1、 振动与波振动与波 1.理解简谐振动的概念及其三个特征量的意义和决定理解简谐振动的概念及其三个特征量的意义和决定因素，理解相位及相位差的意义因素，理解相位及相位差的意义;2.理解简谐振动的动力学特征和弹性力或准弹性力的理解简谐振动的动力学特征和弹性力或准弹性力的意义意义;3.了解阻力振动和受迫振动的基本特征了解阻力振动和受迫振动的基本特征;4.掌握在同一直线上两个同频率简谐振动的合成掌握在同一直线上两个同频率简谐振动的合成;5.理解机械波产生的条件，它在弹性介质中形成各质理解机械波产生的条件，它在弹性介质中形成各质元的运动和形变情况元的运动和形变情况;6.理解波长、波速、频率的意义和它们之间的
2、关系理解波长、波速、频率的意义和它们之间的关系;7.理解平面简谐波波动方程的意义理解平面简谐波波动方程的意义.复旦大学复旦大学 第一节第一节 线性振动线性振动 振动的定义振动的定义:任何一物理量任何一物理量(位移位移,电流强度电流强度,电场强度电场强度)在某一个定值附近反复变化在某一个定值附近反复变化.一.一.简谐振动简谐振动 1.理想模型：理想模型：弹簧振子弹簧振子 运动方程：运动方程：)cos(0tAx0,A为积分常数为积分常数 O 称为振动的角称为振动的角频率频率.=2=2T 简谐振动的特征量简谐振动的特征量 谐振动周期谐振动周期T 2)()cos()(cos)()(0000tTttAT
3、tAtxTtx2T21T周期周期 频率频率 2.振幅振幅A：|maxxA表示振动的范围（强弱），由初始条件决定。表示振动的范围（强弱），由初始条件决定。由由 在在 t=0 时刻时刻 0000sincosAvAx)sin()cos(00tAvtAx解得解得 22020vxA222vx 由由)cos(0tAx得得)cos(dd)sin(dd02220tAtxatAtxv0*3.相位相位 t+0,初相初相 0 相位是描述振动状态的物理量相位是描述振动状态的物理量(1)与状态参量与状态参量)(0tx，v有一一对应的关系有一一对应的关系 )sin();cos(00tAvtAx例：例：当当 30t时：时：
4、方向运动方向运动向向处以速率处以速率质点在质点在xvAx2,2Ax Av23当当 350t时：时：,2Ax Av23方向运动方向运动向向处以速率处以速率质点在质点在xvAx22.简谐振动的动力学方程简谐振动的动力学方程 1.理想模型：理想模型：弹簧振子弹簧振子 轻弹簧轻弹簧 k+刚体刚体 m (平动平动质点）质点）集中弹性集中弹性 集中惯性集中惯性 回复力回复力和和物体惯性物体惯性交互作用形成谐振动交互作用形成谐振动 F=-kx (平衡位置为坐标原点）平衡位置为坐标原点）22ddtxmFxkF0dd22xmktx令令 2mk得得 0dd222xtx*线性微分方程线性微分方程 求解得运动方程：求
5、解得运动方程：)cos(0tAx0,A为积分常数为积分常数 1.角频率角频率 :mk例例 8.1 有两个完全相同的弹簧有两个完全相同的弹簧a和和b,它们的周期均为它们的周期均为2s.现将它们从平衡位置向右拉开现将它们从平衡位置向右拉开5cm,先放先放a,经过经过0.4s后后,再放再放b,以以b释放的瞬间为记时的起点，求两个振子位移与释放的瞬间为记时的起点，求两个振子位移与时间的关系。时间的关系。解解:a,b两振子的振动两振子的振动 方程为方程为:ya=Aacos(t+a)yb=Abcos(t+b)角频率角频率频率频率:=2 =由初始条件定振幅和由初始条件定振幅和 初相初相.对振子对振子b,t=
6、0时时,有有 yb0=5cm,vb0=0 得得:Ab=5cm,b=0,则则 yb=5 cost 对于振子对于振子a,t=0时它已振动了时它已振动了0.4s.又由于两振子完全又由于两振子完全相同相同,t=0.4s时时b振子位移和速度就是振子位移和速度就是t=0时时a振子的振子的位移和速度位移和速度,则则 ya0=yb(t=0.4)=5cos(0.4)cm va0=vb(t=0.4)=5sin0.4cms 则得则得:Aa=5 cm,a=0.4 ya=5 cos(t+0.4),ab=0.4 代入代入 22020vxA222vx 例例8.2 求单摆的振动周期求单摆的振动周期.解解:单摆单摆-无伸长的轻
