1、角动量定理角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律 一一、力矩力矩 角动量角动量 角动量定理角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律 角动量（对一定点的）角动量（对一定点的）prL 角动量方向角动量方向 角动量大小角动量大小 系统的总角动量系统的总角动量 sinsinrmvrpL iiiiiprLL)(m o rvLm rv 0 LrpvmLr sinmvrL 2mrmvrvmr sinmvrL mvdd X Y Z O vmrLkmvdL或：或：质点作圆周运动质点作圆周运动 质点作直线运动质点作直线运动 L例例 一质量为一质量为m的质点沿着一条空间曲线运动，该曲的质点沿着一条空间曲线运动，该
2、曲线在直角坐标下的矢径为：线在直角坐标下的矢径为：j tbi tar sincos 其中其中a、b、皆为常数，求该质点对原点的角动量。皆为常数，求该质点对原点的角动量。j tbi tadtrdv cossin vmrL 解：已知解：已知 ktmabktmab 22sincos kmab j tbi tar sincos 注意注意：sinrFM 2）方向：）方向：Fr的方向的方向 FrM 1）大小）大小 MFo rm d sinrd dF 力矩：力矩：力对某点力对某点O的力矩等于力的作用点的矢的力矩等于力的作用点的矢 径径 与力与力 的矢量积的矢量积.rF（2）力）力 的作用线与矢径的作用线与矢
3、径 共线（即共线（即 ）Fr0 sin有心力有心力：物体所受的力始终指向（或背离）某一物体所受的力始终指向（或背离）某一固定点固定点 力心力心 力矩为零的情况力矩为零的情况:（1）力）力 等于零；等于零；F（3）力）力 的作用点在的作用点在O点点,即即 等于零；等于零；r二二、角动量定理角动量定理 1）角动量定理的微分形式）角动量定理的微分形式 对一个质点：对一个质点：PrL PrdtddtLd dtPdrPdtrd FrPvdtLdM此式称为质点的角动量定理此式称为质点的角动量定理 rgmvmX Y Z O LMMFr对多个质点而言：对多个质点而言：（以两个质点为例）（以两个质点为例）如图设
4、有质点如图设有质点m1、m2 分别受外力分别受外力 1F2F外力矩外力矩 21MM内力内力 21F12F内力矩内力矩 2010MM对质点（对质点（1）：）：dtLdMM1101 对质点（对质点（2）：）：dtLdMM2202 两式相加：两式相加：)(21202101LLdtdMMMM 2F1Fm1 m2 12F21Fd 2r1rX Z Y O 21MMM令：令：质点系所受的合的外力矩质点系所受的合的外力矩 21LLL质点系的总角动量质点系的总角动量 dtLdM 则：则：推广到推广到n个质点的个质点的质点系：质点系：质点系角动量定理：系统角动量对时间的变化率等质点系角动量定理：系统角动量对时间的
5、变化率等于系统所受合外力矩。于系统所受合外力矩。)(2121LLdtdMM 内力矩内力矩 02010 MM)(21202101LLdtdMMMM dtLdM 2）角动量定理的积分形式）角动量定理的积分形式 LddtM 对上式积分：对上式积分：122121LLLddtMLLtt 设：在合外力矩设：在合外力矩M的作用下，的作用下，21tt 时间内时间内 系统的角动量从系统的角动量从 21LL称为力矩的角称为力矩的角 冲量或冲量矩冲量或冲量矩 角动量定理（积分形式）角动量定理（积分形式）作用在质点系的角冲量等于系统角动量的增量作用在质点系的角冲量等于系统角动量的增量。三三、角动量守恒定律角动量守恒定
