1、概率论与数理统计 信息学院 汪家义 二、二、随机现象随机现象 四、四、小结小结 一、一、概率论的诞生及应用概率论的诞生及应用 三、三、随机试验随机试验 第一节第一节 随机试验随机试验 第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念 1654年年,一个名叫一个名叫梅累的骑士就梅累的骑士就“两个赌徒两个赌徒约定赌若干局约定赌若干局,且谁先赢且谁先赢 c 局便算赢家局便算赢家,若在一赌若在一赌徒胜徒胜 a 局局(ac),另一赌徒胜另一赌徒胜b局局(bc)时便终止赌时便终止赌博博,问应如何分赌本问应如何分赌本”为题求教于帕斯卡为题求教于帕斯卡,帕斯卡帕斯卡与费马通信讨论这一问题与费马通信讨论这一问题,
2、于于1654 年共同建立了年共同建立了概率论的第一个基本概念概率论的第一个基本概念 数学期望数学期望.一、概率论的诞生及应用一、概率论的诞生及应用 1.概率论的诞生概率论的诞生 2.概率论的应用概率论的应用 概率论是数学的一个分支概率论是数学的一个分支，它研究随机现象它研究随机现象的数量规律的数量规律，概率论的应用几乎遍及所有的科学概率论的应用几乎遍及所有的科学领域领域，例如天气预报例如天气预报、地震预报地震预报、产品的抽样调产品的抽样调查查，在通讯工程中概率论可用以提高信号的抗干在通讯工程中概率论可用以提高信号的抗干扰性扰性、分辨率等等分辨率等等.在一定条件下必然发生在一定条件下必然发生 的
3、现象称为确定性现象的现象称为确定性现象.“太阳不会从西边升起”太阳不会从西边升起”,1.确定性现象确定性现象 “同性电荷必然互斥”同性电荷必然互斥”,“水从高处流向低处”水从高处流向低处”,实例实例 自然界所观察到的现象自然界所观察到的现象:确定性现象确定性现象 随机现象随机现象 二、随机现象二、随机现象 在一定条件下可能出现也可能不出现在一定条件下可能出现也可能不出现的现象的现象 称为随机现象称为随机现象.实例实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况正反两面出现的情况.2.随机现象随机现象 “函数在间断点处不存在导数”函数在间断点处不存
4、在导数”等等.结果有可能结果有可能出现正面出现正面也可能也可能出现反面出现反面.确定性现象的特征确定性现象的特征 条件完全决定结果条件完全决定结果 结果有可能为结果有可能为:1,2,3,4,5 或或 6.实例实例3 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观观 察出现的点数察出现的点数.实例实例2 用同一门炮向同用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多一目标发射同一种炮弹多 发发,观察弹落点的情况观察弹落点的情况.结果结果:弹落点会各不相同弹落点会各不相同.实例实例4 从一批含有正品从一批含有正品和次品的产品中任意抽取和次品的产品中任意抽取一个产品一个产品.其结果可能为其结果可能为:正品正品 、次品次品.实例
5、实例5 过马路交叉口时过马路交叉口时,可能遇上各种颜色的交通可能遇上各种颜色的交通 指挥灯指挥灯.实例实例6 出生的婴儿可出生的婴儿可 能是能是男男,也可能是也可能是女女.实例实例7 明天的天气可明天的天气可 能是能是晴晴,也可能是也可能是多云多云 或或雨雨.随机现象的特征随机现象的特征 概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科.条件不能完全决定结果条件不能完全决定结果 2.随机现象在一次观察中出现什么结果具有随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然偶然性性,但在大量试验或观察中但在大量试验或观察中,这种结果的出现具有这种结果的出现具有一定的统计一定
6、的统计规律性规律性,概率论就是研究随机现象这概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科种本质规律的一门数学学科.随机现象是通过随机试验来研究的随机现象是通过随机试验来研究的.问题问题 什么是随机试验什么是随机试验?如何来研究随机现象如何来研究随机现象?说明说明 1.随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系系,其数量关系无法用函数加以描述其数量关系无法用函数加以描述.1.可以在相同的条件下重复地进行可以在相同的条件下重复地进行;2.每次试验的可能结果不止一个每次试验的可能结果不止一个,并且能事并且能事 先明确试验的所有可能结果先明确试验的所有可能结
