1、 麦克斯韦麦克斯韦 麦克斯韦分子速率分布率麦克斯韦分子速率分布率 平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的，这个规律叫的，这个规律叫麦克斯韦速度分布律麦克斯韦速度分布律。若不考虑。若不考虑分子速度的方向，则叫分子速度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律。温度和压强都涉及到分子的平均动能，即有温度和压强都涉及到分子的平均动能，即有必要研究一下分子速率的规律。这个规律早在必要研究一下分子速率的规律。这个规律早在1859年由麦克斯韦应用统计概念从理论上推导出年由麦克斯韦应用统计概念从理论上推导出耒，尔后被实验证实。耒，尔后被实验证实。麦克斯韦分子速率
2、分布率麦克斯韦分子速率分布率 一、分子速率分布的实验测定一、分子速率分布的实验测定 测定分子速率分布的实验装置测定分子速率分布的实验装置 ABSP P G 分子源分子源真空室真空室狭缝狭缝圆筒圆筒子子射到上面的各种速率分射到上面的各种速率分可沉积可沉积弯曲玻璃板弯曲玻璃板,G 圆筒不转，分子束的圆筒不转，分子束的分子都射在分子都射在P处处 圆筒转动，分子束的速率不同的分子将射在不同位置圆筒转动，分子束的速率不同的分子将射在不同位置 下面列出了下面列出了Ag分子在某温度时不同速率的分子分子在某温度时不同速率的分子 数占总分子的百分比。数占总分子的百分比。)/(smvNN/90以下以下 6.2 9
3、0-140 140-190 190-240 240-290 290-340 340-390 390以上以上 10.32 18.93 22.7 18.3 12.8 6.2 4.0 实验数据的图示化实验数据的图示化 6.2%12.8%6.2%4.0%00vNN 0 90 140 190 240 290 340 390 v vOvNN vOvNN NdvdN)v(f vOvpv面积大小代表速率面积大小代表速率v附附近近dv区间内的分子数区间内的分子数占总分子数的比率占总分子数的比率 NdNdvNdvdN 速率速率分布函数分布函数 速率分布曲线速率分布曲线 f(v)f(vp)v vp v v+dv v
4、1 v2 dN N 面积面积=出现在出现在vv+dv区间内的概率区间内的概率 dvvfNNvv 21)(分子出现在分子出现在v1v2区间内区间内的概率的概率 1)(0 dvvf曲线下的总面积曲线下的总面积恒等于恒等于1 总分子数总分子数-N体积元内分子数体积元内分子数-dN分子出现在此体积元里的概率为分子出现在此体积元里的概率为-NdN归一化条件归一化条件 麦克斯韦麦克斯韦速度速度分布律分布律 xvzvyvxvzvyvxdvzdvydvov分子的速度分量限制在分子的速度分量限制在 ,xxxdvvv zzzdvvv,yyydvvv 内的分子数占总分子数的百分比内的分子数占总分子数的百分比 二、麦
5、克斯韦分布律及三种统计速率二、麦克斯韦分布律及三种统计速率 zyxvvvkTmdvdvdvekTmdwvFNdNzyx)(223222)2()(麦克斯韦麦克斯韦速度速度分布律分布律 )(223222)2()(zyxvvvkTmekTmvF 麦克斯韦麦克斯韦速度速度分布函数分布函数 dvvdw24 dvvekTmNdNkTmv22232)2(4 麦克斯韦麦克斯韦速率分布律速率分布律 22232)2(4)(vekTmvfkTmv 麦克斯韦麦克斯韦速率速率分布函数分布函数 xvzvyvovdvdvvdw24 zyxvvvkTmdvdvdvekTmdwvFNdNzyx)(223222)2()(麦克斯韦
6、麦克斯韦速度速度分布律分布律 23 222()4()2mvkTmf vevkTdvve)kTm(dv)v(fNdNkTmv2223224 一个分子处于一个分子处于vv+dv区间内的概率区间内的概率 NdvdNvf)(单位速率间隔内的概率单位速率间隔内的概率 几率密度几率密度)(vf麦克斯韦麦克斯韦速率速率分布函数分布函数 1、最概然速率、最概然速率 pv与分布函数与分布函数f(v)的极大值相对应的速率的极大值相对应的速率 极值条件极值条件 0)(pvvdvvdf221.41pkTRTRTvmMM2、平均速率、平均速率 v大量分子速率的统计平均值大量分子速率的统计平均值 NNvvii 分子速率的