6、律 若若 0 合外力矩合外力矩M则：则：恒矢量恒矢量 LdtLd0角动量守恒定律角动量守恒定律：若对某一参考点：若对某一参考点,系统系统(质点质点)所所受合外力矩恒为零时，则此质点系受合外力矩恒为零时，则此质点系(质点质点)对该参考对该参考点的角动量将保持不变。点的角动量将保持不变。例例 一质量为一质量为m的质点以速度的质点以速度 从参考点平抛出去，用从参考点平抛出去，用角动量定理求质点所受的重力对参考点的力矩。角动量定理求质点所受的重力对参考点的力矩。0v解：解：jtgivv0 jtgi tvr2120 vmrL )()21(020jgtivmjgti tv ktmgv20 ktmgv212
7、0 ktvgmdtLdM0 )21(20ktmgv LrgmvmX Y Z O M0vO M地地 0vvY X O Z m C 例例 质量为质量为m的小球的小球A，以速度，以速度 沿质量为沿质量为M的，的，半径为半径为R的地球表面水平切向向右飞出（如图）地轴的地球表面水平切向向右飞出（如图）地轴OO与与 平行，小球平行，小球A的轨道与轴的轨道与轴OO相交于相交于 3R的的C 点，不考虑地球的自转与空气阻力，求小球点，不考虑地球的自转与空气阻力，求小球A在在C点点 的的 与与 之间的夹角之间的夹角。v0v0v0v解：以解：以M，m 为研究对象。为研究对象。系统只受万有引力（保守力）故机械系统只受
8、万有引力（保守力）故机械 能守恒。因引力是有心力，则角动量守恒。能守恒。因引力是有心力，则角动量守恒。以无穷远为势能零点，则：以无穷远为势能零点，则：已知：已知：,0vRmM求：求：0r1r)3(3420RGMvv)2(100vmrvmr)1(32121220RmMGmvRmMGmv由（由（1 1）式：）式：)4(sin30iRmviRmv由（由（2 2）式：）式：Rr 0Rr31O M地地 0vvY X O Z m 0r1rC)3(3420RGMvv)4(sin30iRmviRmvRGMvvvv/1293sin2000RGMvv/129arcsin200O M地地 0vvY X O Z m
9、0r1rC 运动描述具有相对性运动描述具有相对性 车上的人观察车上的人观察 地面上的人观察地面上的人观察 1-7 相对运动相对运动 力学相对性原理力学相对性原理 一、相对运动一、相对运动 y y S S o o x x p psrspr ssr ssv 位置的相对性位置的相对性 sssppsrrr zzyytuxx dtrddtrddtrdssspps sssppsvvv 伽利略位矢变换伽利略位矢变换式式 速度的相对性速度的相对性 tt A,B,C三个质点相互间有相对运动三个质点相互间有相对运动 BAABvv BCABACvvv 加速度的相对性加速度的相对性 BCABACaaa zzyyxxv
10、vvvuvv zzyyxxaaaaaa ttzzyytuxx 两个相互做两个相互做匀速直线运动匀速直线运动的坐标系的的坐标系的 伽利略位矢变换伽利略位矢变换式式 1.河水自西向东流动，速度为河水自西向东流动，速度为10 km/h,一轮船在水一轮船在水中航行，船相对于河水的航向为北偏西中航行，船相对于河水的航向为北偏西30o,航速为航速为20km/h。此时风向为正西，风速为此时风向为正西，风速为10km/h。试求试求在船上观在船上观测测到的到的风的速度风的速度。解：设水用解：设水用S S；风用风用F F；船用船用C C；岸用岸用D D 已知：已知：20 10 10 cs fd sd v v v
11、正东正东 正西正西 北偏西北偏西3030o o vcs vfd vsd sdcscdvvv cdfcfdvvv cdfdfcvvv hkmvvvvcsfcsdfd/20 方向为南偏西方向为南偏西3030o o。vcs vfd vsd vcd vfc vfd vsd vcd 方向正北hkmvcd/310 2.一男孩乘坐一铁路平板车，在平直铁路上匀加速一男孩乘坐一铁路平板车，在平直铁路上匀加速行驶，其加速度为行驶，其加速度为a，他沿车前进的斜上方抛出一球，他沿车前进的斜上方抛出一球，设抛球时对车的加速度的影响可以忽略，如果使他设抛球时对车的加速度的影响可以忽略，如果使他不必移动他在车中的位置就能接
