1、第四章 函数的导数和微分本章学习要求：理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可 导、可微、连续之间的关系。熟悉一阶微分形式不变性。熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程 求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微 分。了解 n 阶导数的概念，会求常见函数的 n 阶导数。熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰 勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方 程求解、不等式的证明等）。掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。第一节 导数的概念一.导数产生的背景二.导数的概念三.导数
2、存在的必要条件四.函数的增量与导数的关系 一、一、导数产生的背景 1.物理背景 2.几何背景1.物理背景在真空中,当时间由t 变到t+t 时,自由非匀速运动物体的速度问题落体所经过的路程为2221)(21)()(gtttgtSttS)2(212tttg例1物体由 t 到 t+t 一段的平均速度是ttttSttStV)()()()(ttttg)2(212tggt21求物体在时刻 t 的瞬时速度 vt,就是ttSttStVVttt)()(lim)(lim00gttggtt)21(lim0令 t0 的极限过程：从物理学看,当t0 时,应该有 .0)()(tSttS这是否也说明了一个什么问题?Pll力
3、学中的线密度问题设有一根可视为直线的棒上非均匀地分布着质量.直线的一端为原点,线段 OP 的长度为 l,质量为 m,则 m 是 l 的函数：m=f(l).求点 P 处的线密度 .例2OP给 l 一个增量 l,则 l 这一段(PP)的平均密度是而在 P 点处的线密度就是 l 0 平均密度的极限：0limllml0limllfllfl)()(lim0llfllflm)()(比较两个极限式：llfllfl)()(lim0 .)()(lim0ttSttSt与PTPQPLQPL的极限位置割线时趋向点沿曲线点处切线为在点曲线 平面曲线上切线的概念LPQT割线PQ切线PT切点2.数学背景 平面曲线的切线问题
4、 沿曲线趋近于点 A 时的极限位置.平面曲线 y=f(x)的切线：曲线在点 A(x0,y0)处的切线 AT 为过曲线上点 A 的任意一条割线 AA 当点 A(x0+x,y0+y)Oxy)(xfy AABxyT切线方程:,)(00 xxkyytank tanlim0 x其中,.lim0 xyx(1)建立一个函数关系 y=f(x)xI.(2)求函数由 x0 到 x0+x 的平均变化率：解决与速度变化或变化率相关问题的步骤:(3)求 x 0 的极限：;)()(00 xxfxxfxy .)()(limlim0000 xxfxxfxyxx设函数 f(x)在 U(x0)有定义,且 x0+x U(x0).则
5、称函数 f(x)在点 x0 处可导,极限值 a 称为 f(x)在,|0ayxx .dd0axyxx如果极限存在,点 x0 处的导数.记为，axf)(0二、二、导数的定义 .d)(d0axxfxxaxyxxfxxfxx0000lim)()(limk 0为常数.xxfxxfxfx)()(lim)(0000 xxxfxxfxfx2)()(lim)(0000 xkxfxkxfxfx)()(lim)(0000;)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx如果函数 f(x)在点 x0 处可导,则导函数导函数xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00若 x(a,b),函数 f(x)皆可导,则说
6、 f(x)在(a,b)内可导.这时 f(x)是关于 x 的一个新函数,称之为 f(x)在(a,b)内的导函数.通常我们仍称之为 f(x)在(a,b)内的导数：函数在点 x0 I 处的导数:0)()(0 xxxfxf 先求导、后代值.基本初等函数的导数 推导一些基本公式啊！1.y=C x R (C为常数)Qxyx0limxCCx0lim00lim0 x 0)(C 通常说成：常数的导数为零.2.幂函数 Q）（Nnxyn )(1nnxnxnnnnnnnnnnxxxnnxnxxxxxnnxnxxxxxy)()(!2)1()()(!2)1()(22122110limnxnxxy )(1xx.11)(01
7、1xxx 自变量对其本身的导数为 1)(1dd1xxx211)1(xx,12x.3)(23xx)()(21xx211212121xx,21x例例13.指数函数 xaaxyxxxxx00limlimQxaxaxxlnlim0)1,0(aaayxxaaxxx1lim0aaxln ln)(aaaxx )(xxee)4(x)(xbabxbaaln)(abaxbln4ln4x)(xba)0(为常数、ba 例例2xyalog,)1,0(aa求y.Qaxxyalnlnlogxxxxaaxlog)(loglim 0 ln1)(log axxaxxxax1lnlimln10axln1等价无穷小替代故解解4.对数
8、函数5ln1)(log5xx 21ln1)(log21xx2ln1x 1)(lnxx ln1)(logaxxaea例例3 3或重要极限5.三角函数(1)xxxxxyxxsin)sin(limlim00Qxxxxx2sin2cos2lim02coslim0 xxxxysin cos)(sin xxxcos和差化积等价无穷小(2)其它三角函数的导数xxxx222tan1seccos1)tan()cot1(cscsin1)(cot 222xxxxxxsin)cos(这些公式一般运用后面所讲的方法进行推导.（仿照正弦函数的推导方法）设函数 f(x)在 x0,x0+)内有定义,若存在,则称 a 为 f(
