1、高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学大 学 数 学（一）第十七讲 高阶导数脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民湖南大学高等数学第四章 一元函数的导数与微分本章学习要求：理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可导、可微、连续之间的关系。熟悉一阶微分形式不变性。熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微分。了解 n 阶导数的概念，会求常见函数的 n 阶导数。熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有
2、关问题（函数方程求解、不等式的证明等）。掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。第三节 高阶导数第四章 一元函数的导数与微分一.高阶导数的概念二.高阶导数的运算法则三.隐函数及参数方程确定的函数的高阶导数一.高阶导数的概念,cos)(sinxx=例,sin)(cosxx=.sin 连续求两次导数的结果是x ,sin 记为的二阶导数称为函数xxxxxsin)(cos)(sin)(sin=)()(,仍然的导函数如果函数一般说来xfxf的二的导数为原来函数则称可导)()(,xfxf .)()(,=xfxf记为阶导数推而广之:,1 )(的函数它仍是阶导数存在的设xnxf.,阶导数数的则称它的
3、导数为原来函若它可导n :阶导数的记号为n .dd ,d)(d ,),()()(nnnnnnxyxxfyxf ,)()()1()(=xfxfnn ,d)(dddd)(d11=nnnnxxfxxxf ,dddddd11=nnnnxyxxy,)()1()(=nnyy按照一阶导数的极限形式,有xxfxxfxfynnxnn+=)()(lim)()1()1(0)()(00)1()1(0)()()()(lim)(00 xxxfxfxfynnxxnxxn=和一个函数的导函数不一定再可导,也不一定连续.如果函数 f(x)在区间 I 上有直到 n 阶的导数f(n)(x),且 f(n)(x)仍是连续的(此时低于
4、n 阶的导数均连续),则称 f(x)在区间 I 上 n 阶连续可导,记为.)()I()(nnCxfCxf或如果 f(x)在区间 I 上的任意阶的高阶导数均存在且连续,则称函数 f(x)是无穷次连续可导的,记为.)()I()(CxfCxf或1)(=nnxnxy21)1()()(=nnxnnxnyy3)2()1()(=nxnnnyyknkkxknnnnyy+=)1()2()1()()1()(.,的高阶导数求幂函数+=Znxyn)1(nk 解解例1注意,当 k=n 时!123)2()1()()(nnnnxnn=综上所述：.0)(,1 ,)(=+knxnk时当从而knknxknnnx+=)1()1()
5、()()1(nk 0)()(=knx)1(+nk)()()(knkbaxy+=.)(的高阶导数求nbaxy+=,1 时当nk kknabaxknnn+=)(1()1(,1 时当+nk0)(=ky解解例2多项式的高阶导数.nnnnnaxaxaxaxP+=1110)(231202)2)(1()1(+=nnnaxnnaxnnay!0)(nayn=0)2()1(=+nnyy解解12110)1(+=nnnaxnanxay例3对多项式而言,每求一次导数,多项式的次数降低一次;n 次多项式的n 阶导数为一常数;大于多项式次数的任何阶数的导数均为0.求 y=ex 的各阶导数.解解xey=y=ex 的任何阶导数
6、仍为exxnxee=)()()(Nnxxeeyy=)()(xney=)(例4求 y=ax 的各阶导数.解解aayxln=运用数学归纳法可得)()(ln)()(+=Znaaanxnx2)(ln)ln()(aaaayyxx=kxkaay)(ln)(=例5求 y=lnx 的各阶导数.解解11=xxy2122)1()1(=xxy3)2)(1(=xy111!)11()1(=x212!)12()1(=x313!)13()1(=x设kkkxky=!)1()1(1)(例611)1()()!1()1(+=kkkxkky)1(1)1(!1)1()1(+=kkxk)()!1()1()(ln1)(Nnxnxynnnn
7、=类似地,有)()()!1()1()(ln(1)(Nnbaxanbaxnnnn+=+则故由数学归纳法得.1 的高阶导数求xy=解解)(ln1 =xxy)1()()()(ln)(ln +=nnnxxy)1(1)1(!1)1()1(+=nnxn)1(!)1(+=nnxn注意这里的方法)()!1()1()(ln1)()(Nnxnxynnnn=例7即)(!)1(1)1()(Nnxnxnnn=+类似地,有)1()()(!)1(1+=+nnnnbaxanbax解解xycos=xysin=xycos=xysin)4(=.cos ,sin 的各阶导数求xyxy=xysin=看出结论没有？)24sin(+=x)
8、23sin(+=x)22sin(+=x)21sin(+=x例8运用数学归纳法可以证得)()2sin()(sin)(+=Znnxxn类似地,可求得)()2cos()cos()(+=Znnxxn解解xxsincos=)(cotdddd22xxxy=x2csc=.dd ,sinln22xyxy求=)sin(lnddddxxxy=xcot=例9)sin(cossin2sinxexeyxx+=)sin(cos2sinxxex=.,sinyeyx=求解解xeyxcossin=二阶导数经常遇到,一定要掌握.例102)(d)(dyyy=.)0,(dd ,1dd 322=yyyyyxyyx导出试从解解由复合函数
