1、高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学大 学 数 学（一）第二十二讲 定积分的概念脚本编写：刘楚中教案制作：刘楚中湖南大学高等数学第五章 一元函数的积分本章学习要求：熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式.熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积分的换元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部分分式法.了解利用建立递推关系式求积分的方法.理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系.熟悉牛顿莱布尼兹公式.理解广义积分的概念.掌握判别广义积分收敛的比较判别法.能熟练运用牛顿莱布尼兹公式计算广义积分。掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分表达和计算一些几
2、何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。能利用定积分定义式计算一些极限。第一节 定积分的概念第五章 一元函数的积分二.定积分的定义一.曲边梯形的面积三.定积分的性质第五章 一元函数的积分第一节 定积分的概念和性质在我国古代南北朝（公元 429 500 年）时，南朝的科学家祖冲之运用逐渐增加圆内多边形的边数，算出正多边形的面积，逼近相应的圆的面积，得到了 近似值.在初等几何中，计算任意多边形面积时，常采用如下方法：首先将任意多边形划分为若干个小三角形，分别计算各个三角形的面积，然后求和，得到任意多边形的面积。阿基米
3、德运用这种方法，求得抛物线与x 轴及直线 x=1 所围成的平面图形面积的近似值.2xy=就是说，在计算复杂图形的面积时，可以先将它划分为若干个容易算得面积的小块，并分别求出各小块图形的面积，然后求和，即得到原图形的面积的近似值（边界线为直线时，可得精确值）.如果在上述方法中引入极限过程,会产生什么效果?一.曲边梯形的面积曲边梯形：三边为直线，其中有两边相互平行且与第三边垂直（底边），第四边是一条曲线，它与垂直于底边的直线至多有一个交点（这里不排除某直线缩成一点）.1.曲边梯形2.求曲边梯形的面积首先，我们重复阿基米德的做法：分划代替求和得到曲边梯形的近似值，然后，引入极限过程，求出曲边梯形的精
4、确值.Oxyab1x1ixix)(xfy=,0)(xf设 .),()(baCxf第一步：分划,1110bxxxxxxannii=任意引入分点 ).,2,1(,1nixxnbaii=个小区间成分将 .1个小区间的长度表示第用ixxxiii=称为区间的一个分法 T第二步：代替1ixixi ,1则iiixx .)(:iiixfS小曲边梯形面积对每个小曲边梯形均作上述的代替 .的选择有关与iiSOxyab1x1ixix)(xfy=第三步：求和 .)(:11=niiiniixfSS曲边梯形面积 .T 的选择有关及点与分法iS 极限过程是什么？如何求精确值？Oxyab1x1ixix)(xfy=第四步：取极
5、限 ,max|1则令inixx=.)(lim :10=niiixfS曲边梯形面积 .T 的选择无关及点与分法极限存在与否，i ，杂平面图形面积的方法该过程告诉了我们求复 .形面积的定义同时，也告知了平面图 想方法是：解决曲边梯形面积的思 .取极限求和代替分划 处理的问题的结果，即通常人们把这类方法所 .,)(上的定积分在区间这种极限值，称为函数baxf二.定积分的定义 .,)(且有界上有定义在设函数baxf,1110bxxxxxxannii=任意引入分点 ).,2,1(,1nixxnbaii=个小区间成分将区间,.11iiiiiixxixxx=个小区间的长度表示第用 ,)(lim 10|的且该
6、极限值与对区间存在若baxfniiix=,)(,T 上可积在则称函数的选择无关及点分法baxfi的定上在极限值称为记为 ,)(),()(baxfbaRxf .)max|()(limd)(:110|ininiiibaxxxxfxxf=积分值定积分符号：.)(limd)(10|=niiixbaxfxxf 定积分号；ba 积分下限；a 积分上限；b d)(被积表达式；xxf)(被积函数；xf d积分变量；中的xx.,积分区间ba)(积分变量的取值范围关于定积分定义的几点说明 .,)(,T ),(d)()1(有关区间及只与的选择无关及点它与分法具体的数是一个极限值定积分baxfxxfiba.d)(d)
7、(d)()2(=bababattfyyfxxf号无关：定积分与积分变量的记 0.|,0|)3(xnnx却不一定有时个数当分点但是分点个数时取极限求和代替分划分方法处理：匀变化问题可以用定积则该非均乘积形式可以表示为两个变量的看成是均匀变化时若将非均匀变化的事物 ,)4(定积分的几何意义Oxyab)(xfy=1A2A3A,d)(1=caxxfAcd.d)(3=bdxxfA,d)(2=dcxxfA由极限保号性：,0d)(caxxf,0d)(dcxxf.0d)(bdxxf面积：定积分的几何意义Oxyab)(xfy=1A2A3Acd ,)(d)(bxaxxfyxxfba=与直线等于曲线.面积的代数和轴
8、所围成的几何图形的及 x喂！请问什么样的函数可积？下面是几个关于函数可积性的定理.运用定积分的概念及定积分的几何意义,由函数的极限运算性质容易证明它们,所以我们在这里不进行证明.喂!定理 1.),()(),()(baRxfbaCxf则若 ,)(上单调、有界在若baxf.),()(baRxf则)(,)(一类且仅有有限个上有界在baxf.),()(,baRxf则间断点定理 2Oxyabc.),(|)(|),()(baRxfbaRxf则若 .3 的逆不真定理=.1,1 )(,为无理数，为有理数例如xxxf定理 3,),()(badcbaRxf则若.),()(dcRxfOxyabcd定理 4 ),()
