1、常微分方程 基本概念 1.常微分方程.含含有有未未知知函函数数导导数数（或或微微分分）的的等等式式称称为为若若未未知知函函数数是是一一元元的的，则则称称此此方方程程为为微微分分方方程程常常微微分分方方程程2.方程的阶.微微分分方方程程中中未未知知函函数数最最高高方方程程数数称称为为的的阶阶数数阶阶2+sin.yyyx例例1.1.2+sin.xfffxy32.yyx例例2.2.常微分方程 基本概念.nnn2 2）若若有有一一个个含含有有 个个无无关关的的任任意意常常数数的的函函数数是是一一个个 阶阶微微分分方方程程的的解解，则则称称这这个个含含有有 个个任任意意常常数数的的解解为为此此方方程程通
2、通解解的的.3 3）通通解解不不能能包包含含的的为为方方程程的的奇奇解解解解.4 4）通通解解中中任任意意常常数数确确定定后后的的解解为为方方程程特特解解的的3.方程的解.1 1）若若将将某某个个函函数数代代入入方方程程中中未未知知函函数数位位置置上上，使使方方程程变变为为恒恒等等式式，则则称称此此函函为为方方程程的的一一个个解解数数常微分方程 基本概念 4.定解条件（初始条件、初值条件）000112(),.nnxxxxxxnyayayan称称 个个条条件件,为为阶阶微微分分方方程程定定解解条条件件的的 2()+SS tStt设设变变速速直直线线运运动动函函数数满满例例3 3足足.1 1，00
3、000()()().SSv定定解解条条件件：，常微分方程 一阶可解的微分方程()().yf y g x形形如如1.1.可可分分离离变变量量方方程程：的的方方程程 解法：分分离离变变量量后后再再积积分分，()()dyyf y g xdx d()()dyg xxf ydd().()yg xxf y为为其其通通解解常微分方程 一阶可解的微分方程().yyfx形形如如2.2.齐齐次次方方程程.解法：,yux设设yuxyux f uuxu()().yp x yq x3.3.一一阶阶线线性性方方程程.形形如如 0()q x 当当时时，齐齐次次；0()q x 当当时时，非非齐齐次次；d()p xxyCedd
4、d()()()p xxp xxyeCq x ex常微分方程 一阶可解的微分方程 1()()yyp x yq x0 1()(),.yp x yy q x 4.4.伯伯努努利利方方程程.形形如如 1111()()yp x yq x 1111()()yp x yq x1d1d11d()()()p xxp xxyeCq x ex 常微分方程 可降阶的微分方程 10,nnF x yy1.1.方方程程,nyu设设0,F x u u 方方程程化化为为一一阶阶方方程程0,Fy y y2.2.方方程程 dd,yyux 设设d0d,uFy u uy方方程程化化为为一一阶阶方方程程dduyx dddduyyxddu
5、uy常微分方程 解的结构 n1.1.阶阶线线性性方方程程 1110()()()()nnnyax yax yax yfnx形形阶阶线线性性方方如如程程为为程程的的方方0()f x如如果果，；齐齐次次0()f x如如果果，.非非齐齐次次121122,nnnyyynyC yC yC y设设为为 阶阶线线性性齐齐次次微微分分方方程程的的线线性性无无定定理理1.1.关关的的解解，则则方方程程的的通通解解.2.2.齐齐次次方方程程通通解解结结构构121122*,+nnnyyynyyC yC yC yy设设为为 阶阶线线性性微微分分方方程程的的对对应应齐齐次次方方程程线线性性无无关关的的解解，是是非非齐齐次
6、次方方程程一一个个定定理理2.2.特特解解，则则方方程程的的通通解解.常微分方程 解的结构 3.3.结结论论III=III1 1）齐齐次次解解齐齐次次解解齐齐次次解解；+=2 2）齐齐次次解解 非非齐齐次次解解 非非齐齐次次解解；=3 3）非非齐齐次次解解-非非齐齐次次解解 齐齐次次解解；常微分方程 常系数齐次线性微分方程 11100nnnyaya ya y1110+nnnaaa=0=0，特特征征方方程程.xye 如如果果 是是单单实实特特征征根根，则则(1)(1)112,xxkxkkkyeyxeyxe 如如果果 是是 实实特特征征根根，则则方方程程基基础础解解系系中中对对应应的的 个个)解解
