求出22002vAx=+【分析分析】求振动表达式问题实际就是求简谐运动三个特征量问题.（1）角频率由系统本身性质决定km=000tanvx=A、0课后练习【解解】设质点的振动表达式为()0cosxAt=+角频率/k m=12s=振幅由题意00.05mx=由功能原理220001122F xkxmv=+019/10m/sv=
5、22002vAx=+0.22m=0.05m课后练习振动表达式初相()0.22cos 21.8 mxt=+【讨论讨论】000tan=19vx=t=0时，物体在x负半轴，且向负向最大位移方向移动，所以物体初相在第二象限01.8=本题中振幅还可以由机械能守恒定律和功能原理直接求出2012F xkA=课后练习【小结小结】简谐振动表达式A、0()0cosxAt=+旋转矢量法内容提要旋转矢量的由来旋转矢量法的应用问题引入x(t)=Acos(t+0)设描述简谐振动需要获得：设描述简谐振动需要获得：振幅、圆频率、初相位振幅、圆频率、初相位相位的意义？旋转矢量的由来 0 t+0oxxt=tt=0 x=Acos(
6、t+0)矢量的长度矢量的长度振幅振幅旋转矢量旋转矢量旋转的角速度旋转的角速度圆频率（角频率）圆频率（角频率）矢量与矢量与x轴的夹角轴的夹角相位相位t=0时与时与x轴的夹角轴的夹角初相位初相位参考圆参考圆 旋矢属性矢量在参考圆上的不同矢量在参考圆上的不同位置代表了质点的不同振位置代表了质点的不同振动状态动状态。一、二象限一、二象限v0一、四象限一、四象限x0;二、三象限二、三象限x xt同相与反相1A2A0 xto同相同相012同相同相同相与反相1A2A12反相反相txo反相反相课后练习一质点沿OX轴作简谐运动，振幅A=0.06m，周期T=2s，初始时质点位于x0=0.03m处且向OX轴正向运动
7、。试求（1）初相位；（2）在x1=-0.03m处，且向OX轴负方向运动时物体的速度和加速度，以及从这一位置回到平衡位置所需的最短时间。【例例】旋转矢量习题解析知识点回顾旋转矢量旋转矢量1.形象理解振幅、相位、角频率的物理量2.比较两个简谐振动的相位差3.为研究简谐运动合成提供简捷方法 0 d/dAtOXAA课后练习一质点沿OX轴作简谐运动，振幅A=0.06m，周期T=2s，初始时质点位于x0=0.03m处且向OX轴正向运动。试求（1）初相位；（2）在x1=-0.03m处，且向OX轴负方向运动时物体的速度和加速度，以及从这一位置回到平衡位置所需的最短时间。【例例】【分析分析】（1）求初相位初始条
8、件和旋矢图（2）求速度和加速度该时刻的相位（3）求回到平衡位置最短时间末时刻的相位【解解】设质点的振动表达式为()0cosxAt=+（1）已知0.06 m=，A12/s=T0=t时00cos0.03mxA=课后练习(1)求初相x0=0.03m且v0001cos2=旋矢图OXt=0时质点向X轴正向运动03=（2）质点振动表达式0.06cos m3=xt课后练习111,0.03,0t=txm v=由时10.06cos=0.03m3xt=113t=旋矢图(2)求速度和加速度11cos2=123=1OX课后练习1OX11d2sin0.16m sd3t txvAt=12222d2cos0.30m sd3
9、t txaAt=（3）回到平衡位置所需的最短时间32230.83s=t课后练习【小结小结】利用旋矢图可以直观的表示出简谐运动，形象的理解振幅、角频率、相位等物理量简谐振动动力学复旦大学大学物理（上）第六章内容提要动力学方程简谐振动能量常见的简谐振动简谐振动回复力平衡位置位置x(t)=Acos(t+0)为什么？动力学方程以水平弹簧振子为例以水平弹簧振子为例F F=-kxkx(线性恢复力线性恢复力)oxxl0F=-kx作用力作用力(沿振动方向的合力沿振动方向的合力)特点特点：方向：与位移方向相反方向：与位移方向相反大小：与位移大小成正比大小：与位移大小成正比 是保守力。是保守力。动力学方程0 xt
10、dxd222 固有圆频率固有圆频率mk 其中其中简谐振动的动力学方程简谐振动的动力学方程凡是简谐振动物体都满足此方程！凡是简谐振动物体都满足此方程！能量当物体的位移为当物体的位移为x，速度为，速度为v=dx/dt时，总机时，总机械能为械能为22pkkx21mv21EEE 这里以平衡位置处为势能零点这里以平衡位置处为势能零点简谐振动能量mk2 弹簧振子弹簧振子总机械能为总机械能为2pkkA21EEE 机械能守恒机械能守恒则：则：ttEooxEPEk2kA21E tcosAx 简谐振动能量Note:若系统中有多个保守力作用，则若系统中有多个保守力作用，则Ep是这些力的势能之和。是这些力的势能之和。