7、线下悬挂质点作无阻尼摆动无伸长的轻线下悬挂质点作无阻尼摆动 l m 建立如图自然坐标建立如图自然坐标 受力分析如图受力分析如图 n N mg mlmaF22ddsintmlmg切向运动方程切向运动方程 0sindd22lgt0sindd22lgt令令 lg2得：得：很小时当sin0dd222t角谐振动角谐振动 glT22)cos(mt由初始条件决定运动运动方程：方程：周期：周期：3.简谐振动的能量简谐振动的能量 水平放置的弹簧振子水平放置的弹簧振子 )sin()cos(00tAvtAx以平衡位置为坐标原点以平衡位置为坐标原点)(sin21)(sin212102202222ktkAtmAmvE恒
8、量221kAEEEkp孤立谐振动系统机械能守恒孤立谐振动系统机械能守恒 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振 1、阻尼振动阻尼振动 在振动过程中，机械能（电磁能）要转化为热能（称为摩擦阻尼、电磁阻尼），振动能量还要向外辐射（称为辐射阻尼）。系统振动的振幅随时间变小，最后停止称为阻尼称为阻尼自由振动（减幅振动）。自由振动（减幅振动）。在振动速度v不太大时，以等效阻力 f=v反映机械振动的各种阻尼。称为阻力系数，由振动系统和物体的形状、大小和表面状况决定。振动方程为：md2xdt2=kx(dxdt)(d2xdt2)+2(dxdt)+02x=0 02=km无阻尼时的固有频率；=(2m)称为阻
9、尼系数。1、0，称为欠阻尼运动：x=Aet cos(t+），=（022)12，T=2，Aet 可看为是随时间变化的振幅，它按指数规格衰减。阻尼振动不是简谐振动，也不是严格的周期运动。2、0，称为过阻尼运动：质点以非周期运动缓慢移向 平衡位置。3、=0，称为临界阻尼运动：质点恰好能回到平衡位置，但它的速度已为零。2、受迫振动、受迫振动 共振共振 为了得到等幅振动，振动系统要从外界得到周期性的补充能量，这样的振动称为受迫振动受迫振动。设外力F为：F=Focost，则受迫振动方程为：(d2xdt2)+2(dxdt)+ox2=hcost o2=km,=2m,h=Fom x=Aoet cos(t+o)+
10、Acos(t+),=(o22)12 受迫振动是由两个振动合成：一个是减幅的振动（第一项）；另一个是受迫振动达到稳定状态的等幅振动：x=Acos(t+),A=h(o22)2+422 12 振动A与外力的频率有关，当为某一值时，振幅A达极大值。可求出A达极大值的角频率为：r=(o222)12 相应的最大振幅为：A=h2(o22)12 在弱阻尼：o时，当r=o，外力频率等于振动系统的固有频率时，振幅A达到最大值。这种现象称为共振共振。第二节第二节 振动的合成振动的合成 一.一.一维振动的合成一维振动的合成 旋转矢量法旋转矢量法 写出质点写出质点 m 以角速率以角速率 沿半径沿半径 A 的圆周匀速的圆
11、周匀速运动的参数方程运动的参数方程 思考：思考：x y o m A 0 x、y 方向分运动均为简谐振动方向分运动均为简谐振动)cos(0tAx)sin(0tAy 建立旋转矢量建立旋转矢量 与与谐振动的对应关系谐振动的对应关系 A旋转矢量旋转矢量 简谐振动简谐振动 符号或表达式符号或表达式 A角速度角速度 角频率角频率 模模 振幅振幅 初相初相 0 t=0时，时，与与ox夹角夹角 A相位相位 t+0 t时刻，时刻，与与ox夹角夹角 A上的投影 在 ox A 上的投影 端点速度在 ox A 上的投影 端点加速度在 ox A 位移位移 速度速度 加速度加速度 x=Acos(t+0)v=-Asin(t
