1、 第第12章章 气体分子运动论气体分子运动论 (Kinetic theory of gases)复旦大学 1 平衡态平衡态,理想气体状态方程理想气体状态方程,热力学第零定律热力学第零定律 2 物质的微观模型及统计规律物质的微观模型及统计规律 3 理想气体的压强公式理想气体的压强公式 4 理想气体分子的平均平动动能与温度的关系理想气体分子的平均平动动能与温度的关系 5 能量均分定理能量均分定理，理想气体的内能理想气体的内能 6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律 7 分子的平均碰撞频率和平均自由程分子的平均碰撞频率和平均自由程 8 实际气体的范德瓦耳斯方程实际气体的范德瓦耳斯方
2、程 复旦大学 宏观法与微观法相辅相成。宏观法与微观法相辅相成。热学（热学（Heat）热学热学是研究与热现象有关的规律的科学。是研究与热现象有关的规律的科学。热现象热现象是物质中大量分子无规则运动的集体表现。是物质中大量分子无规则运动的集体表现。大量分子的无规则运动称为大量分子的无规则运动称为热运动热运动。1.1.热学的研究方法：热学的研究方法：宏观法宏观法 最基本的实验规律最基本的实验规律逻辑推理逻辑推理(运用数学运用数学)称为称为热力学。热力学。优点：可靠、普遍。优点：可靠、普遍。缺点：未揭示微观本质缺点：未揭示微观本质 微观法微观法 物质的微观结构物质的微观结构 +统计方法统计方法 称为统
3、计称为统计 其初级理论称为气体分子运动论其初级理论称为气体分子运动论(气体动理论气体动理论)优点：揭示了热现象的微观本质。优点：揭示了热现象的微观本质。缺点：可靠性、普遍性差。缺点：可靠性、普遍性差。复旦大学 2.两种研究方法涉及的物理量：两种研究方法涉及的物理量：宏观量宏观量 从整体上描述系统的状态量，一般可以直接测量。从整体上描述系统的状态量，一般可以直接测量。如如 M、V、E 等等可以累加，称为广延量。可以累加，称为广延量。P、T 等等不可累加，称为强度量。不可累加，称为强度量。微观量微观量 描述系统内微观粒子的物理量。描述系统内微观粒子的物理量。如分子的质量如分子的质量m、直径直径 d
4、、速度速度v、动量动量 p、能量能量 等等。宏观量与微观量有一定的内在联系宏观量与微观量有一定的内在联系 例如，气体的压强是大量分子撞击器壁的平均效果，例如，气体的压强是大量分子撞击器壁的平均效果，它与大量分子对器壁的冲力的平均值有关。它与大量分子对器壁的冲力的平均值有关。复旦大学 3 3 分子热运动和统计规律分子热运动和统计规律 分子热运动：分子热运动：大量分子做永不停息的无规则运动大量分子做永不停息的无规则运动.基本特征：基本特征：(1)(1)无序性无序性 某个分子的运动，是杂乱无章的，无序的；各个分子之某个分子的运动，是杂乱无章的，无序的；各个分子之间的运动也不相同，即无序性；这正是热运
5、动与机械运动的间的运动也不相同，即无序性；这正是热运动与机械运动的本质区别。本质区别。(2)(2)统计性统计性 但从大量分子的整体的角度看，存在一定的统计规律，但从大量分子的整体的角度看，存在一定的统计规律，即统计性。即统计性。分子热运动具有无序性与统计性，与机械运动有本质的分子热运动具有无序性与统计性，与机械运动有本质的区别，故不能简单应用力学定律来解决分子热运动问题。必区别，故不能简单应用力学定律来解决分子热运动问题。必须兼顾两种特征，应用统计力学方法。须兼顾两种特征，应用统计力学方法。复旦大学 定义定义:某一事件某一事件i 发生的概率为发生的概率为 wi Ni 事件事件 i 发生的次数发
6、生的次数 N 各种事件发生的总次数各种事件发生的总次数 统计规律有以下几个特点统计规律有以下几个特点:(1)(1)只对大量偶然的事件才有意义只对大量偶然的事件才有意义.(2)(2)它是不同于个体规律的整体规律它是不同于个体规律的整体规律(量变到质变量变到质变).).表演实验：伽耳顿板表演实验：伽耳顿板-P190P190 例例.扔硬币扔硬币 什么是统计规律性什么是统计规律性 大量偶然事件从整体上反映出来的一种规律性。大量偶然事件从整体上反映出来的一种规律性。NNwiNilim复旦大学 在描写大量分子状态时往往使用在描写大量分子状态时往往使用统计平均值统计平均值。我们描述的是大量分子的运动。一摩尔
