1、高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学大 学 数 学（一）第三十二讲 一元微积分的应用(五)脚本编写：刘楚中教案制作：刘楚中 平面曲线的曲率湖南大学高等数学第六章 一元微积分的应用本章学习要求：熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解相关变化率和最大、最小值的应用问题。知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念，并能计算平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。熟练掌握“微分元素法”，能熟练运用定积分表达和计算一
2、些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。能利用定积分定义式计算一些极限。第六章 一元微积分的应用第 七 节 平面曲线的曲率一、曲率的概念二、曲率的计算公式三、参数方程下曲率的计算公式四、曲率圆、曲率中心我们已经讨论过曲线的凹凸性,知道如判定曲线的弯曲程度.而在许多实际问题中何判断曲线的弯曲方向,但是还不能描述和都必须考虑曲线的弯曲程度,例如,道路的弯道设计,梁的弯曲程度,曲线形的切削工具的设计等等.你认为应该如何描述曲线的弯曲程度?OxyMM)(xfy=.)(1Cxfy=设 沿曲线运动到点点M相应地切线转时
3、,M),(称为转角过角度 .称弧的改变量为 s.,具有方向性与其中s单位弧长上的转角.的平均曲率为MM一、曲率的概念 s=ksskkssddlimlim00=.)(处的曲率在点称为曲线Mxfy=.极限的方法又是平均值+例例1 1解求半径为R 的圆上任意一点处的曲率.MM如图所示,在圆上任取一点M,则R|MMs=R故=ss0lim即圆上点的曲率处处相同：Rk1=半径越小的圆,弯曲得越厉害.RRs1lim0=O设曲线方程为,)(xfy=,)(二阶可导xf则在曲线上点),(yxM处的曲率为)1(232yyk+=二、曲率的计算公式OxyMM)(xfy=证如图所示,曲线在处切线的斜率为点 Mtan=y故
4、y=arctanxyyxdd11dd2+=21yy+=又xysd1 d2+=从而)1(dd232yysk+=xyyd 1d2+=例例2 2解.上任意一点处的曲率求直线bxay+=,0 ,=yay0)1(232=+=yyk.)(Rx直线上任意一点处的曲率均为零.俗话说,直线不弯曲.例例3 3解,)0(sin ,cos 上椭圆=babyax哪一点曲率最大,哪一点曲率最小.利用参数方程求导法求出:dd dd22xyxy和,sinddax=,cosddby=,cosdd22ax=,sindd22by=cotsincosddababxy=)cos(cotdd)(22=aabxy32sin1ab=+=)1
5、(232yyk23)cossin(2222baab+故,0)cossin(cossin)(3dd 23222222=+=babaabk令得驻点,23 ,2 ,0=,ba 因为故在各象限中的符号依次为 ddk+由此可得:取最大值时当k ,0 =2maxbak=取最小值时当k ,23 ,2 =2minabk=23)()(|)()()()(|22yxxyxyk+=则二阶可导若 ,)(,)(,)()(yxyyxx=,)()(ddxyxy=322)()()()()(ddxxyxyxy =将它们代入曲率计算公式中即可得：三、参数方程下曲率的计算公式例例4 4解.0)(0,4 2处的曲率在点求抛物线xy=,
6、2 xy=如果用会出现导数的分母为零的情形,的图形与但 4 4 22yxxy=相同,对称,故原问题可以转为求曲线的与而 4 4 22xyyx=图形关于在 42xy=.)0 ,0(处的曲率点xy=,0)41(020=xxxy,21)21(00=xxxy在 42xy=处的曲率为点)0 ,0(21)1(2321=+=yyk处的曲率为在点故 0)(0,4 2xy=.21=k在有些实际问题中,1|y若.|yk 则可取现在问你一下:(假设单位是统一的)如果告诉你一条曲线在点M 处的曲率为,51你能想象出它的弯曲程度吗？如果告诉你有一个半径为5 的圆,你能想象出该圆上任何一点处的弯曲程度吗？由此及前面讲的例
7、题1,你有什么想法？MOMO.5 ,51=Rk M在点曲率圆曲率半径曲率中心处可用一个相应的圆来描述曲线的弯曲程度曲率曲率半径1=),()(yxMxfy上一点过光滑曲线=作其法线,在法线指向曲线凹向的一侧上取一点Q,使RMQ=|),(2)1(123yxMyyk+=以 Q 为中心,R 为半径所作的圆称为曲线在点M 处的曲率圆,圆心 Q 称为曲率中心,R 称为曲率半径.)(处的曲率为曲线在点 Mk三、曲率圆、曲率中心曲率圆与曲线在点M 处相切,且在点M 处两者曲率相同.曲率圆与曲线在点M 处具有相同的一、二阶导数.当讨论曲线在点M 处与一、二阶导数有关的局部性质时,可以通过讨论其相应的曲率圆的局部
8、性质来实现.曲率圆的性质 )(,)(存在且设曲线方程为xfxfy=,0)(0 xf则曲线在点的坐标为中心),(D处的曲率),(00yxM,)1(20yyyx+=,120yyy+=.Mxfyyy处的导数在点是与式中 )(=曲率中心的坐标证处的在点设曲线),()(00yxMxfy=,),(,DR曲率中心为曲率半径为则曲线在点 ),(00处的曲率圆方程为yxM222)()(Ryx=+.),(,是曲率圆上的点点其中yx23222)1(1yykR+=由于,),(00在曲率圆上又点yxM故有=+2020)()(yx232)1(yy+,处的法线上位于曲线在点又MDM其斜率为=00 xyk法曲线在点M 处切线
