1、第六章 函数的积分本章学习要求：熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式.熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积分的换 元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部分分式法.了解利用建立递推关系式求积分的方法.理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系.熟悉牛顿莱布尼兹公式.理解广义积分的概念.掌握判别广义积分收敛的比较判别法.能熟练运用牛顿莱布尼兹公式计算广义积分。掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分 表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面 的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的 弧长、变力作功、液体的压力等。能利用定
2、积分定义式计算一些极限。第一节 定积分的概念第六章 函数的积分二.定积分的定义一.曲边梯形的面积三.定积分的性质第六章 函数的积分第一节 定积分的概念 在我国古代南北朝（公元 429 500 年）时，南朝的科学家祖冲之运用逐渐增加圆内多边形的边数，算出正多边形的面积，逼近相应的圆的面积，得到了 近似值.在初等几何中，计算任意多边形面积时，常采用如下方法：首先将任意多边形划分为若干个小三角形，分别计算各个三角形的面积，然后求和，得到任意多边形的面积。阿基米德运用这种方法，求得抛物线 与 x 轴及直线 x=1 所围成的平面图形面积的近似值.2xy 就是说，在计算复杂图形的面积时，可以先将它划分为若
3、干个容易计算面积的小块，并分别求出各小块图形的面积，然后求和，即得到原图形的面积的近似值（边界线为直线时，可得精确值）.如果在上述方法中引入极限过程,会产生什么效果?一.曲边梯形的面积 曲边梯形：三边为直线，其中有两边相互平行且与第三边垂直（底边），第四边是一条曲线，它与垂直于底边的直线至多有一个交点（这里不排除某直线缩成一点）.1.曲边梯形2.求曲边梯形的面积 首先，我们重复阿基米德的做法：分划分划代替代替求和求和得到曲边梯形的近似值，然后，引入极限过程，求出曲边梯形的精确值.Oxyab1x1ixix)(xfy,0)(xf设 .),()(baCxf,1110bxxxxxxannii任意引入分
4、点 ).,2,1(,1nixxnbaii个小区间成分将 .1个小区间的长度表示第用ixxxiii称为区间的一个分法 T1ixixi ,1则iiixx .)(:iiixfS小曲边梯形面积对每个小曲边梯形均作上述的代替 .的选择有关与iiSOxyab1x1ixix)(xfy .)(:11niiiniixfSS曲边梯形面积 .T 的选择有关及点与分法iS 极限过程是什么？如何求精确值？Oxyab1x1ixix)(xfy ,max|1则令inixx .)(lim :10niiixfS曲边梯形面积 .T 的选择无关及点与分法极限存在与否，i ，杂平面图形面积的方法该过程告诉了我们求复 .形面积的定义同时
5、，也告知了平面图 想方法是：解决曲边梯形面积的思 .取极限求和代替分划 处理的问题的结果，即通常人们把这类方法所 .,)(上的定积分在区间这种极限值，称为函数baxf二.定积分的定义 .,)(且有界上有定义在设函数baxf,1110bxxxxxxannii任意引入分点 ).,2,1(,1nixxnbaii个小区间成分将区间,.11iiiiiixxixxx个小区间的长度表示第用 ,)(lim 10|的且该极限值与对区间存在若baxfniiix ,)(,T 上可积在则称函数的选择无关及点分法baxfi的定上在极限值称为记为 ,)(),()(baxfbaRxf .)max|()(limd)(:110
6、|ininiiibaxxxxfxxf积分值定积分符号：.)(limd)(10|niiixbaxfxxf 定积分号；ba 积分下限；a 积分上限；b d)(被积表达式；xxf)(被积函数；xf d积分变量；中的xx.,积分区间ba)(积分变量的取值范围关于定积分定义的几点说明 .,)(,T ),(d)()1(有关区间及只与的选择无关及点它与分法具体的数是一个极限值定积分baxfxxfiba.d)(d)(d)()2(bababattfyyfxxf号无关：定积分与积分变量的记 0.|,0|)3(xnnx却不一定有时个数当分点但是分点个数时定积分的几何意义Oxyab)(xfy 1A2A3A,d)(1c
7、axxfAcd.d)(3bdxxfA,d)(2dcxxfA由极限保号性：由极限保号性：,0d)(caxxf,0d)(dcxxf.0d)(bdxxf面积：面积：定积分的几何意义Oxyab)(xfy 1A2A3Acd ,)(d)(bxaxxfyxxfba与直线等于曲线.面积的代数和轴所围成的几何图形的及 x下面是几个关于函数可积性的定理.运用定积分的概念及定积分的几何意义,由函数的极限运算性质容易证明它们,我们在这里不进行证明.喂!.),()(),()(baRxfbaCxf则若 ,)(上单调、有界在若baxf.),()(baRxf则)(,)(一类且仅有有限个上有界在baxf.),()(,baRxf
8、则间断点Oxyabc.),(|)(|),()(baRxfbaRxf则若 .3 的逆不真定理.1,1 )(,为无理数，为有理数例如xxxf,),()(badcbaRxf则若.),()(dcRxfOxyabc d ),()(),(则若baRxgxf.),()()(),()(),(baRxgxfxgxfxkf为常数）k(例例1 1 利用定义计算定积分利用定义计算定积分.102dxx 解解将将1,0n等等分分，分分点点为为nixi，(ni,2,1)小区间小区间,1iixx 的长度的长度nxi1 ，(ni,2,1)取取iix ，(ni,2,1)iinixf )(1 iinix 21,12iniixx n