12、住球，则抛出的方不必移动他在车中的位置就能接住球，则抛出的方向与竖直方向的夹角应为多大？向与竖直方向的夹角应为多大？a v0 解：抛出后车的位移：解：抛出后车的位移：20121attvx 球的位移：球的位移：20221)cos(gttvy )sin(002tvvx 小孩接住球的条件为：小孩接住球的条件为：x1=x2;y=0 )(sin2102tvat 两式相比得：两式相比得：tgga tvgt)(cos21 02 gatg1 练习练习:有人以有人以 的速率向东奔跑的速率向东奔跑,他感到风从北他感到风从北方吹来方吹来,当他奔跑的速率加倍时当他奔跑的速率加倍时,则感到风从东北方向则感到风从东北方向
13、吹来吹来,求风的速度求风的速度.13 ms 人地人地风人风人风地风地 风地风地 人地人地 风人风人 人地人地风人风人风地风地 人地人地风人风人 2 045人地人地 风人风人 045风向为西北风风向为西北风 045cos人地人地风地风地 )(23.421 sm人地人地 练习练习:河水流速为河水流速为 ,河面宽河面宽D=1km,一渡船相对一渡船相对于水的速度于水的速度 ,如果船的航向与上游成如果船的航向与上游成 角角.求求(1)船到达对岸所需时间船到达对岸所需时间,到达对岸时位于正对岸到达对岸时位于正对岸的下游何处的下游何处?(2)如果要使船到达对岸的时间最短如果要使船到达对岸的时间最短,船船头应
14、与河岸成多大角度头应与河岸成多大角度?最短时间最短时间 (3)如果如果要使船相对于正对岸航行的距离最短要使船相对于正对岸航行的距离最短,船头应与河岸船头应与河岸成多大角度成多大角度?距离最短距离最短 13 ms 12 msu030?min t?min s u(1)设船相对于岸的速度为设船相对于岸的速度为 由速度合成得由速度合成得:u cosu cos coscosu 33 sinsinu 1 o B coscosu 33 sinsinu 1 u cosu cos o B A D AB两点的距离两点的距离:sin DOBt)(1000 sD 船到达船到达B点所需时间点所需时间:sincosDDc
15、tgS )(1268)33(mD 由由 sin DOBt sinuD 时时,航时最短航时最短.2 知知 故船头应与岸垂直时故船头应与岸垂直时,航时最短航时最短.)(500minsuDt (2)如果要使船到达对岸的时间最短如果要使船到达对岸的时间最短,船头应与河岸成船头应与河岸成 多大角度多大角度?最短时间最短时间?min t(3)如果要使船相对于正对岸航行的距离最短如果要使船相对于正对岸航行的距离最短,船头船头应与河岸成多大角度应与河岸成多大角度?距离最短距离最短?min s u cosu cos o B A D 设设 则则 lOB sinDl sin D sincos222uuuD 0 dd
16、l欲使欲使 最短最短,应满足极值条件应满足极值条件 l01coscos222 uu01cos613cos2 即即32cos 02.48 故船头与岸成故船头与岸成 ,则航距最短则航距最短.02.48 coscosu 33 sinsinu 1 sincos222uuuDl u cosu cos o B A D 32cos kmuuuDl5.1sincos222min AB两点最短距离两点最短距离:kmDls12.122minmin 二、力学的相对性原理二、力学的相对性原理 同一质点的加速度在两个相互间作匀速直同一质点的加速度在两个相互间作匀速直线运动的参照系中是相同的线运动的参照系中是相同的 牛顿第二定律在牛顿第二定律在S系和系和S系的数学表达式系的数学表达式 aFmaFm 表明表明牛顿第二定律在一切惯性系中具有牛顿第二定律在一切惯性系中具有相同的数学形式相同的数学形式 FF ABACaa 则则如果如果,0 BCa在牛顿力学中在牛顿力学中,力与参考系无关，质量与运动无关力与参考系无关，质量与运动无关 对于力学规律来说，一切惯性系都是等价的。对于力学规律来说，一切惯性系都是等价的。力学的相对