7、(2(2ik如如果果是是方方程程的的 重重(4)(4)复复特特征征根根，2k则则方方程程基基础础解解系系中中对对应应的的个个解解12cos,sin,xxyex yexcos,sin,xxxexxex11cos,sin,kxkxxexxex12cos,sin.xxyex yex则则方方程程基基础础解解系系中中对对应应的的两两个个解解i(如如果果是是单单3)3)复复特特征征根根，常微分方程 常系数非齐次线性微分方程 11101.()nnnyaya ya yf x 1110()nnnnnf xPxa xaxa xa当当*,knyx Qx可可以以设设k为为0 0是是方方程程特特征征根根的的重重数数 (
8、)cossinxxnmf xPx exQx ex一一般般地地，当当 *cossin,kxxttyxPx exQx ex可可以以设设max,ktm n为为i i 是是方方程程特特征征根根的的重重数数,分分类类：0=1 1）当当时时，().f x 为为多多项项式式00,2 2）当当时时，().xnf xPx e 00,3 3）当当时时，()cossin.nmf xPxxQxx常微分方程 常系数非齐次线性微分方程 2.2.欧欧拉拉方方程程.11110110(),.nnnnnnx yaxya xya yf xaa a欧欧拉拉称称为为，方方程程其其中中为为常常数数解解法法：lnttxxe做做换换元元或或
9、，d1dtxx11()nnx yD DDny规规律律：.方方程程化化为为常常系系数数线线性性非非齐齐次次微微分分方方程程多元微分学 重极限 一元函数：一元函数：00000lim,.xxfxAxxfxA当当时时，有有二元函数：二元函数：000lim,PPfPA 00.,U PPAPf当当时时，有有00000(,)(,)lim()lim,lim,.PPx yxyxxyyf Pfx yfx yA记记00lim,xxyyfx y 存存在在000(,)(,).P x yP xy点点沿沿任任何何方方向向、任任何何路路径径趋趋向向于于时时，极极限限都都存存在在且且相相等等一元函数：一元函数：000limxx
10、fxAfxfxA二元函数：二元函数：多元微分学 重极限 2200lim.xyxyxy例例 计计算算.0 0(,)yx沿沿直直线线趋趋近近于于解解，：点点时时220=limxx xxx原原式式12=0 0(,)yx沿沿直直线线趋趋近近于于点点时时，22012=limxx xxx原原式式=-,=-,0 0(,)ykx沿沿直直线线趋趋近近于于解解：点点时时，2220=limxx kxxk x原原式式21=kkk当当 取取不不同同值值时时，上上述述极极限限不不相相等等，故故原原极极限限不不存存在在.故故原原极极限限不不存存在在.多元微分学 连续 一元函数：一元函数：000000 limlimxxxfx
11、fxfxxfx连连续续或或二元函数：二元函数：0000lim,xxyyfx yfxy连连续续0000000 lim,xyfxx yyfxy或或反反函函数数性性质质去去掉掉，其其性性质质.他他照照搬搬即即可可多元微分学 偏导数 一元函数：一元函数：000000000000000(,),limlim,.xxxzf x yxyyyfx yfxyfxx yfxyxxxfx yxyx设设在在邻邻域域内内有有定定义义，固固定定，若若极极限限存存在在，则则称称在在点点处处关关于于 的的存存在在偏偏导导数数 000000100,xxxxxyyyzzfxyfxyx记记为为 000000 limlimxxxfxf
