1、高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学大 学 数 学（一）一元微积分的应用(一)脚本编写：刘楚中教案制作：刘楚中函数的单调性、极值第二十八讲第二十八讲湖南大学高等数学第六章 一元微积分的应用本章学习要求：熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解相关变化率和最大、最小值的应用问题。知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念，并能计算平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。熟练掌握“微分元素法”，能熟练运用定积分表
2、达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。能利用定积分定义式计算一些极限。第六章 一元微积分的应用第一、二节运用导数研究函数一、导数的简单应用二、函数的单调性三、函数极值四、函数的最大值、最小值五、函数的凹凸性一、导数的简单应用 .1用导数在几何中的简单应 .2应用导数在物理学中的简单 .)()1(法线方程在某点处的切线方程和求曲线xfy=.)2(点处的交角求两条相交的曲线在交 .)1(速度或变量的变化率求物体运动的速度、加 .)2(求变量间的相关变化率 .1用导数在几何中的简单应 .)()1(法线方
3、程在某点处的切线方程和求曲线xfy=:),()(,)(00处在点则曲线可微设函数yxMxfyxf=,)(0 xfk=切线的斜率为 .)0)(,)(1 1 001=xfxfkk法线的斜率为 ;)(000 xxxfyy+=切线方程为 .)()(1 000 xxxfyy=法线方程为 .,部分请参看导数的几何意义这部分不再举新例 .)2(点处的交角求两条相交的曲线在交 .间的交角是它们在交点处的切线两条相交曲线的夹角就 一个求点处的交角实质上仍是求两条相交的曲线在交Oxy121L2LM .),()(:,)(:002211处相交于点设曲线yxMxfyLxfyL=:相应的切线方程分别为 .)(,)(102
4、2210111bxxfbxkybxxfbxky+=+=+=+=.导数的问题Oxy121L2LM )tan(tan12=1 2112kkkk+=,)()(1 )()(02010102xfxfxfxf+=.):()()(1 )()(arctan 02010201取锐角一般故xfxfxfxf+=例1解 .1 的交角抛物线与求双曲线xyxy=Oxyxy=1xy=M :联立方程组求交点 1xy=xy=.)1 ,1 (,M得交点为解此方程组 ,1 111211=xxxxk ,2 1 21)(112=xxxxk .arctan3 21)1(1 21)1(arctan =+=故例2解 013 2=+=yxxy
5、上哪一点的切线与直线抛物线?45 o的交角为 ),(2处的切线的斜率为上任意一点抛物线yxxy=,2)(21xxk=013 的斜率为直线=+yx .3)13(2=+=xk ,得式由题意及曲线间交角公 ,1 231 23=+xx )()(1 )()(tan02010102xfxfxfxf+=取锐角 .161 ,41 )1 ,1(,)61(23 +=和解之得所求点为即xx例3解 ,用立方抛物线和适当选取参数cA )()(cxbxaxAy=将两条射线,)()(1axaxky=)()(2+=xbbxky .,上光滑地连接起来在区间ba两曲线有是指在连接点处两条曲线“光滑连接”,.切线的斜率相同即在连接