7、三个统计值分子速率的三个统计值 23 222()4()2mvkTmf vevkT 对于连续分布对于连续分布 0)(dvvvfNdNvNvdNv881.60kTRTRTvmMM3、方均根速率、方均根速率 2v大量分子速率的平方平均值的平方根大量分子速率的平方平均值的平方根 02022)(dvvfvNdNvvmkTv32 2331.73kTRTRTvmMM pvv2v都与都与 成正比，成正比，与与 （或（或 ）成反比）成反比 TMmf(v)v pvv2v22pkTRTvmM88kTRTvmM233kTRTvmM 1、温度与分子速率、温度与分子速率 温度越高，分布曲线中的最概然温度越高，分布曲线中的
8、最概然速率速率vp增大，但归一化条件要求曲增大，但归一化条件要求曲线下总面积不变，因此分布曲线线下总面积不变，因此分布曲线宽度增大，高度降低。宽度增大，高度降低。麦克斯韦分布曲线的性质麦克斯韦分布曲线的性质 f(v)f(vp3)v vp f(vp1)f(vp2)T1 T3 T2 321TTT 22pkTRTvmM 1273K 273K 73K f(v)500 1000 1500 v O2 氧气分子分布函数和温度的关系氧气分子分布函数和温度的关系 2、质量与分子速率、质量与分子速率 分子质量越大，分布曲线中的最分子质量越大，分布曲线中的最可几速率可几速率vp越小，但归一化条件要越小，但归一化条件
9、要求曲线下总面积不变，因此分布求曲线下总面积不变，因此分布曲线宽度减小，高度升高。曲线宽度减小，高度升高。f(v)f(vp3)v vp f(vp1)f(vp2)M1 123MMMM2 M3 相同相同TO22pkTRTvmM 分布在速率分布在速率 v 附近附近 v v+dv 速速率区间内的分子数占总分子数的比率。率区间内的分子数占总分子数的比率。分布在速率分布在速率v附近附近v v+dv速率速率区间内的分子数。区间内的分子数。单位体积内分子速率分布在速率单位体积内分子速率分布在速率 v附近附近v v+dv速率区间内的分子数。速率区间内的分子数。1.()f v dv2.()Nf v dv3.()n
10、f v dvNdvdNvf)(N dNdNVNVdNNdN )()(2121)(.4vNvNvvNdNdvvf 分布在有限速率区间分布在有限速率区间v1 v2 内的分子数占总分子数的比率。内的分子数占总分子数的比率。)()(2121)(.5vNvNvvdNdvvNf 分布在有限速率区间分布在有限速率区间 v1 v2内的分子数。内的分子数。1)(.60 dvvf 分布在分布在 0 速率区间内的分速率区间内的分子数占总分子数的比率。（子数占总分子数的比率。（归一化归一化条件）条件）202)(.7vdvvfv v2 的平均值。的平均值。NdvdNvf)(例：例：设想有设想有N个气体分子，其速率分布函
11、数为个气体分子，其速率分布函数为 00000vvvvvvAvvf)()(试求试求:(1)常数常数A；(2)最概然速率，平均速率和方均根速率；最概然速率，平均速率和方均根速率；(3)速率介于速率介于0v0/3之间的分子数；之间的分子数；(4)速率介于速率介于0v0/3之间之间的气体分子的平均速率。的气体分子的平均速率。)(vfov0v解：解：(1)气体分子的分布曲线如图气体分子的分布曲线如图 由归一化条件由归一化条件 10 dvvf)(1630000 vAdvvvAvv)(306vA (2)最概然速率由最概然速率由 0 pvdvvdf)(决定，即决定，即 020 ppvvvvAdvvdf)()(
