1、第 第 第 第 3 3 章章章章函数的连续性函数的连续性函数的连续性函数的连续性第 第 3 章 函 数 的 连 续 性章 函 数 的 连 续 性1 1 函数连续性与间断点函数连续性与间断点1.函数的连续性函数的连续性设 y=f(x)在 U(x0)有定义，0lim0yx若 ，则称 f(x)在点 x0 连续.定义 1.y=f(x)f(x0)f(x0+x)0 x0 x0+xxxyy第 第 3 章 函 数 的 连 续 性章 函 数 的 连 续 性设,0 xxx 则)()()()(000 xfxfxfxxfy又0 x即 xx0,故)()(lim0lim000 xfxfyxxx0lim0yx 语言的定义：
2、语言的定义：对 0,若 0,使得当|xx0|时,函数值 f(x)满足|f(x)f(x0)|,则称 f(x)在 x0 处连续.第 第 3 章 函 数 的 连 续 性章 函 数 的 连 续 性),()(lim)()(lim0000 xfxfxfxfxxxx或若定义 2.则称 f(x)在 x0处右(左)连续.设 f(x)在 x0的某右邻域 (或左邻域 )内有定义,)(0 xU)(0 xU定理 1.f(x)在 x0 处连续 f(x)在 x0 左连续且右连续.第 第 3 章 函 数 的 连 续 性章 函 数 的 连 续 性连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.xa,b),f(x)都连续,则称其在(a,
3、b)内连续,或者说 f(x)是(a,b)内的连续函数，记作：f(x)C(a,b)f(x)在 a,b)内连续,且在左端点 x=a 右连续,在右端点 x=b 左连续,则称其在闭区间 a,b 上连续,或者说 f(x)是 a,b 上的连续函数，记作：f(x)C(a,b)第 第 3 章 函 数 的 连 续 性章 函 数 的 连 续 性例例 1 P(x)为多项式时,x0(-,)有),()(lim00 xPxPxx,coscoslim00 xxxx,sinsinlim00 xxxx故 y=P(x)在定义域上都连续.例例 2.因为 x0(-,)有所以 y=sinx，y=cosx 和 y=ex 在定义域上都连续
4、.有理分式函数 只要 Q(x0)0，便有 因此 y=R(x)在定义域上也都是连续的.,)()()(xQxPxR),()(lim00 xRxRxx00limxxxxee 第 第 3 章 函 数 的 连 续 性章 函 数 的 连 续 性例例 3.,0,0,|)(时当时当xxxxxxfxyof(x)=|x|在点 x=0 连续.,0,0,3)(2xxaxxxf问 a 为何值时,f(x)在 x=0 连续？例例 4.设第 第 3 章 函 数 的 连 续 性章 函 数 的 连 续 性2.间断点间断点.函数 f(x)若在点 x0不连续，则称 x0为 f(x)的一个间断点.函数 f(x)在点 x0 连续的条件：
5、(1)f(x)在 U(x0)内有定义；(2)f(x)在 x0 有极限 ；)(lim0 xfxx(3).)()(lim00 xfxfxx第 第 3 章 函 数 的 连 续 性章 函 数 的 连 续 性例 5.,11)(2xxxf在 x0=1 处间断.这是因为 x0=1 处函数无定义的缘故，这里2)(lim1 xfx存在.201xy=f(x)y第 第 3 章 函 数 的 连 续 性章 函 数 的 连 续 性f(x)=,112xx0,x1x=1在 x0=1 处间断.这是因为 f(1)=0,而2)(lim1xfx的缘故.例 6.201xy=f(x)y第 第 3 章 函 数 的 连 续 性章 函 数 的
6、 连 续 性例 7.f(x)=x1,x0 x+1,x0在 x0=0 处间断.这是因为,1)(lim,1)(lim00 xfxfxx从而)(lim0 xfx不存在的缘故.yx110y=f(x)第 第 3 章 函 数 的 连 续 性章 函 数 的 连 续 性 上面三例的间断点同属于一类,其中例 1,例 2 的称为可去间断点,而例 3 的称为跳跃间断点.201xy=f(x)y201xy=f(x)y跳跃间断点间断点第一类第二类可去间断点yx110y=f(x)第 第 3 章 函 数 的 连 续 性章 函 数 的 连 续 性例例 8.f(x)=tanx 在 处间断.xxtanlim220 x20 x为 t
7、anx 的无穷间断点.的缘故.称这是因为它属于第二类.y0y=tan x2x第 第 3 章 函 数 的 连 续 性章 函 数 的 连 续 性例例 9.,1sin并指出间断点的类型的间断点求xy 解解:间断点 x=0.xxxx1sinlim 1sinlim00和由于都不存在，故 x=0 为第二类间断点，称为振荡间断点.011yx22第 第 3 章 函 数 的 连 续 性章 函 数 的 连 续 性第 第 第 第 3 3 章章章章函数的连续性函数的连续性函数的连续性函数的连续性第 第 3 章 函 数 的 连 续 性章 函 数 的 连 续 性2 2 连续函数的性质连续函数的性质1.连续函数的四则运算连
