1、 薛定谔方程 单色平面简谐波波动方程 1、波函数 描述微观粒子的运动状态的概率波的数学式子 区别于经典波动 一、波函数 概率密度 自由粒子的物质波波函数 2、概率密度 波函数的统计铨释（波恩Born）代表什么？看电子的单缝衍射：1）大量电子的一次性行为：U 极大值 极小值 中间值 较多电子到达 较少电子到达 介于二者之间 波强度大，大 小 波强度小，波强介于二者之间 粒子的观点 波动的观点 统一地看：粒子出现的几率正比于 2）一个粒子多次重复性行为 较长时间以后 极大值 极小值 中间值 较多电子到达 较少电子到达 介于二者之间 波强度大，大 小 波强度小，波强介于二者之间 粒子的观点 波动的观
2、点 U 统一地看：粒子出现的几率正比于 则波函数模的平方表征了t 时刻，在空间(x,y,z)处出现粒子的概率密度 结论：某时刻空间某体元dv中出现粒子的几率 正比于该地点波函数模的平方和体积元 体积：通常比例系数取1:物质波与经典波的本质区别 经典波的波函数是实数，具有物理意义，可测量。可测量，具有物理意义 1)物质波是复函数，本身无具体的物理意义，一般是不可测量的。2)物质波是概率波。等价 对于经典波 3、波函数的标准化条件与归一化条件 1）波函数具有有限性 在空间是有限函数 2）波函数是连续的 3）波函数是单值的 粒子在空间出现的几率只可能是一个值 4）满足归一化条件（归一化条件）因为粒子
3、在全空间出现是必然事件（Narmulisation）波函数的标准条件：单值、有限和连续 微观粒子遵循的是统计规律，而不是经典的 决定性规律。牛顿说：只要给出了初始条件，下一时刻粒 子的轨迹是已知的，决定性的。量子力学说：波函数不给出粒子在什么时刻一定到达某点，只给出到达各点的统计分布；即只知道|2大的地方粒子出现的可能性大，|2小的地方几率小。一个粒子下一时刻出现在什么地方，走什么路径是不知道的（非决定性的）解：利用归一化条件 例：求波函数归一化常数和概率密度。M.玻恩 对量子力学的基础研究，特别是量子力学中波函数的统计解释 1954诺贝尔物理学奖 W.海森堡 创立量子力学，并导致氢的同素异形
4、的发现 1932诺贝尔物理学奖 这就是一维自由粒子（含时间）薛定谔方程 对于非相对论粒子 一维自由粒子的波函数 1、薛定谔方程 二、薛定谔方程 在外力场中粒子的总能量为：一维薛定谔方程 三维薛定谔方程 拉普拉斯算符 哈密顿量算符 薛定谔方程 如势能函数不是时间的函数 代入薛定谔方程得：用分离变量法将波函数写为：只是空间坐标的函数 只是时间的函数 2、定态薛定谔方程 粒子在空间出现的几率密度 几率密度与时间无关，波函数描述的是定态 定态薛定谔方程 粒子在一维势场中 E.薛定谔 量子力学的广泛发展 1933诺贝尔物理学奖 质量为m的粒子在外力场中作一维运动 势能函数为：当 x a 时，三、一维无限
5、深势阱 方程的通解为：由边界条件 粒子的能量 一 维 无 限 深 势 阱 中的粒 子 四、一维势垒、隧道效应 一维方势垒是指粒子受到势能为 的作用，称为一维方势垒。III I II 入射波 反射波 III I II 透射波 透射系数 当U0-E=5eV 时，势垒的宽度约50nm 以上时，透射系数会小六个数量级以上。隧道效应在 实际上已经没有意义了。量子概念过渡到经典了。扫描隧道显微镜STM(Scanning tunneling microscopy)原理：电子穿过金属表面的势垒形成隧道电流 隧道电流I与样品和针尖间距离a的关系 样品表面 隧道电流 扫描探针 计算机 放大器 样品 探针 运动控制
6、系统 显示器 扫描隧道显微镜示意图 48个Fe原子形成“量子围栏”，围栏中的电子形成驻波.五、一维谐振子 粒子的势能函数 薛定谔方程 力学量的算符表示 算符的本征值方程 1、算符的本征值和本征函数 2、对应原理 对x求导并整理 所以动量算符 一、力学量的算符表示 动量算符 角动量算符 总能量算符 动能算符 坐标算符 3、力学量算符 1、态的叠加原理 X 2 电子双缝实验：单缝“1”打开，“2”关闭，波函数为1 单缝“2”打开，“1”关闭，波函数为2 双缝都打开，波函数为：“1”“2”U 二、力学量的平均值 双缝实验中：干涉项 注意：双缝衍射出现的粒子几率分布正好与此结果 相同。且只有波函数是复数时，几率密度才 与实际相同。复数已本质地进入量子力学。这不同于用枪打靶时的概率相加。=C1 1+C22 （满足归一化条件）态叠加原理：如果1、2、n都是体系的可能状态，那 么它们的线性叠加也是这个系统一个状态。即：也是体系的一个可能状态。2、力学量测量结果的概率 力学量 在某态 中的测量平均值：3、力学量的平均值 例：在阱宽为a 的无限深势阱中,一个粒子的状态为 多次测量其能量。问 每次可能测到的能量值和相应概率？能量的平均值？解：已知无限深势阱中粒子的 则 多次测量能量(可能测到的值)能量的平均值 概率各1/2 三、算符的对易和不确定关系
