1、高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学大 学 数 学（一）第十五讲 导数的概念脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民湖南大学高等数学第四章 一元函数的导数与微分本章学习要求：理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可导、可微、连续之间的关系。熟悉一阶微分形式不变性。熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微分。了解 n 阶导数的概念，会求常见函数的 n 阶导数。熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理，并能较好运用上述定理解决
2、有关问题（函数方程求解、不等式的证明等）。掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。第一节 导数的概念第四章 一元函数的导数与微分一.导数产生的背景二.导数的概念三.导数存在的必要条件四.函数的增量与导数的关系一.导数产生的背景1.物理背景2.几何背景1.物理背景在真空中,当时间由t变到t+t时,自由非匀速运动物体的速度问题落体所经过的路程为2221)(21)()(gtttgtSttS+=+)2(212tttg+=例1物体由t 到 t+t 一段的平均速度是ttttSttStV+=)()()()(ttttg+=)2(212tggt+=21求物体在时刻t 的瞬时速度vt,就是ttSttSt
3、VVttt+=)()(lim)(lim00gttggtt=+=)21(lim0令 t0 的极限过程：从物理学看,当t0 时,应该有 .0)()(+tSttS这是否也说明了一个什么问题?Pll力学中的线密度问题设有一根可视为直线的棒上非均匀地分布着质量.直线的一端为原点,线段 OP 的长度为 l,质量为 m,则 m 是 l 的函数：m=f(l).求点 P 处的线密度.例2OP给 l 一个增量 l,则 l 这一段(PP)的平均密度是而在 P 点处的线密度就是l 0 平均密度的极限：0lim=llml=0limllfllfl+=)()(lim0llfllflm+=)()(比较两个极限式：llfllf
4、l+)()(lim0 .)()(lim0ttSttSt+与 PTPQPLQPL的极限位置割线时趋向点沿曲线点处点切线为在点曲线平面曲线上切线的概念LPQT切线PT切点2.数学背景 平面曲线的切线问题沿曲线趋近于点 A时的极限位置.平面曲线 y=f(x)的切线：曲线在点 A(x0,y0)处的切线 AT 为过曲线上点 A 的任意一条割线 AA当点 A(x0+x,y0+y)Oxy)(xfy=AABxyT定义切线方程:,)(00 xxkyy=tan=k tanlim0=x其中,.lim0 xyx=(1)建立一个函数关系 y=f(x)xI.(2)求函数由 x0 到 x0+x 的平均变化率：解决与速度变化
5、或变化率相关问题的步骤:(3)求 x 0 的极限：;)()(00 xxfxxfxy+=.)()(limlim0000 xxfxxfxyxx+=小结二.导数的概念设函数 f(x)在 U(x0)有定义,且 x0+x U(x0).则称函数 f(x)在点 x0 处可导,极限值 a 称为 f(x)在,|0ayxx=，axxf=d)(d0 .dd0axyxx=如果极限axyxxfxxfxx=+0000lim)()(lim存在,点 x0处的导数.记为，axf=)(0定义1.导数的定义k 0为常数.xxfxxfxfx=)()(lim)(0000 xxxfxxfxfx+=2)()(lim)(0000 xkxfx
6、kxfxfx+=)()(lim)(0000;)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx=如果函数 f(x)在点 x0 处可导,则设函数 f(x)在 x0,x0+)内有定义,若存在,则称 a 为 f(x)在点 x0 处的右导数.记为2.左、右导数axxfxxfxyxx=+=+)()(limlim0000.)(0axf=+定义设函数 f(x)在(x0,x0 内有定义,若存在,则称 a 为 f(x)在点 x0 处的左导数.记为axxfxxfxyxx=+=)()(limlim0000axf=)(0定义axf=)(0axfxf=+)()(00定理好像见过面啊！3.导函数xxfxxfxyxfxx+=