8、续函数的四则运算(1)f(x)g(x)，(2)k f(x)(k 为常数)，(3)f(x)g(x)，(4)(g(x0)0)定理定理 1.若 f(x)和 g(x)在点 x0连续，则都在点 x0 连续.)()(xgxf第 第 3 章 函 数 的 连 续 性章 函 数 的 连 续 性例例 1.已知 f(x)=x 和 g(x)=sinx 都在(,+)上连续，故函数 F(x)=x+2sinx 和 G(x)=xsinx 在(,+)上也连续.例例 2.已知 f(x)=cosx 和 g(x)=x2+1 都在(,+)上连续,故函数 H(x)=1cos2xxxgxf在(,+)上连续.例例 3.已知 y=sinx 和
9、 y=cosx 都在(,+)上连续,故函数 tan x=xxcossin在 x (2k+1)连续.2第 第 3 章 函 数 的 连 续 性章 函 数 的 连 续 性2.反函数和复合函数的连续反函数和复合函数的连续性性 定理定理 2.设 y=f(x)在区间 I 上严格单调增加(减少)且连续，则其反函数 x=f-1(y)也在对应区间 J=y|y=f(x),xI 上严格单调增加(减少)且连续.例例 4.y=sinx在2,2上单调增且连续,于是其反函数y=arcsinx 在 1,1 上也单调增且连续.第 第 3 章 函 数 的 连 续 性章 函 数 的 连 续 性定理定理 3.设 u=(x)在点 x0
10、连续，y=f(u)在点 u0=(x0)连续，若 y=f (x)在 U(x0)内有定义，则它在点 x0也连续.例例 5.已知 y=u2 在(,)上连续,而 u cosx 在(,)上连续,于是 y=cos2x 在(,)上也连续.第 第 3 章 函 数 的 连 续 性章 函 数 的 连 续 性关于复合函数的极限有下列结论：(1)若 ，又 y=f(u)在 u=u0 连续，则对复合函数 y=f(x)，有0)(lim0uxxx)()(lim00ufxfxx(2)若 ，又 ，则对复合函数 y=f(x)有0)(lim0uxxxaufuu)(lim0axfxx)(lim0)(lim0 xfxx)(lim0ufu
11、u3.复合函数的极限 复合函数的极限 例例 6.求极限xxx10)1cos(lim例例 7.求极限93lim23xxx第 第 3 章 函 数 的 连 续 性章 函 数 的 连 续 性)(lim)(lim00 xfxfxxxx)(lim)(lim00ufxfuuxx(1)(2)例例 8.求极限3142lim2xxx例例 9.求极限)11(lim22xxxxx例例 10.求极限xxx)1ln(lim0例例 11.求极限xxx1elim0第 第 3 章 函 数 的 连 续 性章 函 数 的 连 续 性 结论结论 1 基本初等函数在其定义域上上都连续.4.初等函数的连续性 初等函数的连续性 结论结论
12、2 初等函数在其有有定义的区间的区间内都连续.函数间断点及其类型的确定：间断点及其类型的确定：(1)初等函数 (2)分段函数第 第 3 章 函 数 的 连 续 性章 函 数 的 连 续 性3 3 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质1.最大值最小值定理最大值最小值定理定理定理 1.若 f(x)C(a,b)，则它在 a,b 上必有最大值和最小值.即：至少存在一点(a b)使得 xa,b 有 f()f(x)至少存在一点(a b)使得 xa,b 有 f()f(x)分别称 f()和 f()为 f(x)在 a,b 上的最大值 最大值 和 最小值最小值.常记作)(max)(xffIx)(min)(
13、xffIx第 第 3 章 函 数 的 连 续 性章 函 数 的 连 续 性OabxyMm推论推论 1.若 f(x)C(a,b)，则它在 a,b 上一定有界.事实上，xa,b，总有 m f(x)M.第 第 3 章 函 数 的 连 续 性章 函 数 的 连 续 性定理 1 中的条件：连续；闭区间 a,b Oyx21xy 22x=0 处不连续Oyxxy 3开区间(0,3)第 第 3 章 函 数 的 连 续 性章 函 数 的 连 续 性2.介值定理介值定理定理定理 2.若 f(x)C(a,b)，则它在(a,b)内必取得介于 f(a)与f(b)之间的任何值.即：对于介于 f(a)和 f(b)之间的任意一个值 c,至少存在一点 (a,b),使得 f()=c.0bxyf(a)af(b)y=f(x)C第 第 3 章 函 数 的 连 续 性章 函 数 的 连 续 性推论推论 2.(零点定理)若 f(x)C(a,b)，且 f(a)f(b)0，且,有 f()g()0.求证：0 使 f(0)g(0)0（0 0 ).2
