1、第62讲 多元函数的概念问题的引入起伏的山峦飞行的火箭第62讲 多元函数的概念主要内容点集的基本知识多元函数的定义二元函数的几何表示第62讲 多元函数的概念点集的基本知识?一维空间的邻域数轴上以?为心 为半径的开区间（区间邻域）第62讲 多元函数的概念点集的基本知识（圆邻域）(?二维空间的邻域平面上以?为心 为半径的开圆盘第62讲 多元函数的概念点集的基本知识（球邻域）(?|?三维空间的邻域空间上以?为心 为半径的开球第62讲 多元函数的概念点集的基本知识定义1设?是空间?中的一点，是一个正常数，称空间?中的点集?为点?的一个 邻域.点?称为该邻域的中心，称为半径说明：若不需要强调邻域半径,则
2、分别记为?，?点?的去心 邻域：?第62讲 多元函数的概念点集的基本知识分别对应于区间邻域、圆邻域和球邻域其他的距离及其的邻域?，?例如，在二维空间可定义距离维空间邻域?其中?所表示的几何图形是什么？?第62讲 多元函数的概念点集的基本知识与集合有关的点的概念(1)若存在点 的某邻域,则称为 的内点；(2)若存在点 的某邻域,则称 为 的外点;(3)若点 的任一邻域中既含 的点也含不是 的点,则称为 的边界点.思考：的边界点属于 吗？可能属于，也可能不属于.第62讲 多元函数的概念点集的基本知识D开集：如果点集 的点都是 的内点，则称 为开集；闭集：如果点集 的余集是开集，则称 为闭集；连通集
3、：如果点集 内任何两点，都可以用 中的折线连结起来，则称 为连通集；重要的平面点集第62讲 多元函数的概念点集的基本知识开区域：连通的开集称为开区域或区域；闭区域：开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域；有界集：对于平面点集,如果存在某一正数，使得，其中 为原点，则称 为有界集重要的平面点集?第62讲 多元函数的概念点集的基本知识xyo21xyoxyoxyo21（）11xy例1下述点集中哪些是开区域，哪些是闭区域，哪些不是区域?（）（）?（）（）?开区域闭区域是开集，但非区域第62讲 多元函数的概念点集的基本知识?111111111有界闭集有界闭区域有界区域第62讲 多元函数的概念多元函
4、数定义 圆柱体的体积 定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式?(为常数，?)特点:一个变量存在与其它多个变量的依赖关系!（Claperon公式）第62讲 多元函数的概念多元函数定义若记?，元函数则可记为向量形式定义2设非空点集?，映射称为定义在 上的 元函数，记作?称?为自变量，为因变量，为定义域.思考：多元函数与一元函数有何不同之处？一元函数：多元函数：fnRR 第62讲 多元函数的概念多元函数定义多元函数还可视为多输入单输出的“系统”输入xOyD(,)x y输出?O二元函数第62讲 多元函数的概念多元函数定义例2写出下列函数的定义域：(1)?；(2)；(3)?；(4)?.?1111第62
5、讲 多元函数的概念二元函数的几何表示二元函数在几何上表示三维空间中的一张曲面 .第62讲 多元函数的概念二元函数的几何表示?4第62讲 多元函数的概念二元函数的几何表示截痕法：用平面?截曲面所得截痕曲线方程为它在平面上的投影曲线为等值线：?第62讲 多元函数的概念二元函数的几何表示?等值线图曲面图第62讲 多元函数的概念二元函数的几何表示第63讲 多元函数的极限与连续问题的引入?极限?的几何解释自变量只有两种变化方式第63讲 多元函数的极限与连续问题的引入蚂蚁觅食第63讲 多元函数的极限与连续主要内容多元函数极限多元函数的连续性闭区域上连续函数的性质第63讲 多元函数的极限与连续多元函数极限一
6、元函数的极限多元函数的极限一元函数的连续多元函数的连续多元函数极限的描述性定义设 元函数在点?的某去心邻域内有定义，如果当自变量 无限趋于?时，函数的值无限接近于某个常数，那么，称当?时，以 为极限，记作?第63讲 多元函数的极限与连续多元函数极限定义1设元函数在点?的某去心邻域内有定义，为常数，如果对于任意给定的正数，存在正数，当?时，恒有，则称函数当?时以 为极限，记作?并称上述极限为 重极限?当?时，恒有恒有第63讲 多元函数的极限与连续多元函数极限当时,二重极限的分量描述形式如下：设二元函数在点?的某去心邻域内有定义，为常数，如果对于任意给定的正数，存在正数，当?时，恒有，则称当?时,
