1、主 讲:罗 汉主 讲:罗 汉第 第 第 第 8 8 章章章章无 穷 级 无 穷 级 无 穷 级 无 穷 级 数数数数第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数1 1 常数项级数的概念和性质 1 1 1 1、无穷级数、无穷级数、无穷级数、无穷级数对于序列 un,nnnuuuu211称为一个无穷级数无穷级数,简称级数级数;其中 un称为该级数的一般项一般项(或通项通项).第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数2 2 2 2、无穷级数的收敛性、无穷级数的收敛性、无穷级数的收敛性、无穷级数的收敛性(部分和(部分和)nnuuuS21“部分和”序列 Sn:S1=u1,S2=u1+u2,Sn
2、=u1+u2+un,)1(211nnnuuuu第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数定义 定义 1:若对于 Sn 有 ,SSnnlim则称级数(1)收敛收敛,收敛于 S;并称 S 为级数(1)的和和.nnnuuuuS211记若 Sn 没有极限,则称级数(1)发散发散.第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数例 1.讨论级数nnn211的敛散性.例 2.讨论等比级数等比级数(几何级数)的敛散性.)0(1211aaqaqaqaaqnnn结论结论:公比 q:|q|1 时收敛,和为 ;|q|1 时发散.qa1第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数例 3.证明级数)1(132
3、1211)1(11nnnnn收敛于 1.例 4.证明调和级数调和级数发散:nnn13121111问题思考.记168421SSS21)8421(21则于是 S=1.?第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数3 3 3 3、无穷级数的基本性质、无穷级数的基本性质、无穷级数的基本性质、无穷级数的基本性质性质 性质 1.设 ,若 k 0 为常数,则 与 有相同的敛散性.1nnu1nnku1nnu问题思考.若 k=0,如何?若 收敛,则 的“和”如何?1nnu1nnku第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数性质 性质 2.去掉、增添或改变 的有限个项,不会改变其敛散性.1nnu问题思考
4、.收敛时,级数的“和”如何?第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数性质 性质 3.若 与 都收敛,则 也收敛,且1nnu1)(nnnvu1nnv.)(111nnnnnnnvuvu问题思考.若一个收敛、一个发散呢?两个都发散呢?第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数性质 性质 4.若 收敛,将其任意加括号后所成的级数仍然收敛,且其和不变.1nnu问题思考.若一个带括号的收敛级数去了括号呢?反过来,若发散的级数加了括号呢?第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数性质 性质 5.(级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件)若 收敛,则1nnu.0limnnu问题思考.性质 5
5、 的逆命题呢?推论推论.若 ,则 发散.1nnu0limnnu第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数 若 收敛,其和为 S,则称 rn=S Sn 为 的余余项项.1nnu1nnu若用 Sn近似 S,则截断误差截断误差为|rn|.显然,且 1nkknur.0limnnr第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数2 2 常数项级数的敛散性判别 1 1 1 1、正项级数的敛散性判别法、正项级数的敛散性判别法、正项级数的敛散性判别法、正项级数的敛散性判别法)0(211nnnnuuuuu,定理 定理 1.(正项级数收敛准则正项级数收敛准则)正项级数 收敛 Sn 有上界.nu 第 第 8
6、章章 无 穷 级 数无 穷 级 数 1 1 无穷级数的基本概念 1 1、无穷级数、无穷级数、无穷级数、无穷级数将序列 un 一项项地加起来,得到nnnuuuu211称为一个无穷级数无穷级数,简称级数级数;其中 un称为该级数的一般项一般项(或通项通项).若 u1,u2,un,均为常数,则称其为常数项级常数项级数数,若 u1,u2,un,均为某个变量 x 的函数,则称其为函数项级数函数项级数.2 2、无穷级数的收敛性、无穷级数的收敛性、无穷级数的收敛性、无穷级数的收敛性(前 n 项)部分和部分和:nnuuuS21构成一个“部分和序列”Sn:S1=u1,S2=u1+u2,Sn=u1+u2+un,)
7、1(211nnnuuuu定义 定义 1:若 SSnnlim则称级数(1)收敛收敛,收敛于 S;并称 S 为级数(1)的和和.nnnuuuuS211记 若 Sn 没有极限,则称级数(1)发散发散.例 2.研究等比级数等比级数(几何级数)的敛散性.)0(1211aaqaqaqaaqnnn解:公比为 q.|q|1 时,有1nnaqaqaSqaqan1qaqqan11例 1.研究级数nnn211的敛散性.解:部分和2)1(21nnnSn 级数发散.当|q|1时nnSlim|q|0 为常数,N为自然数.nunv(1)若 收敛,且 un cvn(n N),则 收敛;nvnu(2)若 发散,且 un cvn
8、(n N),则 发散.nunv第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数例 1.讨论 p 级数级数(广义调和级数)的敛散性.pppnpnn13121111结论:结论:p 级数当 p1 时收敛;p1 时发散.第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数例 2.判别下列级数的敛散性:11)1(nnn1131)2(nn12)1(1)3(nnn第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数推论 推论 2.(比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式)对于正项级数 和 ,若 ,则nunvnnnvulim(1)当 0 +时,与 同敛散;nvnu(2)当=0 时,收敛 收敛;nvnu(3)当=+时