9、nini121 niin12316)12)(1(13 nnnn,121161 nnndxx 102iinix 210lim nnn121161lim.31.)1(1122ninin.)1(112nininnknnkn211lim132xdx10)(lndxxfnnkfnk1)(ln1nknkfnndxxfee110)(ln1)(lnlimnnkfnkfnnnfnfnfeennknk)()2()1(111)(ln()(ln1三.定积分的性质 由于定积分是一种和式的极限,所以极限的某些性质在定积分中将有所反映.在以下的叙述中,假设所出现的函数均可积,所出现的定积分均存在.证证 :,定积分反号交换积
10、分上、下限.d)(d)(abbaxxfxxf 1 性质 .,T 1的取值也不变不变保持分法iiixx ;,1iiixxxba看往则由.,1*iiiixxxxab看往由niiixniiixabxfxfxxf10|10|)(lim)(limd)(.d)(baxxf0d)(aaxxf证证 )(2 线性性质性质,d)(d)(d)()(bababaxxgxxfxxgxf .,为常数、式中由定积分定义及极限运算性质：niiiixbaxgfxxgxf10|)()(limd)()(niiixniiixxgxf10|10|)(lim)(lim.d)(d)(babaxxgxxf证 )(3 保号性性质.0d)(,0
11、)(baxxfbaxxf则若(小于零的情形类似.)由极限的保号性立即可知.Oxyab0A0)(xfy 1 3 的推论性质.d)(d)(,)()(babaxxgxxfbaxxgxf则若Oxyab)(xfy)(xgy 0gfAA 2 3 的推论性质babaxxfxxfd|)(|d)(|Oxyab)(xfy|)(|xfy 例2证证 ,0d)(.0)(,),()(baxxfxfbaCxf若且设 .,0)(baxxf证明：,0)(0 xf ,0)(baxxf设/.)U(0)(0 xxxf.0d)(,)U(,0 xxfx则取 ,0d)(,0d)(故又baxxfxxf.0d)(d)(d)(d)(babaxx
12、fxxfxxfxxf .,0)(baxxf该矛盾说明：,0使则至少bax ,)U(,),()(0使由xbaCxf0d)(baxxf例3证证 ,)()(,),()(),(xgxfbaCxgxf且设 .1 ),()()(的讨论即可证得由对例令xgxfxF .d)(d)(.,)()(babaxxgxxfbaxxgxf证明：/)(4 对区间的可加性性质bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(.,bca其中证证 .),()(,),()(),()(bcRxfcaRxfbaRxf ,T则成为分点使点选择适当的分法c,)()()(bciicaiibaiixfxfxf ,0|由可积性即得的极限取xbcc
13、abaxxfxxfxxfd)(d)(d)(,)(则可积在下列所出现的区间上若xf .d)(d)(d)(bccabaxxfxxfxxf .d)(d)(d)(cabcbaxxfxxfxxfOxyab)(xfy c )(5 估值定理性质 ,)(,则最小值上的最大在分别为设baxfmM .)(d)()(abMxxfabmba证证.,)(),()(baxMxfmbaRxf由于baxxfd)(所以abxbadbaxmabmd)(.)(dabMxMba例4.22dsin 21 24xxx证明：,tan ,2,4 sin)(则由令xxxxxxf证证0cos)tan(sincos)(22xxxxxxxxxf,2
14、)2(,22)4(,2,4)(fmfMxf且故得运用估值定理由 ,)2,4()(,0)(Cxfxf.22)42(22dsin)42(221 24xxx ,21其算术平均值来说对于有限个量naaa .21naaaan )(),()(在区间现需求函数设xfbaCxf )(,的算处函数值任意的无穷多个点上iixfxba?,你认为应该怎么做术平均值 f :a是数 :很自然的做法是 ,),2 ,1(,计算出函数相应首先nibaxi 的算术平均值 ,)()()(21nxfxfxffnn ,且与点如果该极限值存在的极限取然后n ,则可以认为该极限上的分布状况无关在区间baxi :值为所求的算术平均值 .)(
15、)()(limlim21nxfxfxfffnnnn ).,()(,),()(baRxfbaCxf所以由于 ,则每个小区间的长度为等分分成将区间nba ).,2 ,1()(1niabnxi )(,21算术平均值作为求函数取分点此外xfxxxn ,得到于是的计算点nf ,)(1)()()(121iiinnxxfabnxfxfxff ,得由定积分的定义的极限取n .d)(1)(lim 1 1baiiinxxfabxxfabf .d)(1 )(,)(),()(,baxxfabfbaxfbaCxf平均值为算术上的在则就是说 .d d)(babaxxxff通常也将它记为 ,),()(babaCxf故至少存
16、在一点由于 ,)(即有使得ff ).)(d)(abfxxfba .,的定理我们就可得到一个重要这样 )(6 积分中值定理性质使得则上保持符号不变在 ,baba.d)()(d)()(babaxxgfxxgxf ,1)(则若xgbabaxfxxfd)(d)(.)(abfOxyab)(),()(),()(xgbaRxgbaCxf且若)(xfy 证证.0)(,)(xgbaxg不妨设所以上不变号在由于 ),()(),()(故有又baRxgbaCxf),()()(baRxgxf ,d)(d)()(d)(xxgMxxgxfxxgmbababa.,)(,最小值上的最大在为其中baxfmM.6 ,0d)()1(显然成立则性质若baxxg ),()(,0d)()2(及则由若baCxfxxgba ,使得ba.d)()(d)()(babaxxgfxxgxf.6 ,获证性质综上所述 ,d)(d)()(Mxxgxxgxfmbaba 积分中值定理的推广使得则存在上保持符号不变在 ,Mmba.d)(d)()(babaxxgxxgxf)(,)(),()(),(xgMxfmbaRxgxf且若1)(lim，)(3sin)(
