1、数值分析数值分析B B 卷卷 第第 1 1 页页 共共 8 8 页页 华南理工大学华南理工大学期末期末课程课程考试考试 数值分析数值分析试卷试卷 B B 2012018 8 年年 1 1 月月 6 6 日日 注意事项:注意事项:1.1.考前请将密封线内考前请将密封线内各项各项信息信息填写清楚;填写清楚;2.2.所有答案请所有答案请按要求按要求填写填写在试卷上;在试卷上;3.3.课程课程代码:代码:S0003004S0003004 4.4.考试形式:闭卷考试形式:闭卷 5 5.考生类别考生类别:大学本科大学本科 6 6.本试卷共本试卷共八八大题,满分大题,满分 100100 分,考试时间分,考试
2、时间为为 150150 分钟。分钟。一一.解答下列问题解答下列问题(12 分):(1)(1)试推导:计算3x时的相对误差约等于x的相对误差的 3 倍。(2)(2)设有递推公式 0161,1,2,nnyeyyn 如果取*002.718yey 作近似计算,问计算到10y时误差为初始误差的多少倍?这个计算过程数值稳定吗?_ _ 姓名 学号 学院 专业 任课教师 (密 封 线 内 不 答 题)密封线线 数值分析数值分析B B 卷卷 第第 2 2 页页 共共 8 8 页页 二二插值问题插值问题(14 分):(1)(1)利用插值方法推导等式:xijijxninijj 0,0。(2)(2)试用两种方法求过三
3、个离散点:A(0,1)、B(1,2)、C(2,3)的插值多项式。数值分析数值分析B B 卷卷 第第 3 3 页页 共共 8 8 页页 三三.拟合问题拟合问题(12 分):(1)(1)对离散实验数据做最小二乘拟合的两个主要步骤是什么?(2)(2)在某试验过程中,变量y依赖于变量x的试验数据如下:x:1 2 3 4 y:0.8 1.5 1.8 2.0 试求其形如2bxaxy的拟合曲线。数值分析数值分析B B 卷卷 第第 4 4 页页 共共 8 8 页页 四四.数值求积数值求积(12 分):(1)(1)4 个节点的 Gauss 型求积公式的代数精度为多少次?(2)(2)试利用 Lagrange 线性
4、插值公式推导出计算定积分的梯形公式:TbfafabdxxfIba)()(2)(,并证明:当,)(2baCxf,且,0)(baxxf 时,成立TI。数值分析数值分析B B 卷卷 第第 5 5 页页 共共 8 8 页页 五五.解解线性线性方程组方程组的的直接法直接法(12 分):(1)(1)与顺序 Gauss 消去法相比,列主元 Gauss 消去法的优点是什么?(2)(2)已知线性代数方程组 Ax=b,其中 A 为 n 阶非奇异矩阵。假设已经求得 A 的三角分解:A=LU(其中 L 为单位下三角阵,U 为上三角阵),即 L 和 U 的元素已经计算出来,试写出求解 Ax=b 的步骤和计算公式,并统计
5、其乘除法的次数。数值分析数值分析B B 卷卷 第第 6 6 页页 共共 8 8 页页 六六.解解线性线性方程组方程组的迭代的迭代法法(12 分):(1)(1)解线性代数方程组 Ax=b 时,Jacobi 迭代和 Gauss-Seidel 迭代对任意的 x(0)收敛的充分必要条件是 A 严格对角占优。对吗?(2)(2)设有对称正定方程组bAx,求证当参数满足 A20 时,下列迭代公式收敛:,1,0),()()()1(kbAxxxkkk 数值分析数值分析B B 卷卷 第第 7 7 页页 共共 8 8 页页 七一元方程求根七一元方程求根(14 分):(1)(1)证明:设方程0)(xf在区间0,1上有惟一实根,如果用二分法求该方程的近似根,要求绝对误差限为 0.001,则至少要二分 9 次 (2)(2)将牛顿迭代法应用于方程30 xa,导出求立方根3a(0a)的迭代公式,并根据收敛阶的判据,确定其收敛阶。数值分析数值分析B B 卷卷 第第 8 8 页页 共共 8 8 页页 八常微分方程初值问题八常微分方程初值问题(12 分):若用 Euler 公式(yn+1=yn+hf(xn,yn))解初值问题(1)试推导出其数值解的表达式:(12)nnyh,并证明它收敛于准确解 2()nxny xe。(2)讨论该数值方法的绝对稳定条件。2(0)1yyy