7、以 为极限，记作?,?,?或?第63讲 多元函数的极限与连续多元函数极限例1设?证明：?【例1解】，当?时恒有?因此?第63讲 多元函数的极限与连续多元函数极限OD二元函数的二重极限直观的解释?（）第63讲 多元函数的极限与连续多元函数极限?点以任意路径趋于?时，?,?,?自变量的变化方式二重极限存在性与函数自变量变化的关系第63讲 多元函数的极限与连续多元函数极限说明：若当点以不同路径趋于?时，函数趋于不同值或有的极限不存在，则可以断定二重极限?不存在.?第63讲 多元函数的极限与连续多元函数极限例2证明不存在?曲面图形等值线图形第63讲 多元函数的极限与连续多元函数极限累次极限?和 二重极
8、限、两个二重极限如果它们都存在,则三者相等.仅知其中一个存在，推不出其它二者存在.例如,?函数在点二重极限不存在，但累次极限均存在第63讲 多元函数的极限与连续多元函数连续性定义2设 元函数在点?的某邻域内有定义，如果?则称函数在?处连续当时，二元函数连续的分量描述形式为：设二元函数在点?的某邻域内有定义，如果?,?,?则称在?处连续.第63讲 多元函数的极限与连续多元函数连续性?例3证明函数在点处连续曲面图形等值线图形第63讲 多元函数的极限与连续闭区域上连续函数的性质定理1(有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值.若在有界闭区域
9、 上连续，则必定存在，使得对于一切，有；且存在?，使得?即，第63讲 多元函数的极限与连续闭区域上连续函数的性质定理2(介值定理)在有界闭区域 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值.定理3(一致连续性定理)在有界闭区域 上的多元连续函数必定在 上一致连续.一致连续的定义若在有界闭区域上连续，则任给，总存在正数，对任意两点?，只要?便有?成立.第64讲 偏导数问题的引入弦的振动问题设在 时刻，位置弦离开轴的距离为第64讲 偏导数主要内容二元函数的偏导数偏导数的计算高阶偏导数第64讲 偏导数二元函数偏导数对于二元函数在点?处，令?，则称d?d?为函数在?处关于 的偏导数，记作?，即
10、?d?d?类似定义函数在?处关于 的偏导数为?d?d?第64讲 偏导数二元函数偏导数例1 设?，求?及?【例1解】因为?.又因为?=?.，所以因此，所以因此第64讲 偏导数二元函数偏导数二元函数偏导数的几何意义是曲线?在点0处的切线?对轴的斜率.是曲线?在点0处的切线?对轴的斜率.?d?d?d?d?曲面?曲线?曲线?,?第64讲 偏导数二元函数偏导数定义1 设在点?的某一邻域内有定义，当 固定在?,而 在?处有增量时，相应地函数有关于 的偏增量?如果极限偏导数定义的极限形式?或?.的偏导数，记作?存在，则称此极限为在点?处关于自变量第64讲 偏导数二元函数偏导数类似地，?或?.?为函数在点?处
11、关于自变量 的偏导数，记作当 固定在?,而 在?处有增量时，称极限第64讲 偏导数二元函数偏导数若函数在区域内每一点处对或偏导数存在,则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数,记为即xx+xx()dd,xf x y=视为常数d(,)df x yy=视为常数?,?第64讲 偏导数二元函数偏导数三元函数在点处对的偏导数定义为xxx+xd(,)df x y zx=视为常数第64讲 偏导数二元函数偏导数例2 设求?和?例3 求函数?在点处的偏导数(1)先求后代(2)先代后求(3)利用偏导数的定义，多用于考察分段函数在分段点处的导数.求多元函数在一点的偏导数的方法：第64讲 偏导数偏导数的计算例4 求?的
