1、概率论与数理统计概率论与数理统计 第五章第五章 大数定理与中心极限定理大数定理与中心极限定理 第一节第一节 大数定律大数定律 弱大数定律弱大数定律(辛钦大数定律辛钦大数定律)依概率收敛定义及性质依概率收敛定义及性质 贝努利大数定律贝努利大数定律 设随机变量序列设随机变量序列X1,X2,相互独立，相互独立，服从同一分布，具有数学期服从同一分布，具有数学期E(Xi)=,i=1,2,，则对于任意正数则对于任意正数，有，有 定理定理1（辛钦大数定律）（辛钦大数定律）1|1|lim1 niinXnP辛钦辛钦 一、弱大数定理一、弱大数定理（辛钦大数定律）（辛钦大数定律）例例 在一个罐子中在一个罐子中,装有
2、装有10个编号为个编号为0-9的同样的的同样的球，从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并球，从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码记下号码.否则次取到号码第001kXk 设设，k=1,2,问对序列问对序列Xk能否应用大数定律？能否应用大数定律？nkknXnP11|1.01|lim 即即对对任意的任意的0,解解:10,0.10.9kXk=1,2,E(Xk)=0.1,诸诸Xk 独立同分布，且期望存在，故能使用大独立同分布，且期望存在，故能使用大数定律数定律.二、二、依概率收敛定义及性质依概率收敛定义及性质 定义定义，有，有若对于任意正数若对于任意正数一个常数一个常数是是是一个随机变量序
3、列，是一个随机变量序列，设设.,21aYYYn.,21aYaYYYPnn记为记为依概率收敛于依概率收敛于则称序列则称序列性质性质).,(),(),(),(,bagYXgbayxgbYaXPnnPnPn连续，则连续，则点点在在又设函数又设函数，设设lim 1nnP Ya定理定理1的另一种叙述的另一种叙述:PX11niiXXn依概率收敛于依概率收敛于 。即。即 设随机变量序列设随机变量序列X1,X2,相互独立，服从同相互独立，服从同 一分布，具有数学期一分布，具有数学期E(Xi)=,i=1,2,，则序列则序列 设设 nA 是是n次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件A发发 生的次数，生的次数，p
4、是事件是事件A在每次试验中发生在每次试验中发生 的概率，则对于任意正数的概率，则对于任意正数 0，有，有 定理定理2（伯努里大数定律）（伯努里大数定律）1|lim pnnPAn或或 伯努利伯努利 0|lim pnnPAn证明证明 nAAXXXnpnbn 21),(由此可表示为由此可表示为因为因为),1()()(.10ppXDpXEpkk ，因而因而分布分布）以为参数的（以为参数的（从以从以其中相互独立，且都服其中相互独立，且都服即得即得由定理由定理11|)(1|lim21 pXXXnPnn|lim pnnPAn 证毕证毕 注注 贝努里大数定律表明，当重复试验次数贝努里大数定律表明，当重复试验次
5、数n充分充分大时，事件大时，事件A发生的频率发生的频率nA/n与事件与事件A的概率的概率p有较有较大偏差的概率很小大偏差的概率很小.(频率的稳定性频率的稳定性)0|lim pnnPAn或或.替事件的概率替事件的概率事件发生的频率可以代事件发生的频率可以代概率论与数理统计概率论与数理统计 第二节第二节 中心极限定理中心极限定理 中心极限定理中心极限定理 例题例题 课堂练习课堂练习 中心极限定理的客观背景中心极限定理的客观背景 在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机因素的综合（或和因素的综合（或和)影响所形成的影响所形成的.例如：炮弹射击的例如：炮弹射击的
6、 落点与目标的偏差，落点与目标的偏差，就受着许多随机因就受着许多随机因 素（如瞄准，空气素（如瞄准，空气 阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的.每个随机因每个随机因素的对弹着点（随机变量和）所起的作用都是很小素的对弹着点（随机变量和）所起的作用都是很小的的.那么弹着点服从怎样分布哪那么弹着点服从怎样分布哪？如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合影响中所起的作用不大影响中所起的作用不大.则这种随机变量一般都服则这种随机变量一般都服从或近
7、似服从正态分布从或近似服从正态分布.自从高斯指出测量误差服从正态自从高斯指出测量误差服从正态 分布之后，人们发现，正态分布在分布之后，人们发现，正态分布在 自然界中极为常见自然界中极为常见.现在我们就来研究独立随机变量之和所特有现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题的规律性问题.高斯高斯 当当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？由于无穷个随机变量之和可能趋于由于无穷个随机变量之和可能趋于，故我们，故我们不研究不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量机变量.在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正
8、态分在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做布这一类定理都叫做中心极限定理中心极限定理.一、中心极限定理一、中心极限定理 定理定理1（独立同分布下的中心极限定理）（独立同分布下的中心极限定理）注注 3、虽然在一般情况下，我们很难求出、虽然在一般情况下，我们很难求出 的分的分布的确切形式，但当布的确切形式，但当n很大时，可以求出近似分布很大时，可以求出近似分布.定理定理2（李雅普诺夫（李雅普诺夫(Liapounov)定理定理)请注意请注意:定理定理3(棣莫佛拉普拉斯（棣莫佛拉普拉斯（De Laplace定理）定理）设随机变量设随机变量 (n=1,2,)(n=1,2,)服从参数服
9、从参数n,p(0p1)的二项分布，则对任意的二项分布，则对任意x，有，有 证证 定理表明定理表明，当，当n很大，很大，0p1920).设第设第i只元件的寿命为只元件的寿命为Xi,i=1,2,16 例例1解答：解答：E(Y)=1600,D(Y)=160000 由中心极限定理由中心极限定理,近似近似N(0,1)P(Y1920)=1-P(Y 1920)=1-(0.8)1-=1-0.7881=0.2119（1)解：设应取球解：设应取球n次，次，0出现频率为出现频率为 由中心极限定理由中心极限定理 例例2解答：解答：欲使欲使 即即 查表得查表得 从中解得从中解得 即至少应取球即至少应取球3458次才次才能使“能使“0”出现的频率在出现的频率在0.09-0.11之间的概率至之间的概率至少是少是0.95.（2）解：在）解：在100次抽取中次抽取中,数码“数码“0”出现次数为出现次数为 由中心极限定理由中心极限定理,即即 其中其中E(Xk)=0.1,D(Xk)=0.09 即在即在100次抽取中，数码“次抽取中，数码“0”出现次数在出现次数在7和和13之间之间 的概率为的概率为0.6826.=0.6826