9、x)在点 x0 处的右导数.记为左、右导数axxfxxfxyxx)()(limlim0000.)(0axf设函数 f(x)在(x0 ,x0 内有定义,若存在,则称 a 为 f(x)在点 x0 处的左导数.记为axxfxxfxyxx)()(limlim0000axf)(0axf)(0axfxf)()(00好像见过面啊！三、导数的几何意义)(tan0 xfk此时,切线方程为:)(000 xxxfyy函数 f(x)在点 x0 的导数 f(x0)就是对应的平面曲线 y=f(x)在点(x0,y0)处的切线的斜率 k:y O x x0 y=c f(x0)=0 y O x f(x0)=x0 O xyx0 y
10、 O x x0f(x0)不存在f(x0)不存在切线平行于x 轴：0)(0 xf曲线 y=f(x)在点 x0 处的切线可能平行于x 轴、垂直于 x 轴、或不存在,所反映出的导数值是：切线垂直于x 轴：)(0 xf（曲线为连续曲线）在点 x0 处无切线：f(x0)不存在.在任意一点 x 处,有xxxxxykxx2200)(limlim在点(1,1)处 故所求切线方程为：22110 xxxkk求曲线 y=x2上任意一点处切线的斜率,并求在点(1,1)处的切线方程.xxxx2)2(lim0即 y=2x 1.y 1=2(x 1),例例4 4解四、导数与连续的关系设 f(x)在点 x0 可导,即有于是,)
11、()()(000 xfxxxfxf0000)()(limlim)(0 xxxfxfxyxfxxx)(0 0 xx 故)()()()(0000 xxxxxfxfxf)(lim0 xfxx)(0 xf )()()(lim00000 xxxxxfxfxx .)(,0处连续在点函数就是说xxf如果函数 f(x)在点 x0可导，则函数f(x)在点 x0 必连续.只是必要条件！y=|x|在点 x=0 连续,但不可导.xxfx|0|0|lim)0(0 xxfx|0|0|lim)0(0故 f(0)不存在.y=|x|Oxy1|lim0 xxx1|lim0 xxx例例5 5解 .0|,0|lim 00处连续在点故
12、但xxyyxxx在点 x=0 处的连续性和可导性.,1|1sin|xQ01sinlim0 xxnx00 xy又 当 nN 时,函数在在点 x=0 处连续.)(0 ,0 0 ,1sin Znxxxxyn讨论例例6 6解)(Zn当 n=1 时,xxyxx limlim00不存在,故 n=1 时,函数在 x=0 处不可导.当 n 1 时,xxyxx limlim00故 n 1时,函数在 x=0 处可导.其导数为 .00 xyxx1sinlim001sinlim10 xxnxxx1sinxxn1sinQ f(x)在 x=0 处可导,从而 f(x)=1+bx,x0e x,x 0f(0)=1 f(x)在
13、x=0 处连续,f(0)=a.例例7 7解 .1 ,1lim)(lim 00aexfxxx故又设a+bx,x0求 a,b 之值.e x,x 0y=在 x=0 可导,由可导性：故 b=1,此时函数为f(x)=1 x,x 0e x,x 0 xexfxfxxx1lim)0()0(lim00bxxbxfxfxx1)1(lim)0()0(lim001lim0 xxx.1 ,1ba练习练习.1.1.设)(0 xf 存在,求.)()(lim0200 xxfxxxfx2.若0)1(f且)1(f 存在,求.tan)1()cos(sinlim20 xexxfxx)(xf在2x处连续,且,32)(lim2xxfx.
14、)2(f 求3.设练习练习.设)(0 xf 存在,求.)()(lim0200 xxfxxxfx解解:原式=xxfxxxfx )()(lim02002)(xx2)(xx)(0 xf 练习练习.若0)1(f且)1(f 存在,求.tan)1()cos(sinlim20 xexxfxx解解:1)cos(sinlim20 xxx原式=220)cos(sinlimxxxfx且0)1(f联想到凑导数的定义式220)1cossin1(limxxxfx1cossin2xx1cossin2xx)1(f)1(f)211()1(21f 练习练习.设)(xf在2x处连续,且,32)(lim2xxfx求.)2(f 解解:
15、)2(f)(lim2xfx)2()()2(lim2xxfxx02)2()(lim)2(2xfxffx2)(lim2xxfx3作业背诵P108-109面的基本导数公式P101-1023，4，11，16 高等院校非数学类本科数学课程第二节 求导法则一、导数的四则运算法则一、导数的四则运算法则二、复合函数的导数二、复合函数的导数三、反函数的导数三、反函数的导数四、基本导数公式四、基本导数公式五、隐函数的求导法则五、隐函数的求导法则六、取对数求导法六、取对数求导法七、参数方程求导法则七、参数方程求导法则一、导数的四则运算法则若函数 u(x),v(x)均可导,则)()()()()()()2(xvxuxv
16、xuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu)0)(xv(1)()()()(),u xv xu xv xnininiixuxuxuxuxu1211)()()()()()()()()(211xuxuxuxunnii推广至有限个可导函数的情形:11()(),nniiiiuxux在证明这些公式时,用到下列表达式：)()(xuxxuuuxuxxu)()(1.证明)()()()(xvxuxvxuxxvxuxxvxxuxvxux)()()()(lim)()(0 xx lim0 xxuxxux)()(lim0)()(xvxuxxvxxvx)()(lim0)()(xuxxu)()(xvxxv解0)sin(cos2xxxxxxsincos2。求 ,1cossin2yxxxy)(2xy)(sinx)(cosx)1(例例1 1，设nnnnnaxaxaxaxay122110 )()()()()(122110nnnnnaxaxaxaxay10nxna。求 y解由和的求导公式21)1(nxnaxan221na 通常说,多项式的导数仍是多项式,其次数降低一次,系数相应改变.例例2 2