12、偏导数例5 已知理想气体的状态方程(为常数），证明：说明:此例表明，偏导数记号是一个整体记号,与一元函数的导数记号不同，不能看作分子与分母的商.第64讲 偏导数高阶偏导数二元函数的偏导数仍是的函数，可以再求偏导数.zx22xz=(,);x xfx y=xzxyyxz=2(,);x yfx y=zyx22(,)y yzx yyyzyf=2(,);y xzfx yy x=关于的二阶偏导数关于的二阶偏导数关于的二阶混合偏导数关于的二阶混合偏导数第64讲 偏导数高阶偏导数类似可以定义更高阶的偏导数.例如，关于的三阶偏导数为关于 的阶偏导数,再关于 的一阶偏导数为11nnzyx1nnzxy=求高阶偏导数
13、的方法逐次求导法2323zzxxx=第64讲 偏导数高阶偏导数例6 求函数?的二阶偏导数?【例6解】第64讲 偏导数高阶偏导数定理1 如果函数的两个混合偏导数?和?在点?处连续，则?定理1证明思路：?,?,?,?,?,?,?,?,?记?,?,?,?微分中值定理微分中值定理第64讲 偏导数高阶偏导数【说明】因为初等函数的偏导数仍为初等函数,而初等函数在其定义区域内是连续的，所以求初等函数的二阶混合偏导数可以选择方便的求导顺序.例7 验证函数满足方程(其中 为常数)含有多元函数偏导数的方程称为偏微分方程.波动方程?第64讲 偏导数高阶偏导数正弦波以速度为 向 轴正向传播 行波高等数学（四）习题解析
14、第三讲 偏导数朱健民 教授主要内容回顾二元函数的偏导数函数在?处关于 的偏导数?d?d?主要内容回顾偏导数的几何意义是曲线?在点0处的切线?对轴的倾角.?d?d?曲面?,?,?主要内容回顾高阶偏导数zx22zx(,)xxfx yxzyx2zx y(,)xyfx y关于的二阶偏导数关于的二阶混合偏导数定理1如果函数的两个混合偏导数?和?在点?处连续，则?习题解析判断题：1.曲线?在点处的切线对 轴的倾角为?.（）【解析】，?,?，即，所以?.2.?,?,?.（）【解析】?,?,?,?,?3.?dd?.（）【解析】dd?4.若函数在点?处存在关于 和 的偏导数，则在点?必连续.（）【解析】函数存在
15、偏导数与函数连续没有必然的联系.?在原点偏导数存在但不连续.在原点连续但偏导数不存在.5.设?，则?（）【解析】初等函数在其定义区域内有任意阶连续偏导数.6.设?则?（）【解析】计算得?通过Mathematica计算f x_,y_x yx2y2x2y2;f 0,00fx 0,0Limitf 0 x,0f 0,0 x,x0fy 0,0Limitf 0,0 yf 0,0y,y0fx x_,y_D f x,y,xfy x_,y_D f x,y,yfxy 0,0Limitfx 0,0 yfx 0,0y,y0fyx 0,0Limitfy 0 x,0fy 0,0 x,x0定义函数计算在原点的一阶偏导数计算
16、一阶偏导函数计算在原点的二阶混合偏导数?7.设二元函数在点?存在偏导数?，则函数必在?的某邻域内有定义.()【解析】偏导数定义?8.设函数在平面上满足?，则函数与变量 无关.（）【解析】微分中值定理?,?9.设函数在开集 内满足?，则函数在开集 内恒为常数.（）【解析】?设?和?分别为第一和第三象限（不含坐标轴上的点），定义函数?,结论：若函数在区域 内满足?，则函数在区域 内恒为常数.习题解析选择题1.设函数在点?处存在关于 和 的一阶偏导数，则极限?,?,?的值为().（A）?（B）?（C）?（D）?C【解析】?,?,?,?,?,?,?2.设二元函数在点?处存在所有二阶偏导数，则它在该点处二阶偏导数的个数为（）.（A）1（B）2（C）3（D）4【解析】00000000(,),(,),(,),(,)xxxyyxyyfxyfxyfxyfxyD(,)f x y00(,)xy(,)f x y00(,)xy二元函数在点处存在偏导数是二元函数在点处连续的（）.3.二元函数在点?处存在偏导数是二元函数在点?处连续的（）.（A）必要条件（B）充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分条件也非必要条件
