1、我出高考数学题(二十五)陈国林 胡迷革 袁琳1.cos（ -）-sin = ，那么cos（- ）的值为A.- B. C.- D.解 由cos（ -）-sin = cos + sin -sin =- sin + cos =-sin（- ）= ，可得sin（- ）=- .所以cos（- ）=cos（- - ）=sin（- ）=- .选C.2.f（x）是定义在（- ， ）上的奇函数，f （x）是f（x）的导函数.假设对任意的x（0， ），有f （x）sin xcos x+ f（x）0，那么当01且f（m）sin m f（ ）cos m恒成立时，实数m的取值范围是A.（- ， ） B.（- ，- ）（
2、 ， ）C.（- ，0）（0， ） D.（- ，- ）（ ， ）解 根据可令g（x）= f（x）tan x，那么g（x）= .由于对任意的x（0， ），有f （x）sin xcos x+ f（x）0，所以当x（0， ）时，g（x）0，那么函数g（x）在（0， ）上单调递增.又f（x）在（- ， ）上为奇函数，所以g（-x）= f（-x）tan（-x）= f（x）tan x=g（x），那么g（x）在（- ， ）上为偶函数.由于01且f（m）sin m f（ ）cos m恒成立，所以 ，即g（m）g（ ），那么|m| 且m0，所以m的取值范围是（- ，0）（0， ）.选C.3.函数f（x）=（x-
3、1）ex+1+ax2，aR.（）讨论函数f（x）的单调性.（）假设函数f（x）有两个零点x1，x2，且x1 f（-x2）.（）解：函数f（x）的定义域为R， f （x）=xex+1+2ax=x（ex+1+2a）.假设a0，那么ex+1+2a0.于是有当x（-，0）时， f （x）0恒成立.所以f（x）在（-，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增.假设a0恒成立;当x（xn，xm）时，f （x）0恒成立.所以f（x）在（-，xn）和（xm，+）上單调递增，在（xn，xm）上单调递减.假设a=- ，那么xm =xn.当xR时， f （x）0恒成立，所以f（x）在R上是增函数.假设a- ，那么xm
4、 0恒成立;当x（xm，xn）时，f （x）0恒成立.所以f（x）在（-，xm）和（xn，+）上单调递增，在（xm，xn）上单调递减.综上可知，当a0时，f（x）在（-，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增;当- （）证明：当a0时，由（）可知，假设x0，那么f（x）f（0），f -1+ln（-2a）max.由于f（0）=-e0，当a f -1+ln（-2a），当- 0.当a0时，f（x）在（-，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增，从而x100，所以F（x）0对任意的x（0，+）恒成立，从而F（x）在（0，+）上递增，那么F（x）F（0）=0，即f（x） f（-x）.由于x10 f（-x
5、2），即 f（x1） f（-x2）.（陈国林，中国优选法统筹法与经济数学研究会会员，“课堂内外杯青少年科学素养大赛命题专家库成员，中学数学建模竞赛命题人，获得国家级、省级奖励10余项）4.直线AB经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，假设|BF|=2|AF|，那么|AF|=_.解 设l为抛物线的准线，其与x轴交于点K.作AAl，交l于点A;作BBl，交l于点B，如右图所示.于是有|AA|=|AF|， |BB|=|FB|，AABBFK.在CBB中，由 = = ， |BC|=|AC|+|AA|+|BB|，可得|AC|=3|AF|.于是在CFK中，由 = = ，可得|AF|=|AA
