1、第一节第一节 二维随机变量二维随机变量 二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数 二维离散型随机变量二维离散型随机变量 二维连续型随机变量二维连续型随机变量 课堂练习课堂练习 从本讲起，我们开始第三章的学习从本讲起，我们开始第三章的学习.一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量困难，我们重点讨论二维随机变量.它是第二章内容的推广它是第二章内容的推广.到现在为止，我们只讨论了一维到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布及其分布.但有些随机现象用一个
2、随机变量来描述还不够，而但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述需要用几个随机变量来描述.在打靶时在打靶时,命中点的位置是命中点的位置是由一对由一对r.v(两个坐标两个坐标)来确定的来确定的.飞机的重心在空中的位置是飞机的重心在空中的位置是由三个由三个r.v(三个坐标三个坐标)来确定的等来确定的等等等.一般地一般地,设设 是一个随机试验是一个随机试验,E它的样本空间是它的样本空间是 ,Se 设设 11,XXe 22,XXe ,nnXXe 是定义在是定义在 上的随机变量上的随机变量,S由它们构成的一个由它们构成的一个 维向维向 n量量 12,nXXX叫做叫做 维随机向
3、量维随机向量 n或或 维随机变维随机变 n量量.以下重点讨论二维随机变量以下重点讨论二维随机变量.请注意与一维情形的对照请注意与一维情形的对照.)()(xXPxFxX的分布函数的分布函数 一维随机变量一维随机变量 ,F x yPXxYyP Xx Yy,x y如果对于任意实数如果对于任意实数 二元二元 函数函数 称为二维随机变量称为二维随机变量 的的分布函数分布函数,X Y或者称为随机或者称为随机 变量变量 和和 的的联合分布函数联合分布函数.YX定义定义1 ,X Y设设 是二维是二维 随机变量随机变量,一、二维随机变量的分布函数一、二维随机变量的分布函数 xXOx Oxyy YX,YX yx,
4、x 将二维随机变量将二维随机变量 看成是平面上随机点的看成是平面上随机点的坐标坐标,X Y 那么那么,分布函数分布函数 在点在点 处的函数值处的函数值就是随机点就是随机点 落在下面左图所示的落在下面左图所示的,以点以点 为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率.,X Y ,x y ,F x y ,x y分布函数的函数值的几何解释分布函数的函数值的几何解释 11211222,yxFyxFyxFyxF 2121,yYyxXxP 随机点随机点 落在矩形域落在矩形域 ,X Y1212,xxxyyy内的概率为内的概率为 xyO YX,2y1y1x2xxyO Y
5、X,1x2xy yx,1 yx,2 :,的性质的性质分布函数分布函数yxF ;,.1的不减函数的不减函数和和是关于变量是关于变量yxyxF ;,212121yxFyxFxxRxxRy 时时当当及及对任意固定的对任意固定的 ;,212121yxFyxFyyRyyRx 时时当当及及对任意固定的对任意固定的 YX,0,1,0.2 yFRyyxF对任意固定的对任意固定的且且 .1,0,0,FFxFRx对任意固定的对任意固定的Oxyy YX,XY yx,x yx,x即即F(x,y)关于关于x,y是右连续的。是右连续的。11221212(,),(,),xyxyxxyy4.对任意的对任意的 ，下述不等式成立
6、：下述不等式成立：22211211,0F x yF x yF x yF x y .0,0,.3 yxFyxFyxFyxF,),(ijjipyYxXP或随机变量或随机变量X和和Y 的的联合分布律联合分布律.,)(kkpxXPk=1,2,离散型离散型 一维随机变量一维随机变量X X 的分布律的分布律 ,0kpkkp1k=1,2,定义定义2 的值是有限对或可列无限多对的值是有限对或可列无限多对,是是离散型随机变量离散型随机变量.则称则称 ,X Y设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量 ,X Y可能取的值是可能取的值是 ,ijx y,1,2,i j ,1,2,i j 记记 如果二维随机变量如果二维随
7、机变量 ,X Y全部可能取到的不相同全部可能取到的不相同 称之为二维离散型随机变量称之为二维离散型随机变量 的的分布律分布律,X Y二、二维离散型随机变量二、二维离散型随机变量 12jyyyXY12ixxx11211ippp12222ippp12jjijppp也可用表格来表示随机变量也可用表格来表示随机变量X和和Y 的的联合分布律联合分布律.ijijijpjip1,2,1,0二维离散型随机变量二维离散型随机变量 的的分布律分布律具有性质具有性质 ,X Y二维离散型随机变量二维离散型随机变量 的的联合分布函数为联合分布函数为：,X Y(,)ijijxx yyF x yp.,求和求和的的其中和式是
8、对一切满足其中和式是对一切满足jiyyxxji 例例1 把一枚均匀硬币抛掷三次，设把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次为三次抛掷中正面出现的次数抛掷中正面出现的次数，而，而 Y 为正面出现次数与为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值反面出现次数之差的绝对值,求求(X,Y)的分布律的分布律.解解 (X,Y)可取值可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)PX=0,Y=3 PX=1,Y=1 PX=2,Y=1 PX=3,Y=0 YX1301 83 8001233 8001 82311221 2311222 31 2 1 8.=3/8=3/8 31 2 1 8.),(.1 ,4,3,2,1