12、xfxxfxAAxxx可可导导或或二元函数：二元函数：000000200,yyxxyyxyzzfxyfxyy同同理理可可定定义义多元微分学 偏导数的几何意义 一元函数：一元函数：二元函数：二元函数：Oxy()yf x0 x0y000(),fxyf xxy注注：表表示示曲曲线线在在点点处处切切线线斜斜率率.0 tankfx 000000000000000(,),limlim,.xxxzf x yxyyyfx yfxyfxx yfxyxxxfx yxyx设设在在邻邻域域内内有有定定义义，固固定定，若若极极限限存存在在，则则称称在在点点处处关关于于 的的存存在在偏偏导导数数 多元微分学 偏导数的几何
13、意义 二元函数：二元函数：Oyzx0y(,)zf x y00,xfxy注注：表表示示0(,)yyzf x y曲曲线线0000,(,).xyf xy在在点点处处切切线线的的斜斜率率0 x000000000000000(,),limlim,.xxxzf x yxyyyfx yfxyfxx yfxyxxxfx yxyx设设在在邻邻域域内内有有定定义义，固固定定，若若极极限限存存在在，则则称称在在点点处处关关于于 的的存存在在偏偏导导数数 多元微分学 偏导数的几何意义 一元函数：一元函数：二元函数：二元函数：Oxy()yf x0 x0y Oyzx0y(,)zf x y0 x多元微分学 连续与偏导数的关
14、系 0000000lim,xyfxx yyfxy连连续续 00000,limxfxx yfxyx偏偏导导数数存存在在存存在在 一元函数：一元函数：可可导导连连续续；二元函数：二元函数：连连续续可可导导.偏偏导导连连续续；连连续续偏偏导导.多元微分学 连续与偏导数的关系 220 000 0,(,)(,)(,),(,)(,)xyx yxyf x yx y在在(0,0)(0,0)点点的的连连续续性性和和例例1 1论论.讨讨偏偏导导数数.0 0(,)(,)f x y因因在在点点处处极极限限解解：不不存存在在，故故不不连连续续.000 00 0,(,)(,)limxxfxffx000 limxx000
15、00 0,(,)(,)limyyfyffy000 limyy多元微分学 连续与偏导数的关系 22(,)zf x yxy 在在(0,0)(0,0)点点的的连连续续性性和和例例2.2.讨讨论论偏偏导导数数.(,)f x y因因是是初初解解：等等函函数数，故故在在(0,0)(0,0)点点连连续续.000 00 0,(,)(,)limxxfxffx0 limxxx00 0(,)limyyyfy同同理理，也也不不存存在在，x极极限限不不存存在在，故故(0,0)(0,0)点点关关于于 偏偏导导数数不不存存在在.y故故(0,0)(0,0)点点关关于于 偏偏导导数数也也不不存存在在.多元微分学 高阶偏导数(,
16、),(,)xyzf x yzzzf x y若若的的偏偏导导数数仍仍可可导导，定定则则称称它它们们的的偏偏导导数数为为的的义义.二二阶阶偏偏导导，2112,xxxxzzfx yfx yx记记为为2222,yyyyzzfx yfx yy纯纯二二阶阶偏偏导导212,xyxyzzfx yfx yx y221,yxyxzzfx yfx yy x混混合合二二阶阶偏偏导导(,),.xyyxxyyxzf x yffff若若的的二二阶阶混混合合偏偏导导数数都都存存在在且且连连续续，则则定定理理.多元微分学 全微分 一元函数：一元函数：22000 ,xyxy 当当时时，=yAxox可可微微二元函数：二元函数：2,zfx yxy例例 考考查查函函数数.20000,=fxx yyxxyy220002=xxyyyy2222000000022 x yxyx yyyxxyyx y20000,fxyx y而而2220000022 zyxx yyxyyx yxy 20002 zyxx yyo A xB yo 多元微分学 全微分 000000220000(,),(,)(,)(,),=,zf x yxyf x yzf xx
