1、概率论与数理统计概率论与数理统计 第一节第一节 数学期望数学期望 离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望 数学期望的性质数学期望的性质 课堂练习课堂练习 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么的概率分布，那么X的的全部概率特征也就知道了全部概率特征也就知道了.然而，在实际问题中，概率分布一般是较难然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的确定的.而在一些实际应用中，人们并不需要知而在一
2、些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了数字特征就够了.因此，在对随机变量的研究中，确定某些数因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的字特征是重要的.在这些数字特征中，最常用的是在这些数字特征中，最常用的是 数学期望、方差、协方差和相关系数数学期望、方差、协方差和相关系数 一、数学期望的概念一、数学期望的概念 1)(kkkpxXE即即 定义定义1 设设X是离散型随机变量，它的分布率是是离散型随机变量，它的分布率是:PX=xk=pk,k=1,2,若级数若级数 1kkkpx绝对收敛，绝对收敛，则称级数
3、则称级数 1kkkpx)(XE的和为随机变量的和为随机变量X的的数学期望数学期望，记为，记为 ,若级数发散若级数发散 ，则称，则称X的数学期望不存在。的数学期望不存在。1kkkpx定义定义2 设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为f(x)，如，如 果积分果积分 绝对收敛，则称该积分的值绝对收敛，则称该积分的值 为随机变量为随机变量X的数学期望或者均值，记为的数学期望或者均值，记为EX，即，即 dxxxf)(dxxfxXE)()(如果积分如果积分 发散，则称发散，则称X的数学期的数学期 望不存在。望不存在。()x f x dx关于定义的几点说明关于定义的几点说明 (3)随机变
4、量的数学期望与一般变量的算随机变量的数学期望与一般变量的算 术平均值不同术平均值不同.(1)E(X)是一个实数是一个实数,而非变量而非变量,它是一种它是一种加加 权平均权平均,与一般的平均值不同与一般的平均值不同,它从本质上体现它从本质上体现 了随机变量了随机变量 X 取可能值的取可能值的真正的平均值真正的平均值,也称也称 均值均值.(2)级数的绝对收敛性级数的绝对收敛性保证了级数的和不保证了级数的和不 随级数各项次序的改变而改变随级数各项次序的改变而改变,之所以这样要之所以这样要 求是因为数学期望是反映随机变量求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值取可能值 的平均值的平均值,它不应随可能
5、值的排列次序而改变它不应随可能值的排列次序而改变.xO 随机变量随机变量 X 的算术平均值为的算术平均值为,5.1221 假设假设.98.198.0202.01)(XE它从本质上体现了随机变量它从本质上体现了随机变量X 取可能值的平均值取可能值的平均值.当随机变量当随机变量 X 取各个可能值是等概率分布时取各个可能值是等概率分布时,X 的期望值与算术平均值相等的期望值与算术平均值相等.1 2 X21020.980.p为为他们射击的分布律分别他们射击的分布律分别乙两个射手乙两个射手、甲甲,试问哪个射手技术较好试问哪个射手技术较好?思考思考 谁的技术比较好谁的技术比较好?乙射手乙射手 击中环数击中
6、环数概率概率10982.05.03.0甲射手甲射手 击中环数击中环数概率概率10983.01.06.0解解),(3.96.0101.093.08)(1环环 XE),(1.93.0105.092.08)(2环环 XE.,21XX数分别为数分别为设甲、乙射手击中的环设甲、乙射手击中的环故甲射手的技术比较好故甲射手的技术比较好.例例4.1 一批产品中有一、二、三等及废品一批产品中有一、二、三等及废品4种，相种，相 应比例分别为应比例分别为60%，20%，13%，7%，若各等级，若各等级 的产值分别为的产值分别为10元、元、5.8元、元、4元及元及0元，求这批产元，求这批产 品的平均产值。品的平均产值
7、。解解 设一个产品的产值为设一个产品的产值为X元，则元，则X的可能取值的可能取值 分别为分别为0，4，5.8，10；取这些值的相应比例分别为；取这些值的相应比例分别为 7%,13%,20%,60%；则它们可以构成概率分布，；则它们可以构成概率分布，由数学期望的定义求得产品的平均产值为由数学期望的定义求得产品的平均产值为 EX=40.13+5.80.2+100.6=7.68（元）。（元）。到站时刻到站时刻 8:10 8:30 8:50 9:10 9:30 9:50 概率概率 1/6 3/6 2/6 一旅客一旅客8:20到车站到车站,求他候车时间的数学期望求他候车时间的数学期望.例例4.2 按规定
8、按规定,某车站每天某车站每天8:009:00,9:0010:00 都恰有一辆客车到站都恰有一辆客车到站,但到站时刻是随机的但到站时刻是随机的,且两者且两者 到站的时间相互独立。其规律为：到站的时间相互独立。其规律为：其分布率为其分布率为以分计以分计为为解：设旅客的候车时间解：设旅客的候车时间),(X X 10 30 50 70 90 kp63626161636162611370()()()66P XP ABP A P B上表中例如的数学期望为的数学期望为候车时间候车时间到站到站第二班车第二班车为事件为事件到站到站第一班车第一班车为事件为事件其中其中XBA.30:9,10:8分分22.27362