9、,发散 发散.nvnu例 3.判别级数 ;的敛散性.12543nnn11sinnn第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数定理 定理 3.(DAlembert 比值判别法)对于正项级数 ,nu若nnnuu1lim则 1(包括=+)时级数发散.第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数例 4.判别级数 ;的敛散性.1!nnnn1123nnn注意到定理 3 中=1 时无法判定级数的敛散.p 级数不论 p 为何值均有11limlim1pnnnnnnuu第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数定理 定理 4.(Cauchy 根值判别法)对于正项级数 ,nu若nnnulim则 1(
10、包括=+)时级数发散.第 第 8 章 无 穷 级 章 无 穷 级 数数同样定理 4 中 =1 时也无法判定级数的敛散.p 级数不论 p 为何值均有11lim1limlimpnnnpnnnnnnu例 5.证明级数 收敛,并估计以部分和 Sn近似代替S 时所产生的误差.11nnn 第 第 8 章章 无 穷 级 数无 穷 级 数 2 2 常数项级数的敛散性判别 1 1、正项级数的敛散性判别法、正项级数的敛散性判别法、正项级数的敛散性判别法、正项级数的敛散性判别法)0(211nnnnuuuuu,定理 定理 1.(收敛准则)正项级数 收敛的充分必要条件是其部分和数列 Sn 有上界.nu证 证 “”:因
11、S1S2 Sn ,故若 Sn 有上界,由“单调有界准则”知其极限存在;“”:若级数收敛,则 Sn 有极限,由“有界性定理”,知 Sn 有界,故有上界.定理 定理 2.(比较判别法)对于正项级数 、,nunv(1)若 收敛,且 un vn(n=1,2,),则 收敛;nvnu(2)若 发散,且 un vn(n=1,2,),则 发散;nunv证证:(1)设 vn=T,且由条件 un vn,则 un 的部分和TvvvuuuSnnn2121即 Sn 有上界,故由定理 1 知 un 收敛.(2)反证之.若un 收敛,则由(1)推知 vn 收敛,与vn发散的条件矛盾.推论 推论 1.对于正项级数 、,设 k
12、 0 为常数,N为自然数.nunv(1)若 收敛,且 un kvn(n N),则 收敛;nvnu(2)若 发散,且 un kvn(n N),则 发散.nunvpppnpnn13121111例例 1.研究 p 级数级数(广义调和级数)的敛散性.解解.当 p=1 时为调和级数,故其发散;当 p1 时收敛;p1 时发散.pppnpnn13121111当 p1 时,对 n1 x n 有 故,11ppxn)1)1(1(11d1d111111ppnnpnnppnnpxxxnn考察 的部分和,有211)1)1(1(nppnn)1(11()3121()211(11111pppppnnnS)(1)1(111nn
13、p由定理 1 知 p-级数收敛例 2.判别下列级数的敛散性:11nnn1131nn12)1(1nnn解:解:(1)由 ,而 收敛,得 原级数收敛;),3,2(,211nnnnn21(2)由 ,而 发散,得原级数发散;),2,1(,31131nnnn1(3)由 ,而 收敛,得原级数收敛.),2,1(,1)1(1232nnnn231n推论 推论 2.(比较判别法的极限形式)对于正项级数 、,若 ,则nunvnnnvulim(1)当 0 N 时,有22nnvu即22nnvu或nnnvuv232由比较法知 un 与 vn 同敛散;例 3.判别级数 和 的敛散性.12543nnn11sinnn(2)由极
14、限定义,对=1,N,当 nN 时,有1nnvu即 un N 时,有1nnvu即 un vn,故由比较法知 un 收敛则 vn 收敛.解解:因 和31543lim22nnnn111sinlimnnn故由 收敛知原级数收敛;由 发散知原级数发散.21nn1定理 定理 3.(DAlembert 比值判别法)对于正项级数 ,nu若nnnuu1lim则 1(包括=+)时级数发散.证证:(1)设 0 使+=r1,由极限定义,N,当 n N 时,有nnuu1于是有)(,1Nnruunn从而 uN+1 ruN ,uN+2 ruN+1 r2uN,uN+3 ruN+2 r3uN,uN+k ruN+k1 1,取适当
15、小 0 使 1,由极限定义,N,当 n N 时,有定理 定理 3.(DAlembert 比值判别法)对于正项级数 ,nu若nnnuu1lim则 1(包括=+)时级数发散.nnuu1于是有)(,11Nnuunn从而 uN+1 uN ,uN+2 uN+1,即 un 自第 N 项起单调增,从而 un 不可能趋于 0,于是由级数收敛的必要条件,知un 发散.类似可证=+的情形.例 4.判别级数 和 的敛散性.1!nnnn1123nnn解解:(1)因为nnnnnnnnnnuu!)1()!1(limlim11nnnn)1(limnnn)11(1lim1e1所以此级数收敛.123323limlim11nnu
16、unnnnnn32123limnnn13(2)因为所以此级数发散.例 5.求极限 (其中常数 a 0).!limnann解解:(1)考虑级数 ,因为1!nnna101lim!)!1(limlim11nananauunnnnnnn所以由比值法知级数 收敛;1!nnna再由级数收敛的必要条件知0!limnann注意到 =1 时定理 3 不能判定级数的敛散,例如p 级数无论 p 为何值均有11limlim1pnnnnnnuu例 6.判别级数 的敛散性.12)12(1nnn解解:比值法失效.由比较法,选取4112)12(1limlim2nnnvunnnn121nn由 收敛知原级数亦收敛.121nn定理 定理 4.(Cauchy 根值判别法)对于正项级数 ,nu若nnnulim则 1(包括=+)时级数发散.也应注意 =1 时定理 4 不能判定级数的敛散:p 级数无论 p 为何值均有11lim1limlimpnnnpnnnnnnu(证法与定理 3 类似,请大家写出证明)例 7.证明级数 收敛,并估计以部分和 Sn近似代替 S 时所产生的误差.11nnn解解:由根值法,知级数收敛;101lim1li