9、的斜率为,y从而,有=00yxy(1)(2)由(1),(2)两式消去得 ,0 x22220)1()(yyy+=由于曲率圆总是位于曲线凹向的一侧,所以,是反号的与 yy故对上式两边开方得yyy+=201由(2)式,得yyyx+=)1(20画画图更清楚例例5 5解处的在点求抛物线)1 ,1(2xy=曲率半径、曲率中心和曲率圆方程.,2211=xxxy,21=xy处的曲率半径为在点 1)(1,)1(232yyR+=21252)21(232=+=,1 ,100=yx曲率中心为yyyx+=)1(2042)21(212=+=yyy+=2012722112=+=曲率圆的方程为.)27 ,4(D曲率中心：41
10、25)27()4(22=+yx高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学大 学 数 学（一）第三十三讲 一元微积分的应用(六)脚本编写：刘楚中教案制作：刘楚中 微积分在物理中的应用第六章 一元微积分的应用本章学习要求：熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解相关变化率和最大、最小值的应用问题。知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念，并能计算平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。熟练掌握“微分元素法”，能熟练运
11、用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。能利用定积分定义式计算一些极限。第六章 一元微积分的应用第 八 节 微积分在物理学中的应用一、变力沿直线作功二、液体的静压力三、连续函数的平均值一、变力沿直线作功.,:)(的变化而变化值大小随轴正向其方向沿设变力xxxf ,)(轴正向运动到点处沿从点推动物体变力xaxxf=:)(所作的功为处点babx=xxx+Oxy)(xfab .0 ,(xbax ,可视物体在区间很小时当 x ,)(其值为作功按常力xf ,处的值以变力在点上xxxx+.)(xxfW
12、=.d)(d :,xxfW=微分元素为变力沿直线作功问题的于是 ,性由于功对区间具有可加 :的功为 .,:bax积分区间 .d)(d :xxfW=微分元素 .d)(d :=babaxxfWW功的计算OxyabW)(xfy=W )(沿直线移动物体所做故变力xf 变力作功的几何表示例1解 ,)(1 ,)(20.0 充满了压强的气缸内长为直径为mm ,.)/(108.9 25若保持温度不变的某种气体为mN .)(5.0 使气体压缩所作的功求推动活塞前进mxOx5.01?.建立坐标系如图所示 .)1.0(2=S活塞的面积为 ,)Boyle(定律根据波义耳 ,VP与体积气体的压强恒温下 :的乘积为常数)
13、(.为常数kkPV=.)1(:,SxVx=压缩后气体的体积为处时当活塞移动到xO5108.91 ,所以 )(VkxP=)1(SxK=,)1.0()1(2=xk 为处作用在活塞上的压力从而在 x .1 )(xkSPxF=2)1.0(=SxOx5.01?xx+,0 视压上在取xxxx+,)(则在该小区间上压缩气不变力xF 体作的功为 .)(xxFW ,108.9)0(,0 ,5故气体的压强时当由已知条件=Px .9800)1.0(108.9 250=xPVk :,所作的功为所求的使气体体积压缩于是=5.0 0 5.0 0 d1 9800 d)(xxxxFW )1ln(98005.0 0 x=).(
14、1013.22ln98004焦耳=1 dd)(d :xxkxxFW=微分元素 9800=k例2解 ,)(10 了水的半球形的水池内装满半径为m .所作的功求将池内的水全部抽干Oxy10 x),(yxPxx+.建立坐标系如图所示 ,平面上的截面为一半圆球在 yx 其方程为 .10222=+yx ,0 ,10,0 则微分元素为xx)d(d2xxyW=.d)10(22xx=).g/(1000 3mk水的比重 体积 位移 比重 ,薄片的上在xxx+d ,2为为底面积体积用以xy .高的圆柱体的体积代替 ,所作的功为将水池中的水全部抽干从而 d)10(d10 0 2210 0 =xxxWW )4150(
15、10 0 42xx=2500=.)(1078543mkg二、液体的静压力 :回顾有关的知识 .,)1 (总是垂直于物体的表面液体对物体的压力 :,)2(液体的压强为处在液面下深h ).(是液体的比重hP=,)3(各个方向上产生的处液体在其内部任意一点.压强相同 .,)4(受力面积压强压力常数时在压强=P例3解Oyx2 mm 2m 3x .,尺寸如图所示挡水有一等腰梯形闸门直立某水渠中 .,闸门所承受的压力求当水面齐渠道顶端时 .建立坐标系如图所示 ,0 ,2 ,0 则有xx15.1122=yx2x2x15.11yxy ).23 (21 xy=即有 ：故图中阴影部分面积为 d2dxySS=.d)
16、23(xx=.2 ,0 x积分区间：SxPd)(d :=微分元素 .d)23(xxx=).(4700d)23(:2 0 kgxxxP=计算压力三、连续函数的平均值 个数值的平均值为的离散变量nu .21nuuuun+=,)(如何计算上连续取值在区间如果函数baxf?,)(上的平均值在区间函数baxf .),()(baRxf设 ),2 ,1(,:,1nixxnbaii=个小区间等分为将区间 .nab每个小区间的长度均为 )(1 ,11可作为函数则的中点为区间取=niiiiifnxx .,)(上的平均值的近似值在区间baxf 端点也可 ,)(上的平均值定义为在我们将函数baxf .)(1lim1=+=niinfny?吗这里能与积分联系起来 :)(1lim 1变形将表达式=+=niinfny )(1lim1=+=niinnabfaby )(1lim1=+=niiinxfab ,1的长度iixx nabxi=.d)(1 =baxxfab ,)(),()(上的平均值为在则baxfbaRxf .d)(abxxfyba=),()(则若baCxf .d)(abxxfyba=:性质可知由闭区间上连续函数