7、)()(limlim)(00若 x(a,b),函数 f(x)皆可导,则说 f(x)在(a,b)内可导.这时 f(x)是关于 x 的一个新函数,称之为 f(x)在(a,b)内的导函数.通常我们仍称之为 f(x)在(a,b)内的导数：定义函数在点 x0 I 处的导数:0)()(0 xxxfxf=)(,)(bfaf+若 f(x)在(a,b)内可导,且存在,则称 f(x)在 a,b 上可导,f(x)称为 f(x)在 a,b 上的导函数,简称为导数.先求导、后代值.定义4.导数的几何意义)(tan0 xfk=此时,切线方程为:)(000 xxxfyy=函数 f(x)在点 x0 的导数 f(x0)就是对应
8、的平面曲线 y=f(x)在点(x0,y0)处的切线的斜率 k:y O x x0y=c f(x0)=0y O x f(x0)=x0O xyx0yO x x0f(x0)不存在f(x0)不存在切线平行于x 轴：0)(0=xf曲线 y=f(x)在点 x0 处的切线可能平行于x 轴、垂直于 x 轴、或不存在,所反映出的导数值是：切线垂直于x 轴：=)(0 xf（曲线为连续曲线）在点 x0 处无切线：f(x0)不存在.在任意一点x 处,有xxxxxykxx+=2200)(limlim在点(1,1)处故所求切线方程为：22110=xxxkk求曲线 y=x2上任意一点处切线的斜率,并求在点(1,1)处的切线方
9、程.xxxx2)2(lim0=+=即y=2x 1.y 1=2(x 1),例3解三.导数存在的必要条件设 f(x)在点 x0 可导,即有于是,)()()(000+=xfxxxfxf0000)()(limlim)(0 xxxfxfxyxfxxx=)(0 0 xx 故)()()()(0000 xxxxxfxfxf+=)(lim0 xfxx)(0 xf=)()()(lim00000 xxxxxfxfxx+.)(,0处连续在点函数就是说xxf函数 f(x)在点 x0可导的必要条件是它在点x0 连续.只是必要条件！定理y=|x|在点 x=0 连续,但不可导.xxfx+=+|0|0|lim)0(0=+=xx
10、fx|0|0|lim)0(0故f(0)不存在.y=|x|Oxy1|lim0=xxx1|lim0=xxx例4解 .0|,0|lim 00处连续在点故但=xxyyxxx在点 x=0 处的连续性和可导性.,1|1sin|x01sinlim0=xxnx00=xy又 当 nN 时,函数在在点 x=0 处连续.)(0 ,0 0 ,1sin +=Znxxxxyn讨论例5解)(+Zn当 n=1 时,xxyxx=limlim00不存在,故 n=1 时,函数在 x=0 处不可导.当 n 1 时,xxyxx=limlim00故 n 1时,函数在 x=0 处可导.其导数为 .00=xyxx=1sinlim001sin
11、lim10=xxnxxx1sinxxn1sin f(x)在 x=0 处可导,从而f(x)=1+bx,x0e x,x 0f(0)=1 f(x)在 x=0 处连续,f(0)=a.例6解 .1 ,1lim)(lim 00=+aexfxxx故又设a+bx,x0求 a,b 之值.e x,x 0y=在 x=0 可导,由可导性：故b=1,此时函数为f(x)=1 x,x 0e x,x 0 xexfxfxxx=+1lim)0()0(lim00bxxbxfxfxx=+=+1)1(lim)0()0(lim001lim0=+xxx.1 ,1=ba四.函数的增量与导数的关系可表示为 y=f (x0)x+o(x).若函数
12、 f(x)在点 x0处有(有限)导数 f(x0),则函数 f(x)在该点的增量 y=f(x0+x)f(x0),定理,lim)(00 xyxfx=得,)(0+=xfxy0)0(时x故)o()()(00 xxxfxxxfy+=+=证由则函数 f(x)在点 x0 处有若函数 f(x)在点 x0 处有(有限)导数f(x0),可近似表示为：y f(x0)x(1)函数 f(x)在该点的增量y=f(x0+x)f(x0)xxfxfxxf+)()()(000(2);)U(00 xxx+)()()(000 xxxfxfxf+)U(0 xx推论 ,2xy=设则)o(2)o(xxxxxyy+=+=于是xxxyy=2例7 .2)(2xxy=