9、90363703615062306310)(XE 例例4.3 其概率密度为其概率密度为服从同一指数分布服从同一指数分布它们的寿命它们的寿命装置装置个相互独立工作的电子个相互独立工作的电子有有,)2,1(,2 kXk0,00,01)(xxexfx若将这两个电子装置串联连接组成整机若将这两个电子装置串联连接组成整机,求整机求整机 寿命寿命(以小时计以小时计)N 的数学期望的数学期望.0001)()2,1(xxexFkXxk 的分布函数为的分布函数为解解 0001)(1 1)(22minxxexFxFx 0002)(2minxxexfNx 的概率密度为的概率密度为于是于是22)()(02min dx
10、exdxxxfNEx12min(,)NX X 的分布函数为的分布函数为:),(,规定规定以年计以年计记使用寿命为记使用寿命为付款的方式付款的方式的销售采用先使用后的销售采用先使用后某商店对某种家用电器某商店对某种家用电器X例例4.4 商店的销售策略商店的销售策略.3000,3;2500,32;2000,21;1500,1元元一台付款一台付款元元一台付款一台付款元元一台付款一台付款元元一台付款一台付款 XXXX.0,0,0,e101)(,10的数学期望的数学期望器收费器收费试求该商店一台家用电试求该商店一台家用电概率密度为概率密度为服从指数分布服从指数分布设寿命设寿命YxxxfXx 解解 xXP
11、xde10111010 1.0e1 ,0952.0 xXPxde101211021 2.01.0ee ,0861.0 xXPxde101321032 ,0779.0ee3.02.0 xXPxde1013103 .7408.0e3.0 的分布律为的分布律为因而一台收费因而一台收费YYkp30002500200015000952.07408.00861.00779.0,15.2732)(YE得得.15.2732元元费费即平均一台家用电器收即平均一台家用电器收例例4.5 求常见分布的随机变量数学期望。求常见分布的随机变量数学期望。二、随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望 1.问题的提出：
12、问题的提出：设已知随机变量设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是的期望，而是X的某个函数的期望，比如说的某个函数的期望，比如说g(X)的期望的期望.那么应该如何计算呢？那么应该如何计算呢？一种方法是，因为一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来的分布求出来.一旦一旦我们知道了我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把的分布，就可以按照期望的定义把Eg(X)计算出来计算出来.那么是否可以不先求那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据的分布而只根据X的
13、的分布求得分布求得Eg(X)呢？呢？下面的定理指出，答案是肯定的下面的定理指出，答案是肯定的.使用这种方法必须先求出随机变量函数使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的的分布，一般是比较复杂的分布，一般是比较复杂的.(1)当当X为离散型时为离散型时,它的分布率为它的分布率为P(X=xk)=pk;绝对收敛，则有绝对收敛，则有若若 1)(),2,1(kkkpxgk(2)当当X为连续型时为连续型时,它的密度函数为它的密度函数为f(x).若若 绝对收敛，则有绝对收敛，则有 dxxfxg)()(dxxfxgXgEYE)()()()(定理定理1 设设Y是随机变量是随机变量X的函数的函数:Y=g(X)(
14、g是连续函数是连续函数)连续型离散型XdxxfxgXpxgXgEYEkkk,)()(,)()()(1 该公式的重要性在于该公式的重要性在于:当我们求当我们求Eg(X)时时,不必不必知道知道g(X)的分布，而只需知道的分布，而只需知道X的分布就可以了的分布就可以了.这给求随机变量函数的期望带来很大方便这给求随机变量函数的期望带来很大方便.dxdyyxfyxgYXgEZE),(),(),()(定理定理2 设设g(X,Y)是随机变量是随机变量X、Y的函数，且的函数，且 Eg(X)存在。存在。(2)如果如果X、Y是连续型随机变量，联合概是连续型随机变量，联合概 率密度为率密度为f(x,y)，则，则 (
15、1)如果如果X、Y是离散型随机变量，联合概率是离散型随机变量，联合概率 分布为分布为pij,i,j=1,2,，则，则 11()(,)(,)ijijjiE ZE g X Yg x ypXp1234.02.04.0解解 的分布律为的分布律为XXY1231 0120.10.10.10.10.10.0030.)(,)(),(),(:2YXEXYEYEXE 求求例例4.6 设设(X,Y)的分布律为的分布律为.03.014.003.01)(YE得得1 0121 21031Yp1 013.04.03.0的分布律为的分布律为Y.24.032.024.01)(XE得得p),(YXXY)1,1(2.0)0,1(1
16、.0)1,1(1.0)1,2(1.0)1,2(1.0)0,3(3.0)1,3(1.0由于由于 p),(YX)1,1(2.0)0,1(1.0)1,1(1.0)1,2(1.0)1,2(1.0)0,3(3.0)1,3(1.02)(YX 41091944.091.002.013.04)(2 YXE得得.5 1.0313.001.0211.0211.011.002.01 XYE于是于是.151?),(,0.0,0,0,e1)()(,.,.,均为已知均为已知产品产品应生产多少件应生产多少件期望最大期望最大问若要获得利润的数学问若要获得利润的数学度为度为服从指数分布其概率密服从指数分布其概率密件件们预测销售量们预测销售量他他再者再者元的损失元的损失而积压一件产品导致而积压一件产品导致元元利利可获可获他们估计出售一件产品他们估计出售一件产品确定该产品的产量确定该产品的产量并试图并试图产品市场产品市场某公司计划开发一种新某公司计划开发一种新nmyyyfYnmyY 例例4.7 解解,件件设生产设生产 x:的函数的函数是是则获利则获利xQ .,),()(xYmxxYYxnmYxQQ若若若若yyQfQEYd)