7、果;3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果进行一次试验之前不能确定哪一个结果 会出现会出现.在概率论中在概率论中,把具有以下三个特征的试验称把具有以下三个特征的试验称 为为随机试验随机试验.定义定义 三、随机试验三、随机试验 说明说明 1.随机试验简称为试验随机试验简称为试验,是一个广泛的术语是一个广泛的术语.它包它包括各种各样的科学实验括各种各样的科学实验,也包括对客观事物进行也包括对客观事物进行的的“调查”、“观察”或“调查”、“观察”或“测量”“测量”等等.实例实例 “抛掷一枚硬币“抛掷一枚硬币,观观 察字面察字面,花面出现的情况”花面出现的情况”.分析分析 2.随机试验通常用随机试验通
8、常用 E 来表示来表示.(1)试验可以在试验可以在相同的条件下重复地进行相同的条件下重复地进行;1.抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数.2.从一批产品中从一批产品中,依次任选三件依次任选三件,记记 录出现正品与次品的件数录出现正品与次品的件数.同理可知下列试验都为随机试验同理可知下列试验都为随机试验.(2)试验的所有可能结果试验的所有可能结果:字面字面、花面花面;(3)进行一次进行一次试验之前不能试验之前不能确定哪一个结果会出现确定哪一个结果会出现.故为随机试验故为随机试验.3.记录某公共汽车站记录某公共汽车站 某日上午某时刻的等某日上午某时刻的等 车人数车人数.4.考察某
9、地区考察某地区 10 月月份的平均气温份的平均气温.5.从一批灯泡中任取从一批灯泡中任取一只一只,测试其寿命测试其寿命.四、小结四、小结 随机现象的特征随机现象的特征:1.概率论是研究随机现象规律性的一门数学学科概率论是研究随机现象规律性的一门数学学科.条件不能完全决定结果条件不能完全决定结果.2.随机现象是通过随机试验来研究的随机现象是通过随机试验来研究的.(1)可以在相同的条件下重复地进行可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个每次试验的可能结果不止一个,并且能事并且能事 先明确试验的所有可能结果先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会进行
10、一次试验之前不能确定哪一个结果会 出现出现.随随 机机 试试 验验 一、样本空间 样本点 三、随机事件间的关系及运算 二、随机事件的概念 四、小结 第二节第二节 样本空间、随机事件样本空间、随机事件 样本点e.S 现代集合论为表述随机试验提供了一个方便的工具.一、样本空间 实例1 将一枚硬币抛掷两次,观察正面H、反面T出现的情况:S=(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)第1次 第2次 H H T H H T T T(H,T)：(T,H):(T,T)：(H,H):在每次试验中必有一个样本点出现且仅有一个样本点出现.则样本空间 实例2 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.6,5,4,3,2,1
11、2 S实例3 记录某公共汽车站某日 上午某时刻的等车人数.,2,1,04 S实例4 从一批灯泡中任取 一只,测试其寿命.06 ttS.t的寿命的寿命为灯为灯其中其中泡泡实例5 记录某城市120 急 救电话台一昼夜接 到的呼唤次数.,2,1,07 S 2.同一试验,若试验目的不同,则对应的样 本空 间也不同.例如 对于同一试验:“将一枚硬币抛掷三次”.若观察正面 H、反面 T 出现的情况,则样本空间为 若观察出现正面的次数,则样本空间为.3,2,1,0 S.,TTTTHTTTHHTTTHHHTHHHTHHHS 说明 1.试验不同,对应的样本空间也不同.说明 3.建立样本空间,事实上就是建立随机现