12、+0)a=-2Acos(t+0)A 同一直线上谐振动的合成同一直线上谐振动的合成 1A2A1 2 xO 1.同频率同频率)cos(111tAx)cos(222tAxA21AAA )cos(21tAxxx合振动仍为该直线上同合振动仍为该直线上同一频率的谐振动一频率的谐振动 1x2xx)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsinarctgAAAA)cos(212212221AAAAA12k2)12(k21maxAAA21minAAA)2,1,0(kx O 1A2A21AAAx O 1A2A21AAA第三节第三节 平面简谐振波的表达式平面简谐振波的表达式 介质是由大
13、量相互联系的质点所组成介质是由大量相互联系的质点所组成,当某介质振动时当某介质振动时,振动在空间传播振动在空间传播 波动波动 波源波源 介质介质真空真空 振动振动 相位（状态）相位（状态）能量能量 波波源源 自由振动（无能量补充）自由振动（无能量补充）波动不能长期维持波动不能长期维持 受迫振动（有能量补充）受迫振动（有能量补充）波动才能长期维持波动才能长期维持 波源及介质中各质点均作谐振动波源及介质中各质点均作谐振动 简谐振动简谐振动 简谐波简谐波 一一.一维谐振波的描述一维谐振波的描述 横波和纵波横波和纵波:对横波：对横波：直观给出波峰、波谷位置，该时刻波形直观给出波峰、波谷位置，该时刻波形
14、 2x O 纵波纵波:x u x O 密部中心密部中心 疏部中心疏部中心 形变最大形变最大 形变为零形变为零 一一.一维谐振波的描述一维谐振波的描述 波线：波线：由波源出发，沿波传播方向的线，由波源出发，沿波传播方向的线，其上其上任一点切线方向为该点波传播方向。任一点切线方向为该点波传播方向。波面：波面：某时刻介质中同相点的集合。（球面波某时刻介质中同相点的集合。（球面波,柱面波柱面波,平面波平面波 .）波前：波前：传在最前面的波面传在最前面的波面 波面波面 波波线线 波面波面 波波线线 波形曲线波形曲线 描述某时刻，波线上各点位移的分布描述某时刻，波线上各点位移的分布 对横波：对横波：直观给
15、出波峰、波谷位置，该时刻波形直观给出波峰、波谷位置，该时刻波形 2x O 思考：思考：对纵波，波形曲线是不是实际波形？对纵波，波形曲线是不是实际波形？波形曲线如何反映纵波传播过程中介质质点波形曲线如何反映纵波传播过程中介质质点的疏密情况？疏部中心、密部中心各在何处？的疏密情况？疏部中心、密部中心各在何处？x u x O 密部中心密部中心 疏部中心疏部中心 形变最大形变最大 形变为零形变为零 二二.描述波动的基本物理量描述波动的基本物理量 波的特征量波的特征量 波的特征：波的特征：空间时间上的周期性空间时间上的周期性 即介质中各质元振动的周期和频率即介质中各质元振动的周期和频率 由波源振动情况决
16、定由波源振动情况决定 描述波动的时间周期性描述波动的时间周期性 Tf1时间频率时间频率 1)周期周期T、频率、频率f 2.波长同一波线上，相邻的相位差为同一波线上，相邻的相位差为 2的两点间的距离的两点间的距离 描述波的空间周期性描述波的空间周期性 3.u波速波速时间周期性时间周期性 空间周期性空间周期性 在一个周期内，某一个确定的振动状态在一个周期内，某一个确定的振动状态（相位）在空间正好传播一个波长。（相位）在空间正好传播一个波长。振动相位传播的速度：振动相位传播的速度：fTu波速由介质的性质决定波速由介质的性质决定 介质密度介质密度弹性模量弹性模量u固体：固体：MRTuTuGuYu理想气体弦上波横波纵波流体：流体：Bu 纵波波线传播，经波线传播，经A点后再经点后再经13cm传至传至B点。求点。求B点的振动比点的振动比A点落后的时间，周期和波长；及声波在点落后的时间，周期和波长；及声波在A、B两点的相位两点的相位差；又设质点振动的振幅为差；又设质点振动的振幅为1mm,求振动速度是否与传播求振动速度是否与传播速度相等？速度相等？解：波的周期解：波的周期 T1=13000 s 波长波长