9、的分布律的分布律试求试求整数值整数值中等可能地取一中等可能地取一在在另一个随机变量另一个随机变量取值取值四个整数中等可能地四个整数中等可能地在在设随机变量设随机变量YXXYX解解:,的取值情况是的取值情况是jYiX ,4,3,2,1 i.的正整数的正整数取不大于取不大于ij且由乘法公式得且由乘法公式得,jYiXP iXPiXjYP ,411 i,4,3,2,1 i.ij 的分布律为的分布律为于是于是),(YX例例2 XY12341234418112116108112116100121161000161例例3 一个袋中有三个球一个袋中有三个球,依次标有数字依次标有数字 1,2,2,从中任取一个从
10、中任取一个,不放回袋中不放回袋中,再任取一个再任取一个,设每设每 次取球时次取球时,各球被取到的可能性相等各球被取到的可能性相等,以以 X,Y 分分 别记第一次和第二次取到的球上标有的数字别记第一次和第二次取到的球上标有的数字,求求 (X,Y)的分布律与分布函数的分布律与分布函数.(X,Y )的可能取值为的可能取值为),2,1(,3122312,1 YXP,3121321,2 YXP.3121322,2 YXP解解),1,2().2,2(122故故(X,Y )的分布律为的分布律为 XY21213103131,31,022211211 pppp下面求分布函数下面求分布函数.2112oxy)2,2
11、()2,1()1,1()1,2(,11)1(时时或或当当 yx),(yxF),(yxF,21,21)2(时时当当 yx,2,21)3(时时当当 yx),(yxF,yYxXP ;0 11p;0 1211pp ;31,21,2)4(时时当当 yx;31),(2111 ppyxF,2,2)5(时时当当 yx),(yxF22122111pppp .1 2112oxy)2,2()2,1()1,1()1,2(所以所以(X,Y)的分布函数为的分布函数为,21,2.2,2,1,2,21,31,11,0),(yxyxyxyxyxF或或或或连续型连续型 一维随机变量一维随机变量X X的概率密度函数的概率密度函数
12、1)(dxxf xtdtfxFx0)(xf Rxxf 三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量 定义定义3 对于二维随机变量对于二维随机变量 ,X Y的分布函数的分布函数 ,F x y则称则称 是是连续型的二维随连续型的二维随 ,X Y机变量机变量,fx y函数函数 称为二维称为二维（X,Y)的的概率密度概率密度,随机变量随机变量 ,yxF x yf u v dudv 存在非负的函数存在非负的函数 ,fx y如果如果 任意任意 有有,x y使对于使对于 称为随机变量称为随机变量 X 和和 Y 的的联合概联合概 率密度率密度.或或（X,Y）的概率密度的性质的概率密度的性质:;0,.1 yxf
13、 2,1;Rfx y dxdy ;,.3dxdyyxfGYXPxOyGG 则有则有平面上的区域平面上的区域是是设设yxyxFyxf),(),(2在在 f(x,y)的连续点的连续点,.4 2.,1;fx y dxdy 表示介于表示介于 f(x,y)和和 xoy 平面之间的空间区域的平面之间的空间区域的全部体积等于全部体积等于1.,dd),(),(GyxyxfGYXP,1dd),(yxyxf说明说明:.),(,),(为顶面的柱体体积为顶面的柱体体积以曲面以曲面为底为底的值等于以的值等于以yxfzGGYXP .),(,表示空间的一个曲面表示空间的一个曲面几何上几何上yxfz (,)(,)P xXxx
14、 yYyyf x yx y 若若 f(x,y)在点在点(x,y)连续，则当连续，则当 很很小时有小时有,xy例例2 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是(2)求分布函数求分布函数 (2),0,0,0,.其它xyAexyfx y ,;F x y P YX(3)求概率求概率 .(1)求常数求常数A;解解 (1)由由 ,1fx y dxdy 可得可得A=2.Ouvy yx,xOuvy yx,x ,yxF x yf u v dudv ,Du vuxvy 积分区域积分区域 区域区域 ,0f u v ,0,0u v uv解解 (2)Ouvy yx,xOuvy yx,x 211,0,0,0,.xyeexy
15、F x y 其其它它00 xy或或当当 时时,yxF x yf u v dudv 0 故故(2)002yxu vedudv 2002yxvue dvedu 211xyee0,0 xy当当 时时,yxF x yf u v dudv 2302xxeedx 1.3(3)P YX ,y xfx y dxdy 2002xxydxedy 2002xxyedxedy yx xyo例例3 设随机变量设随机变量(X,Y)的联合分布函数为的联合分布函数为 yxyCxBAyxF,2arctan2arctan),(其中其中A,B,C 为常数为常数.(1)确定常数确定常数A,B,C；(2)求求P(X 2);(3)求求(
16、X,Y)的联合密度函数。的联合密度函数。解解(1)122),(CBAF(,)arctan022yFyA BC(,)arctan022xF xA BC 21,2,2ACB(2)(2)1(2)1(2,)1(2,)P XP XP XYF 22arctan1211.4/1(3)2222(,)14(,)(4)(4),F x yf x yx yxyxy 四、课堂练习四、课堂练习 设随机变量设随机变量(X,Y)的概率密度是的概率密度是 6,02,24,0,.kxyxyfx y 其其它它(1)确定常数确定常数 ;k 1,3P XY(2)求概率求概率 .解解(1)xyo24 21,Rfx y dxdy 24026kdxxy dy 24026kdxxy dy 2023kx dx 8k 故故 1 8.k 2xyo13242 1,3P XY(2).13,dxfx y dy 1302168dxxy dy101782x dx 38 第二节第二节 边缘分布边缘分布 边缘分布函数边缘分布函数 离散型随机变量的边缘分布律离散型随机变量的边缘分布律 连续型随机变量的边缘概率密度连续型随机变量的边缘概率密度 课堂练习课堂练