11、e.g.竖直弹簧振子：竖直弹簧振子：OxX原长位置原长位置平衡位置平衡位置(Ep=0)简谐振动能量平均动能与平均势能：平均动能与平均势能：常见简谐振动固有频率决定于系统内在性质固有频率决定于系统内在性质lg 一、一、单摆单摆 GGcos TGsin 当当 很小时很小时sin 22dtdmlmg sin 222lgdtd 振动表达式振动表达式=mcos(t+0)m最大角位移最大角位移角振幅角振幅常见简谐振动(很小很小)定轴转动定律：定轴转动定律：M=J sinmglM22/dtd解：解：(逆时针为正逆时针为正)mgl l质心质心二、二、复复摆摆常见简谐振动Gg3l22T 对于长为对于长为 l 的
12、细杆的细杆022Jmgldtd)(2Jmgl测测J的一种方法的一种方法课后练习如图所示，一根劲度系数为k的轻弹簧一端固定，另一端系一轻绳，通过定滑轮与质量为m的物体相连。已知滑轮的转动惯量为J，半径为R。托起物体后放手，物体就在竖直方向上下运动。试证物体作简谐运动，并求出振动周期。【例例】kJ,Rm简谐振动动力学习题解析知识点回顾振动的合力振动的合力2 Fmx动力学方程动力学方程222d0dxxt课后练习如图所示，一根劲度系数为k的轻弹簧一端固定，另一端系一轻绳，通过定滑轮与质量为m的物体相连。已知滑轮的转动惯量为J，半径为R。托起物体后放手，物体就在竖直方向上下运动。（1）试证物体作简谐运动
13、；（2）求出振动周期；（3）设t=0时，弹簧无伸缩，物体无初速度，写出物体的振动表达式。【例】【例】kJ,Rm课后练习【分析】【分析】证明物体做简谐运动（1）动力学分析方法分析物体受力写出物体运动微分方程与谐振动微分方程比较（2）能量分析方法写出任意位置系统机械能表达式并对时间求一阶导数确定振动系统机械能是否守恒课后练习【解】【解】平衡位置O：mgkl/lmg k设平衡位置为坐标原点，X轴正方向竖直向下，建立坐标轴(1)证明谐振动分析物块受力mgT1a212d=dxmgTma mt课后练习aR整理后得物块动力学方程：222d0dxkxJtmR物块做简谐运动分析圆盘受力T2T1 12TTRJ2=
14、Tk xlkxmg T1=T1课后练习22=kJkmRRmRJ222=mRJTRk振动的角频率振动的周期(2)振动周期（2）求振动的周期课后练习(3)振动表达式（3）求振动表达式设物体的振动表达式为0cosxAtt=0时，弹簧无伸缩，物体无初速,即00cos xlA000sinvA 可得 mgAlk0振动表达式2cosmgkxRtlmRJ课后练习截面积为S的U形管，内装有密度为，长度为l的液体柱，受到扰动后管内液体发生振荡，试求出液体柱的运动微分方程。不计各种阻力。【例2】【例2】【分析】【分析】液体柱内所有分子速率相同，在重力下运动，机械能守恒，可以通过写出任意时刻系统的动能与势能方程，求出
15、动力学方程课后练习【解】【解】在液体平衡时液面上取一点O为X轴原点，向上为正。以液体为研究对象，t时刻液体动能为：OXxx2k12ESl x重力势能为偏离平衡位置时长度为x的液体柱在左右两侧的势能差：2pES x g课后练习根据机械能守恒定律22kp12EEESl xS x g常量对t求导，整理后，得20gxxl动力学方程振动的角频率2gl课后练习【小结】【小结】动力学分析或机械能守恒方法得出动力学方程222d0dxxt零阶导数项系数等于简谐振动角频率的平方简谐振动的合成内容提要同方向同频率的合成同方向不同频率的合成同方向、同频率简谐振动的合成3设一质点在一直线上同时进行两个独立的简谐振动设一
16、质点在一直线上同时进行两个独立的简谐振动)tcos(Ax)tcos(Ax222111 合振动的位移合振动的位移21xxx )tcos(A)tcos(A2211 同方向、同频率简谐振动的合成用三角函数展开，并合并整理：用三角函数展开，并合并整理：)tcos(Ax0 式中合振动振幅式中合振动振幅:)cos(AAAAA122122212 221122110 cosAcosAsinAsinAtg 初位相初位相矢量图法求 A 与 11A1xx021xxx11221122sinsintancoscosAAAA)cos(AAAAA122122212 )cos(tAx)cos(111tAx)cos(222tAxAx2x2A2矢量作图法合振动的振幅和相位差的关系：合振动的振幅和相位差的关系：1)当相位差当相位差时时 k212 21AAA )cos(AAAAA122122212 (k=0,1,2，）合振动加强，合振动加强，合振幅具有合振幅具有最大值最大值tox21122AAAk x1x2矢量作图法合振动减弱，合振幅具有合振动减弱，合振幅具有最小值最小值)0A,AA(21 则则2 2）当相位差）当相位差 )