9、及反函数的求导法则,得)()(1dddddddd22yyyxyyx=2)(ddd)(dyyxxy=3)(yy=y1例11.dd ,22的导数对是的导数对是与yxyxxyyy 解解例12).(),()(,)()(2xfxfxfxfn求且满足有任意阶导数设=,)()(2得求导两边关于对等式xxfxf=),(2)()(2)(3xfxfxfxf=),(32)()(32)(42xfxfxfxf=),(!)(1)(则有设xfkxfkk+=)()()1(!)()1(xfxfkkxfkk+=+,)(!)1()(!)1(1)1(2+=+=kkxfkxfk 由数学归纳法得)(!)(1)(xfnxfnn+=二.高阶
10、导数的运算法则设 f(x),g(x)有直到 n 阶的导数,则(1)(2)莱布尼兹公式)()()()()()()(xgxfxgxfnnn=)()()()()()(0)(xgxfCxgxfkknnkknn=.!)(!,knknCkn=其中两个基本公式.651dd 2100100+xxx求由于)3)(2(16512+=+xxxx,3121+=xx故+=+31dd21dd651dd1001001001002100100 xxxxxxx+=101101)3(1)2(1!100 xx101100101100)3(!100)1()2(!100)1(+=xx解解例13)1()(1!)1()(+=nnnxnx解
11、解.,sin )80(2yxxy求设=由莱布尼兹公式)80(2)80()sin(xxy=)(280sin2080+=xxCxxxxxsin6320cos160sin2=)(278sin2280+xC )2sin()(sin )(+=nxxn)3(0)(,2)(,2)()(222=nxxxxn)(279sin)2(180+xxC例14.0)()()12()()1()(2)1()2(2=+xfnxfxnxfxnnn证证211)(xxf=0)()()1(2=xfxxfx)(11)1()(222xfxxxxxxf=满足下式证明 arcsin)(xxf=看出一点什么没有？你打算怎么处理此式？例15对上式
12、关于x 求导 n 次：)1(21)(20)()1()()(1(+nnnnxfxCxfxC故)()2(!2)1()()2()()1()()1()2(2xfnnxfxnxfxnnn+即0)()()12()1()(2)1()2(2=+xfnxfxnfxnnn)2(22)()1(+nnxfxC0)()()1(1=nnxfxC0)(1)()()1(=+xfnxfxnn)(0)(nnxfxC三.隐函数及参数方程确定的函数的高阶导数原则是:按照高阶导数的定义,运用隐函数及参数方程所确定的函数的求导法则逐阶进行求导.dd ,4 2222xyyyxx求设=+对方程两边关于x 求导:022=+yyyxyxyxyx
13、y22 +=故解解想想如何求二阶导数？例16+=yxyxxy22dd 22从而3322)2(24)2()(6yxyxyyxx+=+=2)2()(3yxyxy+=2)2()21)(2()2)(2(yxyyxyxy+=2)2(223yxyxyxxy+=.,yexyyx=+求对方程两边关于x 求导,得:对该方程两边关于x 求导:yeyeyxyyyxyx+=+2)1(yxyxexyyey+=2)1(2.yxyxexyey+=解解)1(yeyxyyx+=+从而其中,例17.dd ,)(tan 22xyyxy求设+=方程两边对x 求导)1()(sec2yyxy+=)(sec1)(secdd 22yxyxx
14、y+=得)(sin12yx+=)(csc2yx+=解解例18=xyxxydddddd22)(cot)(csc232yxyx+=()1()(cot)csc()csc(2yyxyxyx+=()+=)csc()csc(2yxyx()(cscdd2yxx+=故)(csc2yxy+=.dd ,arctan)1ln(332xyttytx求设=+=解解()+=)1ln()arctan(dd2tttxy()+=)1ln(2dd222ttxy21211122tttt=+=tttt41122122+=+=例19()+=)1ln(41dd2233tttxy3422228112412ttttttt=+=参数方程求导并
15、不难啊！.dd ,)sin1()sin(22xytayttax求设=解解)sin()cos1(dd=ttataxy 2cott=ttcos1sin=)sin(2cotdd)(22=ttatxy)cos1(12sin212tat=),2(Zkkt2)cos1(1ta=例20.dd,)(,)(,)()(22xytytxtyytxx求均有二阶导数已知=解解)()(ddtxtyxy=txxytxydddddddd22=)()()(txtxty=)()()()()()(2txtxtxtytxty =3)()()()()(txtxtytxty =例21例22 )(是由方程组设xyy=+=+01sin 03
16、 2 3 2ytextty.0 dd ,22=txy求所确定的隐函数解解 3,03 3 3 0 2及得由=+=txxtt,2 6 dd+=ttx 1 ,01sin 0 及得由=+=tyyyte ,2 cos sin1cos ddytetetetyyyy=,)2 6)(2(cos dd dd dd +=tytetxtyxyy故+=2 6cos2dddddddd 22ttyexxyxxyy从而+=2 6cosdd22dd2 6costtxyeyexttyy32)2 6)(2(cos6sin)2 6(dd)2)(2(6 cos)3(+=tytttexyytteyyy.4)32(0 dd ,1 ,3 ,0 22=eetxyyxt得代入?2 是 :2 6cosdd +ttx计算xttttttxd d2 6cos dd2 6cosdd+=+1d d2 6cos dd+=txttt2 61)2 6(cos6sin)2 6(2+=ttttt.)2 6(cos6sin)2 6(3+=tttt2 6 dd+=ttx