7、气体就有我们描述的是大量分子的运动。一摩尔气体就有6.022 1023个分子。一个个地说明其速度、位置等既无个分子。一个个地说明其速度、位置等既无 必要又无可能，必要又无可能，因而实际上常用它们的平均值。因而实际上常用它们的平均值。怎样求平均值呢？以求分子速率的平均值为例：怎样求平均值呢？以求分子速率的平均值为例：设有一个系统有设有一个系统有N个分子且：个分子且：具有速率具有速率 v1 分子数为分子数为 n1,出现出现 v1 值的概率为值的概率为 n1/N；具有速率具有速率 v2 分子数为分子数为 n2,出现出现 v2 值的概率为值的概率为 n2/N；具有速率具有速率 vi 分子数为分子数为
8、ni,出现出现 vi 值的概率为值的概率为 ni/N；具有速率具有速率 vm分子数为分子数为 nm,出现出现 vm 值的概率为值的概率为 nm/N。故平均值故平均值:NnnnnNmmiiivvvvvv2211_复旦大学 mmiiwwwwvvvv2211miiiw1v如果速率看作连续分布如果速率看作连续分布,设取设取v 值的概率为值的概率为dw，则：，则：wd_vv事实上对任一随机量事实上对任一随机量 x 的平均值可表示为的平均值可表示为 wxxddw为出现为出现 x 值的几率值的几率 这种利用几率的办法求得的平这种利用几率的办法求得的平均值称为统计平均值均值称为统计平均值.NnnnnNmmii
9、ivvvvvv2211_复旦大学 微观模型微观模型与统计方法与统计方法 理想气体分子的微观假设理想气体分子的微观假设-P191 2 2 理想气体压强和温度的统计意义理想气体压强和温度的统计意义 1.1.理想气体微观模型理想气体微观模型 (1)(1)气体分子当作质点，不占体气体分子当作质点，不占体积，体现气态的特性。积，体现气态的特性。(2)(2)气体分子的运动遵从牛顿力气体分子的运动遵从牛顿力学的规律；学的规律；(3)(3)分子之间除碰撞的瞬间外，分子之间除碰撞的瞬间外，无相互作用力无相互作用力，碰撞为弹性碰，碰撞为弹性碰撞；一般情况下，忽略重力。撞；一般情况下，忽略重力。气体分子之间的距离气
10、体分子之间的距离 08rr 引力可认为是引力可认为是零零,看做理想气体。看做理想气体。范德瓦耳斯力范德瓦耳斯力 无相互作用的弹性质点！无相互作用的弹性质点！复旦大学 2.2.对大量分子组成的气体系统的对大量分子组成的气体系统的统计假设统计假设：分子的速度各不相同，而且通过碰撞不断变化着；分子的速度各不相同，而且通过碰撞不断变化着；(2)(2)分子沿任一方向的运动不比其它方向的运动占有优势分子沿任一方向的运动不比其它方向的运动占有优势,即分子速度在各方向上的分量的各种平均值相等即分子速度在各方向上的分量的各种平均值相等 0zyxvvv32222vvvvzyxiiiixixnnvviiiixxnn
11、22vv鉴于气体在平衡状态中，分子的空间分布到处均匀的事实，鉴于气体在平衡状态中，分子的空间分布到处均匀的事实，作如下假设：作如下假设：(1)(1)容器中任一位置处单位体积内的分子数不比其它位置容器中任一位置处单位体积内的分子数不比其它位置占有优势占有优势 复旦大学 设在体积为设在体积为V的容器中储有的容器中储有N个质量为个质量为m的分子组成的理的分子组成的理想气体。平衡态下，若忽略重力影响，则分子在容器中按位想气体。平衡态下，若忽略重力影响，则分子在容器中按位置的分布是均匀的。分子数密度为置的分布是均匀的。分子数密度为 n=N/V.AtIPddddI为大量分子在为大量分子在dt 时间内施加在