6、点处两曲线的共同的切线 .同数在连接点处的导数相也就是曲线所对应的函 ,有处和在点对立方抛物线而言bxax=,)(cabaAyax=.)(cbabAybx=,有接到含义由直线方程以及光滑连 ,)(1kcabaA=,)(2kcbabA=(1)(2)2()1(得+,)()(2122kkacbcbabbcacabaA+=+)3(.)(221bakkA+=故 :)1(3)值式中求代入将c ,)()(1221kcababakk=+从而 .2121kkkbkac+=.,)(2121221即可满足要求故取kkkbkacbakkA+=+=.2应用导数在物理学中的简单 .)1(速度或变量的变化率求物体运动的速度
7、、加例4 ,0其运动方程为发射炮弹发射角以初速度v ,)cos(0tvx=.21)sin(20tgtvy=;)1(的运动方向炮弹在时刻求t .)2(的速度大小炮弹在时刻 t解Oxy0vvxvyv )1(时的方向炮弹在时刻 t 时的刻就是炮弹的轨迹线在时t ,而切线方向对应点上的切线方向 :反映可以通过切线的斜率来)cos()21)sin(dd020=tvtgtvxy .cos sin 00vtgv=,则轴正向间的夹角炮弹运动方向与时为时刻记xt ,)cos(0tvx=.21)sin(20tgtvy=,cos sin ddtan00vtgvxy=,轴正向间的夹角为炮弹的运动方向与时故在时刻xt
8、.)(cos sin arctan00取锐角vtgv=:)2(分速度的速度可以分解为两个炮弹在时刻 t ,;且轴的铅直速度平行于轴的水平速度平行于yxvyvx .sindd ,cosdd00tgvtyvvtxvyx=,时的速度大小为炮弹在时刻由速度的合成可知t .sin22202022tgtgvvvvvyxt+=+=.)2(求变量间的相关变化率在实际问题中，往往是同时出现几个变量.变量之间有确定的关系，并且它们都是另外某一个变量的函数(例如，都是时间 t 的函数.)从它们对这另一个变量的变化率之间的关系出发，由已知的一个或几个变量的变化率求出一个变量的未知的变化率，就是所谓的相关变化率问题.例
9、5解 .cm/0.01 ,秒的速度均匀增加其半径以加热一金属圆板?,cm 200 少圆板面积的增加率为多时问当半径为 ,则面积为设圆板的半径为yx(1).2xy=.cm/0.01dd ,秒且的函数都是显然=txtyx?dd ,cm 200=tyx时现要求 ,(1)得求导式两边关于将t ,dd 2ddtxxty=,200 圆板面积的增加率为时故在=x .)(cm/401.0200 2dd秒=ty例6解 8 ,8 米的圆锥形容器内匀速深为米向一个上顶的直径为 5 ,/m 4 .3米时水表面上求当水深分若注水的速度为注水?升的速度 .,米水深为分钟后设注水ht ,米水面的直径也是此时h.12231
10、32hhhV=容器内水的体积为 ,.412 ,4 ,3得求导对此式两边关于故有此外tthtV=.16dd2hth=,5 其表面上升的速度为米时故当水深=h .)(m/204.02516516dd2分=th例7解 ,设一贴靠在铅直的墙上 5 米的梯子的下端以长度为 .m/3的速度离开墙脚滑动秒动的问何时梯子上下两端滑 速度大小相同？yxO m 5txddtydd .引入坐标系如图所示 .(m)(m),yxt上端离墙脚梯子下端离墙脚时设在时刻 ,且有的函数均为显然tyx (1).5 ,)(m/3dd222=+=yxtx秒xy ,我们的问题是注意到速度的方向性 (2).)(m/3dd秒=ty ,5
11、222得求导两边关于对tyx=+,0dd2dd2=+tyytxx .dd dd txyxty=即有 .,3 3 ,)(m/3dd )2(yxyxtx=即得秒式及由.25 ,5 222=+yxyx故而 .,25 小相同梯子上下端滑动速度大时即当=yx ,使的值求yxyxO m 5txddtyddxy下面我们运用函数的导数(微分)来研究函数的有关性质：单调性、凹凸性、极值等，并研究如何作出函数的图形.:理和公式回忆一下几个重要的定.)()()(abfaFbF=式拉格朗日中值定理的公200000)(!2)()()()(xxxfxxxfxfxf+=泰勒公式.)(o()()(!3)()(!2)(3033