12、 象的数学模型.因此,一个样本空间可以 概括许多内容大不相同的实际问题.例如 只包含两个样本点的样本空间 它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的 模型,也可以作为产品检验中合格与不合格的模 型,又能用于排队现象中有人排队与无人排队的 模型等.所以在具体问题的研究 中,描述随机现象的第一步 就是建立样本空间.随机事件 随机试验 E 的样本空间 S 的子集称 为 E 的随机事件,简称事件.通常以 大写英文字母 A,B,C,来表示事件。试验中,骰子“出现1点”,“出现2点”,“出现6点”,“点数不大于4”,“点数为偶数”等都为随机事件.实例 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.1.基本概念 二、随机事件
13、的概念二、随机事件的概念 实例 上述试验中“点数不大于6”就是必然事件.必然事件 随机试验中必然会出现的结果.不可能事件 随机试验中不可能出现的结果.实例 上述试验中“点数大于6”就是不可能事件.实例 “出现1点”,“出现2点”,“出现6点”.基本事件:由一个样本点组成的单点集.(相对于观察目的不可再分解的事件)（1）当且仅当集合A中的一个样本点出现时,称事件A发生.如在掷骰子试验中，观察掷出的点数.事件 B=掷出奇数点 B发生当且仅当 B中的样本点1,3,5中的某一个 出现.2.几点说明(2)随机试验、样本空间与随机事件的关系 每一个随机试验相应地有一个样本空间,样 本空间的子集就是随机事件
14、.随机试验 样本空间 子集 随机事件 随机事件 基本事件 必然事件 不可能事件 复合事件 两个特殊事件.),2,1(,的子集的子集是是而而的样本空间为的样本空间为设试验设试验SkABASEk 1.包含关系 若事件 A 出现,必然导致 B 出现,则称事件 B 包含事件 A,记作.BAAB 或或实例 “长度不合格”必然导致“产品不合格”所以“产品不合格”包含“长度不合格”.图示 B 包含 A.S B A 三、随机事件间的关系及运算三、随机事件间的关系及运算 2.A等于B 若事件 A 包含事件 B，而且事件B 包含事件 A，则称事件 A 与事件 B 相等，记作 A=B.3.事件 A 与 B 的并(和
15、事件).和事件和事件的的事件事件与与称为事件称为事件或或事件事件BABxAxxBA 实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与 直径是否合格所决定,因此“产品不合格”是“长度 不合格”与“直径不合格”的并.图示事件 A 与 B 的并.S B A;,211的和事件的和事件个事件个事件为为称称推广推广nknkAAAnA 4.事件 A 与 B 的交(积事件).ABBA或或积事件也可记作积事件也可记作.,211的和事件的和事件为可列个事件为可列个事件称称AAAkk .积事件积事件的的与事件与事件称为事件称为事件且且事件事件BABxAxxBA 图示事件A与B 的积事件.S A B AB 实例 某种产品的
16、合格与否是由该产品的长度 与直径是否合格所决定,因此“产品合格”是“长度合格”与“直径合格”的交或积事件.和事件与积事件的运算性质,AAA,SSA,AA,AAA,ASA.A;,211的积事件的积事件个事件个事件为为称称推广推广nnkkAAAnA.,211的积事件的积事件为可列个事件为可列个事件称称AAAkk 5.事件 A 与 B 互不相容(互斥)若事件 A 的出现必然导致事件 B 不出现,B 出现也必然导致 A不出现,则称事件 A与B互不相 容,即.ABBA实例 抛掷一枚硬币,“出现花面”与“出现字面”是互不相容的两个事件.“骰子出现1点”“骰子出现2点”图示 A 与 B 互斥.S A B 互斥 实例 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.6.事件 A 与 B 的差 由事件 A 出现而事件 B 不出现所组成的事件称为事件 A 与 B 的差.记作 A-B.图示 A 与 B 的差.S A B S A B AB AB BA 实例 “长度合格但直径不合格”是“长度合格”与“直径合格”的差.设 A 表示“事件 A 出现”,则“事件 A 不出现”称为事件 A 的对立事件或逆事件.记作 实例 “骰子出现1点