6、|= |FK|= .5.F（c，0）是双曲线C： - =1（a0，b0）的右焦点，圆（x-c）2+y2=4b2与双曲线C的一条渐近线相交于A，B两点，假设|AB|=2a，那么双曲线C的离心率为A. B. C. D.2解 设AB的中点为M，连接MF，那么MFAB.由可得|AM|=a，|MF|=b，|AF|=2b.由勾股定理得4b2=a2+b2，那么 = ，所以e= = .选C.6.椭圆C的两焦点分别为F1（-1，0），F2 （1，0），且经过点（1， ）.（）求椭圆C的标准方程.（）设直线l：x=my+1与椭圆C相交于A，B两点，点B在直线n：x=2上的射影为点D，当m变化时，直线AD是否过定点
7、？写出判断依据.解 （）椭圆C的标准方程为 +y2=1.（解答过程省略）（）设点A的坐标为（x1，y1），点B的坐标为（x2，y2）.由x2+2y2=2，x=my+1，可得（m2+2）y2+2my-1=0，=4m2+4（m2+2）0，那么y1+y2 =- ，y1y2 =- .于是可得 + =2m，那么y2= .又点D的坐标为（2，y2），那么直线AD的斜率k= = = ，于是可得直线AD的方程为y-y2= （x-2），即y = （x- ）.所以，直线AD经过定点（ ，0）.（胡迷革，中学高级教师，河北省特级教师，常年承担高三理科重点班教学工作，屡次参与邯郸市模拟考试命题工作，屡次被评为市命题工
8、作先进个人）7.正三角形ABC的边长为2 ，以A为圆心、3为半径的圆分别交AB，AC于点E，F，P是优弧EF上的一点，且 = + ，那么的取值范围是A.- ， B.- ， C.- ， D.- ， 解 取边BC的中点为D，以A为原点，AD所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，那么点A的坐标为（0，0），点B的坐标为（- ，-3），点C的坐标为（ ，-3）.设点P的坐标为（x0，y0），那么 =（x0，y0）， =（- ，-3）， =（ ，-3）.由 = + ，可得x0=- + ，y0=-3-3，那么=- ，= ，所以=- = - =- =- .由y0- ，3，可得y200，9，那么=- - ， .
9、选C.8.抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，交抛物线的准线于点C.假设A是BC的中点，那么直线l的斜率k=_.解 过点A，B分别作准线的垂线，交准线于点D，E.由于A是BC的中点，所以 = = .设点A的坐标为（x1，y1），点B的坐标为（x2，y2），那么-2y1=y2 .设直线l：x=my+ .由x=my+ ，y2=2px，可得y2-2mpy-p2=0，=4m2p2+4p20，那么y1+y2=2mp，y1y2=-p2.于是可得y1=-2mp，y21= ，則4m2p2= ，解得 =8，即k=2 .9.函数f（x）=eln x-ax+1.（）讨论f（x）
10、的单调性.（）对任意的x1，e，都有f（x）解 （）由有 f （x）= -a，x0.当a0时， f （x）0，所以f（x）在（0，+）上单调递增.当a0时，在（0， ）上 f （x）0，在（ ，+）上 f （x）0时，f（x）在（0， ）上单调递增，在（ ，+）上单调递减.（）由有对任意的x1，e，fmax（x）当a0时，由（）可知f（x）在1，e上单调递增，那么fmax（x）= f（e）=e-ae+10a，与题设条件矛盾.当a0时，由（）可知f（x）在（0， ）上单调递增，在（ ，+）上单调递减.当 e时，f（x）在1，e上单调递减，那么fmax（x）= f（1）=1-a e，即01a，与题设条件矛盾.当1 e，即1ae时，f（x）在1， 上单调递增，在 ，e上单调递减，那么fmax（x）= f（ ）=1-eln a.由1-eln a0.令g（x）=eln x+x-1，x1，e，那么在1，e上，g （x）= +10，可得g（x）在1，e上单调递增.又g（1）=0，所以g（x）0的解集为（1，e，即a（1，e.综上所述，实数a的取值范围是（1，+）.（袁琳，中学高级教师，骨干教师，荣获市级优质课一等奖，常年从事一线教学工作，探寻试题命题规律，挖掘思维拓展区，提升考查创新点）（责任编校 冯琪）
