1、数值分析数值分析A A 卷卷 第第 1 1 页页 共共 8 8 页页 华南理工大学华南理工大学期末期末课程课程考试考试 数值分析数值分析试卷试卷 A A 2012018 8 年年 1 1 月月 6 6 日日 注意事项:注意事项:1.1.考前请将密封线内考前请将密封线内各项各项信息信息填写清楚;填写清楚;2.2.所有答案请所有答案请按要求按要求填写填写在试卷上;在试卷上;3.3.课程课程代码:代码:S0003004S0003004 4.4.考试形式:闭卷考试形式:闭卷 5 5.考生类别考生类别:大学本科大学本科 6 6.本试卷共本试卷共八八大题,满分大题,满分 100100 分,考试时间分,考试
2、时间为为 150150 分钟。分钟。一一(12 分)(1)(1)计算 54322396128Pxxxxx 时,为了减少乘除法运算次数,应把它改写成什么形式?(2)(2)设有递推公式 0161,1,2,nnyeyyn 如果取*002.718yey 作近似计算,问计算到10y时误差为初始误差的多少倍?这个计算过程数值稳定吗?_ _ 姓名 学号 学院 专业 任课教师 (密 封 线 内 不 答 题)密封线线 数值分析数值分析A A 卷卷 第第 2 2 页页 共共 8 8 页页 二二(14 分)(1)(1)设函数)(xf在 4 个互异节点 1234,x xxx 上对应的函数值为1234,ffff,满足插
3、值条件()iiL xf(1,2,3,4)i 次数3的 Lagrange 插值多项式为)(xL,试写出插值余项()()()R xf xL x的表达式(不必证明)。(2)(2)试用两种方法求一个次数3的插值多项式)(3xH满足条件:1)1(3H,0)0()0(33 HH,1)1(3H 数值分析数值分析A A 卷卷 第第 3 3 页页 共共 8 8 页页 三三(14 分)(1)(1)设0)(kkxq是区间1,0上带权x而最高次项系数为 1 的正交多项式族,其中1)(0 xq,试求1()q x。(2)(2)设有试验数据如下:x:1 2 3 4 y:4 10 18 26 试求其形如2yabx的拟合曲线。
4、数值分析数值分析A A 卷卷 第第 4 4 页页 共共 8 8 页页 四四(12 分)(1)(1)对于形如0()()nbkkakf x dxA f x的插值型求积公式,指出其代数精度至少有多少次及最多可达多少次(不必证明)。(2)(2)确定下列求积公式的求积系数101,AAA:11011()(1)(0)(1)f x dxA fA fA f 使公式具有尽可能高的代数精度;并问所得公式是不是 Gauss 型公式?数值分析数值分析A A 卷卷 第第 5 5 页页 共共 8 8 页页 五五(10 分)用列主元 Gauss 消去法解方程组(求解过程用增广矩阵表示):20111.031045321321x
5、xx 数值分析数值分析A A 卷卷 第第 6 6 页页 共共 8 8 页页 六六(12 分)对 2 阶线性方程组 11 1122121 12222a xa xba xa xb (02211aa)(1)证明求解此方程组的 Jacobi 迭代与 Gauss-Seidel 迭代同时收敛或同时发散;(2)当同时收敛时,试比较它们的收敛速度。数值分析数值分析A A 卷卷 第第 7 7 页页 共共 8 8 页页 七七(14 分)(1)(1)证明:设方程 f(x)=0 在区间0,1上有惟一实根,如果用二分法求该方程的近似根,要求绝对误差限为 0.001,则至少要二分 9 次(2)(2)试写出求 3(0)a a 的 Newton 迭代公式,并判定该迭代公式的收敛阶。数值分析数值分析A A 卷卷 第第 8 8 页页 共共 8 8 页页 八八(12 分)(1)(1)设函数)(xy是某常微分方程初值问题的解析解,则()ny x称为该初值问题在nx处的数值解,对吗?(回答“对”或“错”)(2)(2)要计算函数20()xty xedt 在 x=0.25,0.5,1 三处的近似值,试设计两种计算方案(只写出计算公式):方案一用数值积分法;方案二用解常微分方程初值问题的数值方法。