9、(),(则若baRxgxf.),()()(),()(),(baRxgxfxgxfxkf定理 5为常数）k(三.定积分的性质由于定积分是一种和式的极限,所以极限的某些性质在定积分中将有所反映.在以下的叙述中,假设所出现的函数均可积,所出现的定积分均存在.证 :,定积分反号交换积分上、下限.d)(d)(=abbaxxfxxf 1 性质 .,T 1的取值也不变不变保持分法iiixx ;,1=iiixxxba看往则由.,1*iiiixxxxab=看往由=niiixniiixabxfxfxxf10|10|)(lim)(limd)(.d)(=baxxf0d)(=aaxxf证 )(2 线性性质性质,d)(d
10、)(d)()(=bababaxxgxxfxxgxf .,为常数、式中由定积分定义及极限运算性质：=niiiixbaxgfxxgxf10|)()(limd)()(=niiixniiixxgxf10|10|)(lim)(lim.d)(d)(=babaxxgxxf可以推广至有限个可积函数的情形.证 )(3 保号性性质.0d)(,0)(baxxfbaxxf则若(小于零的情形类似.)由极限的保号性立即可知.Oxyab0A0)(=xfy 1 3 的推论性质.d)(d)(,)()(babaxxgxxfbaxxgxf则若Oxyab)(xfy=)(xgy=0gfAA 2 3 的推论性质babaxxfxxfd|)
11、(|d)(|Oxyab)(xfy=|)(|xfy=+代数和例1证 ,0d)(.0)(,),()(=baxxfxfbaCxf若且设 .,0)(baxxf证明：,0)(0 xf ,0)(baxxf设/.)U(0)(0 xxxf.0d)(,)U(,0 xxfx则取 ,0d)(,0d)(故又baxxfxxf.0d)(d)(d)(d)(+=babaxxfxxfxxfxxf .,0)(baxxf该矛盾说明：,0使则至少bax ,)U(,),()(0使由xbaCxf0d)(baxxf0)(xf/有什么结论？换成例2证 ,)()(,),()(),(xgxfbaCxgxf且设 .1 ),()()(的讨论即可证得
12、由对例令xgxfxF=请同学们自己在下面做.d)(d)(.,)()(babaxxgxxfbaxxgxf证明：/与性质 3 的推论 1 不同，这里的结论是严格不等号！)(4 对区间的可加性性质+=bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(.,bca其中证 .),()(,),()(),()(bcRxfcaRxfbaRxf ,T则成为分点使点选择适当的分法c+=,)()()(bciicaiibaiixfxfxf ,0|由可积性即得的极限取x+=bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(例3 ,)(则可积在下列所出现的区间上若xf .d)(d)(d)(=bccabaxxfxxfxxf .d
13、)(d)(d)(=cabcbaxxfxxfxxfOxyab)(xfy=c )(5 估值定理性质 ,)(,则最小值上的最大在分别为设baxfmM .)(d)()(abMxxfabmba证.,)(),()(baxMxfmbaRxf由于baxxfd)(所以abxba=d=baxmabmd)(.)(dabMxMba=例4.22dsin 21 24xxx证明：,tan ,2,4 sin)(则由令xxxxxxf=证0cos)tan(sincos)(22=xxxxxxxxxf,2)2(,22)4(,2,4)(=fmfMxf且故得运用估值定理由 ,)2,4()(,0)(Cxfxf.22)42(22dsin)4
14、2(221 24=xxx ,21其算术平均值来说对于有限个量naaa .21naaaan+=)(),()(在区间现需求函数设xfbaCxf )(,的算处函数值任意的无穷多个点上iixfxba?,你认为应该怎么做术平均值 f :a是数 下面看看另一个问题下面看看另一个问题 :很自然的做法是 ,),2 ,1(,计算出函数相应首先nibaxi=的算术平均值 ,)()()(21nxfxfxffnn+=,且与点如果该极限值存在的极限取然后+n ,则可以认为该极限上的分布状况无关在区间baxi :值为所求的算术平均值 .)()()(limlim21nxfxfxfffnnnn+=+).,()(,),()(b
15、aRxfbaCxf所以由于 ,则每个小区间的长度为等分分成将区间nba ).,2 ,1()(1niabnxi=)(,21算术平均值作为求函数取分点此外xfxxxn ,得到于是的计算点nf ,)(1)()()(121+=+=iiinnxxfabnxfxfxff ,得由定积分的定义的极限取+n .d)(1)(lim 1 1=+=+baiiinxxfabxxfabf .d)(1 )(,)(),()(,=baxxfabfbaxfbaCxf平均值为算术上的在则就是说 .d d)(=babaxxxff通常也将它记为 ,),()(babaCxf故至少存在一点由于 ,)(即有使得ff=).)(d)(abfxx
16、fba=.,的定理我们就可得到一个重要这样 )(6 积分中值定理性质使得则上保持符号不变在 ,baba.d)()(d)()(=babaxxgfxxgxf ,1)(则若xg=babaxfxxfd)(d)(.)(abf=Oxyab)(),()(),()(xgbaRxgbaCxf且若)(xfy=证.0)(,)(xgbaxg不妨设所以上不变号在由于 ),()(),()(故有又baRxgbaCxf),()()(baRxgxf ,d)(d)()(d)(xxgMxxgxfxxgmbababa.,)(,最小值上的最大在为其中baxfmM.6 ,0d)()1(显然成立则性质若=baxxg ),()(,0d)()2(及则由若baCxfxxgba ,使得ba.d)()(d)()(=babaxxgfxxgxf.6 ,获证性质综上所述从证明的过程中，你是否发现性质 6 的条件可以减弱？条件减弱后，结论是否也要调整？,d)(d)()(Mxxgxxgxfmbaba 积分中值定理的推广使得则存在上保持符号不变在 ,Mmba.d)(d)()(=babaxxgxxgxf)(,)(),()(),(xgMxfmbaRxgxf