12、20vvp 平均速率平均速率 2600023000vdvvvvvdvvvfvv )()(方均速率方均速率 200033002210360vdvvvvvdvvfvvv )()(方均根速率为方均根速率为 02103vv (3)速率速率介于介于0v0/3之间的分子数之间的分子数 2776300303000NdvvvvvNdvvNfdNNvv )()(4)速率速率介于介于0v0/3之间的气体分子平均速率为之间的气体分子平均速率为 143277603002303030300000vNdvvvvvNdNvdNvvvvv )(讨论：讨论：速率速率介于介于v1v2之间的气体分子的平均速率之间的气体分子的平均速
13、率的计算的计算 212121vvvvvvdvvfdvvvfv)()(2121vvvvdvvvfv)(对于对于v的某个函数的某个函数g(v)，一般地，其平均值可以表示为，一般地，其平均值可以表示为 00dvvfdvvfvgvg)()()()(4-4 玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律 若气体分子处于恒定的若气体分子处于恒定的外力场（如重力场）中外力场（如重力场）中 气体分子在空间位气体分子在空间位置不再呈均匀分布置不再呈均匀分布?气体分子分布规律如何气体分子分布规律如何 一一、玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律 如气体分子处于外力场中，分子能量如气体分子处于外力场中，分子能量 E=Ep+Ek 分子势能分子势
14、能 在麦克斯韦速度分布律中，在麦克斯韦速度分布律中，kTmve22 因子因子 kTEke 分子动能分子动能 理想气体分子理想气体分子仅有动能仅有动能 麦克斯韦速度分布可以看作是无外场中分子数麦克斯韦速度分布可以看作是无外场中分子数按能量的分布按能量的分布 zyxvvvkTmdvdvdvekTmNdNzyx)(223222)2(玻耳兹曼将麦氏分布推广为：玻耳兹曼将麦氏分布推广为：在温度为在温度为T的平衡态下，任何系统的微观粒子的平衡态下，任何系统的微观粒子（经典粒子）按能量分布都与（经典粒子）按能量分布都与 成正比。成正比。kTEe kTEe 玻耳兹曼因子玻耳兹曼因子 经典粒子按能量的分布函数为
15、：经典粒子按能量的分布函数为：kTECeEf )(麦克斯韦麦克斯韦玻耳兹曼分布玻耳兹曼分布（MB分布）分布）外力场中，粒子分布不仅按速率区间外力场中，粒子分布不仅按速率区间vv+dv分布，分布，还应按位置区间还应按位置区间xx+dx、yy+dy、zz+dz分布分布 该区间内的粒子数为：该区间内的粒子数为：dxdydzdvdvdvCedNzyxkTE 玻耳兹曼玻耳兹曼分布律分布律 能量越低的粒子出现的概率越大，能量越低的粒子出现的概率越大，随着能量升高，粒子出现的概率按指数率减小。随着能量升高，粒子出现的概率按指数率减小。对速度区间积分可得分布在位置区间的分子数为：对速度区间积分可得分布在位置区
16、间的分子数为：zyxkTvvvmkTEdvdvdvedxdydzCeNdzyxp 2)(222+dxdydzeCNdkTEp 则分子数密度则分子数密度 kTEpeCdxdydzNdn kTEpenn 0粒子数按势能分布粒子数按势能分布 0,0nCEp 时时为势能等于零处的分子数密度为势能等于零处的分子数密度 zyxkTvvvmkTEdvdvdvedxdydzCeNdzyxp 2)(222+按近代理论，粒子所具有的能量在有些情况下只按近代理论，粒子所具有的能量在有些情况下只能取一系列分立值能取一系列分立值E1,E2,Ei,EN 能级能级 kTEiieAN 处于处于Ei状态状态的粒子数的粒子数 常数常数 对于两个任意能级对于两个任意能级 kTEEeNN)(2121 2121,NNEE 则则如果如果在正常状态下，粒子总是优先占据低能级状态。在正常状态下，粒子总是优先占据低能级状态。粒子数分布服从玻尔兹曼分布粒子数分布服从玻尔兹曼分布 二、重力场中粒子按高度的分布二、重力场中粒子按高度的分布 kTEpenn 0mghEp kTmghenn 0由气体状态方程由气体状态方程 pnkT00,pn k