12、00200 xxxRxxxfxxxf+由拉格朗日中值定理的推论我们已经知道:,)(则内可导在区间若函数Ixf 0)(xf)(Ixf 0)(xf)(Ixf .)(0)(单调性的分界点的点可以作为函数xfxf=二、函数的单调性观察下面的图形,你能得出什么结论？OxyOxy )(不存在的点也可作为使得函数的导数xf .函数单调性的分界点综上所述,可知:在讨论函数的单调性时，一般先求出函数一阶导数等于零和一阶导数不存在的点,然后按这些点将所讨论的区间分成小区间,在每个小区间内函数只有一种单调性,利用导数符号判断函数是单调增加还是单调减少.提供了判断函数单调性的方法 )(0)()(不存在的点或的导数使得
13、函数xfxfxf=.分界点可以作为函数单调性的.82 的单调性讨论xxy+=),0()0 ,(:+定义域282xy=)4(222=xx得令,0=y,2 ,221=xxxyy)2,(20),2(02),0(2),2(+00例1解xxy82 ,+=函数综上所述 )(2,)2,(；内单调增加在+.)2 ,0(,)0 ,2(内单调减少在 列表可使问题明朗化 .),(sin 内有且仅有一个实根在证明：方程+=xx,),(sin)(+=xxxxf令 ,01cos)(,),()(=+xxfCxf则,0)(,)(2 =xfZkkx时且仅当.)(仅在孤立点处为零即xf),(sin)(+=xxxf从而.)(,轴最
14、多有一个交点与曲线就是说xxfy=例2证 ,)(sinlim)(lim =+xxxfxx而 ,)(sinlim)(lim+=xxxfxx.)(,轴至少有一个交点与曲线由连续性xxfy=,)(,轴有且仅有一个交点与曲线综上所述xxfy=.),(sin 内有且仅有一个实根在即方程+=xx满足条件：设)(xf;0)0(,),0()()1(=+fCxf,)(,),0()()2(),0(+xfxf且内可导在.)()(:),0(+=xxfxg证明 ,)()()(2xxfxxfxg=由于.),0(0)()(+xxfxfx下一步你打算怎么办?这个式子有点像？例3证 故关键在于证明.式形式拉格朗日中值定理的公
15、,0 )(,),0(上满足在由已知条件可知xtfx+)0)()0()(=xffxf得由 ,0)0(=f,)(0 ,)()(xxfxf=,)(),0(+xf又,)()(,xxfxf从而,0)()()(2=xxfxxfxg于是.)(,),0(+xgx得的任意性故由 故有，拉格朗日中值定理条件.)3(是单调减少的数列证明：=nnxnn,),3 ,)(1+=xxxfx令21ln1)(xxxxfx=,3 时当 x,0)(xf,)(),3+xf故 .)3(,:nxn由此可得利用函数处理数列例4证三、函 数 的 极 值函数的极值是个局部性的概念.)()()U(00的大小与内比较在xfxfx我们已经知道的与函
16、数极值有关的定理和公式:费马定理 可微函数取极值的必要条件函数的单调性判别定理和方法泰勒公式 可利用高阶导数定理 .0)()(00=xfxxf处取极值的必要条件是在点可微函数 .实质上就是费马定理费 马Pierre de Fermat(16011665)费马，法国数学家.出身于一个商人家庭.他的祖父、父亲、叔父都从商.他的父亲是当地的第二执政官,经办着一个生意兴隆的皮革商店.费马毕业于法国奥尔良大学，以律师为职.曾任图卢兹议会会员,享有长袍贵族特权.精通 6 种语言.业余爱好数学并在数论、几何、概率论、微积分等领域内作出了创造性的工作.,1637写下了著名的算术时年费马研究丢番图的 :费马大定理.,)2(zyxnzyxnnn的正整数不存在满足=+费马大定理被称为“会下金蛋的母鸡”.)(0)(0的驻点的点称为函数使xfxf=.,疑点驻点只是函数的极值可由费马定理可知 .极值函数在驻点处不一定取,0 ,0=yx处在点 ,3xy=例如 .0不是极值此时但=xyyxO3xy=0=x .点也是极值可疑点使得函数导数不存在的 ),(|,+=xxy例如,0 处不可导在点=x .0 恰好是它的极小点但