12、器壁时间内施加在器壁dA面上的面上的平均冲量平均冲量。3.3.压强公式的简单推导压强公式的简单推导 从微观上看，气体的压强等于大量分子在单位时间内从微观上看，气体的压强等于大量分子在单位时间内施加在单位面积器壁上的平均冲量。有施加在单位面积器壁上的平均冲量。有 为讨论方便，将为讨论方便，将分子按速度分组分子按速度分组，第，第i 组分子的速度为组分子的速度为vi（严格说在（严格说在vi 附近）分子数为附近）分子数为Ni,分子数密度为分子数密度为 ni=Ni/V,并有并有 n=n1+n2+ni+.=ni 复旦大学 x dA vixdt iv平衡态下，器壁各处压强相等，平衡态下，器壁各处压强相等，取
13、直角坐标系，在垂直于取直角坐标系，在垂直于x轴的器轴的器壁上任取一小面积壁上任取一小面积dA,计算其所受计算其所受的压强（如右图）的压强（如右图）单个分子在对单个分子在对dA的一次碰撞中的一次碰撞中施于施于dA的冲量为的冲量为2mvix.dt 时间内，碰到时间内，碰到dA面的第面的第i组分子施于组分子施于dA的冲量为的冲量为 2mni vix2dtdA 关键在于：关键在于：在全部速度为在全部速度为vi的分子中，在的分子中，在dt时间内，能与时间内，能与dA相碰的只是那些位于以相碰的只是那些位于以dA为底，以为底，以 vixdt 为高，以为高，以 vi为为轴线的圆柱体内的分子。分子数为轴线的圆柱
14、体内的分子。分子数为 nivixdtdA。复旦大学 dt 时间内，与时间内，与dA相碰撞的所有分子施与相碰撞的所有分子施与dA的冲量为的冲量为 AtmnIixiixidd2d2)0(vviixiiixiAtmnAtmnIdddd221d22vv注意：注意：vix0 0 的分子数的分子数 等于等于 vix0 0 的分子数。的分子数。iixinmtAIP2dddvnniixix22vv定义：2xmnPv则：x dA vixdt iv复旦大学 平衡态下，分子速度按方向的分布是均匀的，有平衡态下，分子速度按方向的分布是均匀的，有 222zyxvvv22222222zyxzyxvvvvvvvv22223
15、1vvvvzyx所以所以 194312PmnPv或者或者 nmnP32)21(322v221vm显示宏观量与微观量的关系。是力学原理与统计方法显示宏观量与微观量的关系。是力学原理与统计方法 相结合得出的统计规律。相结合得出的统计规律。2xmnPv压强的微观意义：压强是大量分子碰撞器壁的压强的微观意义：压强是大量分子碰撞器壁的 平均作用力平均作用力 (单位面积上单位面积上)的的统计平均值统计平均值。分子的平均平动动能分子的平均平动动能 复旦大学 温度的微观意义温度的微观意义 比较比较 P=nkT 和和 ，有，有 nP32理想气体状态方程的分子形式理想气体状态方程的分子形式 由：由：PV=RT 若
16、分子总数若分子总数N，则有，则有 PV=NRT/NA 定义玻尔兹曼常数定义玻尔兹曼常数:k=R/NA=1.38 10-23J K-1 则则 PV=NkT 或或 P=nkT kT234 4 理想气体的温度公式理想气体的温度公式 :分子的平均平动动能分子的平均平动动能 是分子无规则运动激烈程度的定量表示是分子无规则运动激烈程度的定量表示.温度温度T 标志着物体内部分子无规则运动的激烈程度标志着物体内部分子无规则运动的激烈程度-P195.P195.复旦大学 方均根速率方均根速率 2vkTm23212vmkT/32vRTmkT332v在同一温度下，质量大的分子其方均根速率小。在同一温度下，质量大的分子其方均根速率小。5.5.方均根速率方均根速率 (气体分子速率气体分子速率平方平方的的平均值平均值的的平方根平方根)-P195P195 平均平动动能只与温度有关平均平动动能只与温度有关 kT23 温度是统计概念，只能用于大量分子，温度标志温度是统计概念，只能用于大量分子，温度标志物体内部分子无规则运动的剧烈程度。物体内部分子无规则运动的剧烈程度。复旦大学 1.1.一定质量的气体一定质量的气体,当温度
