1、2023高中数学竞赛标准讲义：第八章：平面向量一、根底知识定义1 既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。定理1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法那么。加法和减法都满足交换律和结合律。定理2 非零向量a, b共线的充要条件是存在实数0，
2、使得a=f定理3 平面向量的根本定理，假设平面内的向量a, b不共线，那么对同一平面内任意向是c，存在唯一一对实数x, y，使得c=xa+yb，其中a, b称为一组基底。定义3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i, j作为基底，任取一个向量c，由定理3可知存在唯一一组实数x, y，使得c=xi+yi，那么（x, y）叫做c坐标。定义4 向量的数量积，假设非零向量a, b的夹角为，那么a, b的数量积记作ab=|a|b|cos=|a|b|cos，也称内积，其中|b|cos叫做b在a上的投影（注：投影可能为负值）。定理4 平面向量的坐标运算：假设a=(x1, y1)
3、, b=(x2, y2)，1a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2)，2a=(x1, y1), a(b+c)=ab+ac，3ab=x1x2+y1y2, cos(a, b)=(a, b0),4. a/bx1y2=x2y1, abx1x2+y1y2=0.定义5 假设点P是直线P1P2上异于p1，p2的一点，那么存在唯一实数，使，叫P分所成的比，假设O为平面内任意一点，那么。由此可得假设P1，P，P2的坐标分别为(x1, y1), (x, y), (x2, y2)，那么定义6 设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有的点按照向量a=(h, k)的方向，平移|a|=个
4、单位得到图形，这一过程叫做平移。设p(x, y)是F上任意一点，平移到上对应的点为，那么称为平移公式。定理5 对于任意向量a=(x1, y1), b=(x2, y2), |ab|a|b|，并且|a+b|a|+|b|.【证明】 因为|a|2|b|2-|ab|2=-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)20，又|ab|0, |a|b|0，所以|a|b|ab|.由向量的三角形法那么及直线段最短定理可得|a+b|a|+|b|.注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x1, x2,xn)，b=(y1, y2, , yn)，同样有|ab|a|b|，化简即为柯西不等式： (x1y1+x
5、2y2+xnyn)20，又|ab|0, |a|b|0，所以|a|b|ab|.由向量的三角形法那么及直线段最短定理可得|a+b|a|+|b|.注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x1, x2,xn), b=(y1, y2, , yn)，同样有|ab|a|b|，化简即为柯西不等式：(x1y1+x2y2+xnyn)2。2）对于任意n个向量，a1, a2, ,an，有| a1, a2, ,an| a1|+|a2|+|an|。二、方向与例题1向量定义和运算法那么的运用。例1 设O是正n边形A1A2An的中心，求证：【证明】 记，假设，那么将正n边形绕中心O旋转后与原正n边形重合，所以不变
6、，这不可能，所以例2 给定ABC，求证：G是ABC重心的充要条件是【证明】必要性。如下列图，设各边中点分别为D，E，F，延长AD至P，使DP=GD，那么又因为BC与GP互相平分，所以BPCG为平行四边形，所以BGPC，所以所以充分性。假设，延长AG交BC于D，使GP=AG，连结CP，那么因为，那么，所以GBCP，所以AG平分BC。同理BG平分CA。所以G为重心。例3 在凸四边形ABCD中，P和Q分别为对角线BD和AC的中点，求证：AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。【证明】 如下列图，结结BQ，QD。因为，所以= 又因为同理 ， ， 由，可得。得证。 2证利用定理2证明共
7、线。例4 ABC外心为O，垂心为H，重心为G。求证：O，G，H为共线，且OG：GH=1：2。【证明】 首先=其次设BO交外接圆于另一点E，那么连结CE后得CE又AHBC，所以AH/CE。又EAAB，CHAB，所以AHCE为平行四边形。所以所以，所以，所以与共线，所以O，G，H共线。所以OG：GH=1：2。3利用数量积证明垂直。例5 给定非零向量a, b. 求证：|a+b|=|a-b|的充要条件是ab.【证明】|a+b|=|a-b|(a+b)2=(a-b)2a2+2ab+b2=a2-2ab+b2ab=0ab.例6 ABC内接于O，AB=AC，D为AB中点，E为ACD重心。求证：OECD。【证明】
8、 设，那么，又，所以a(b-c). （因为|a|2=|b|2=|c|2=|OH|2）又因为AB=AC，OB=OC，所以OA为BC的中垂线。所以a(b-c)=0. 所以OECD。4向量的坐标运算。例7 四边形ABCD是正方形，BE/AC，AC=CE，EC的延长线交BA的延长线于点F，求证：AF=AE。【证明】 如下列图，以CD所在的直线为x轴，以C为原点建立直角坐标系，设正方形边长为1，那么A，B坐标分别为（-1，1）和（0，1），设E点的坐标为（x, y），那么=(x, y-1), ，因为，所以-x-(y-1)=0.又因为，所以x2+y2=2.由，解得所以设，那么。由和共线得所以，即F，所以=
9、4+，所以AF=AE。三、根底训练题1以下命题中正确的选项是_. a=b的充要条件是|a|=|b|，且a/b；(ab)c=(ac)b；假设ab=ac，那么b=c；假设a, b不共线，那么xa+yb=ma+nb的充要条件是x=m, y=n；假设，且a, b共线，那么A，B，C，D共线；a=(8, 1)在b=(-3, 4)上的投影为-4。2正六边形ABCDEF，在以下表达式中：； ；与，相等的有_.3a=y-x, b=2x-y, |a|=|b|=1, ab=0，那么|x|+|y|=_.4设s, t为非零实数，a, b为单位向量，假设|sa+tb|=|ta-sb|，那么a和b的夹角为_.5a, b不
10、共线，=a+kb, =la+b，那么“kl-1=0”是“M，N，P共线的_条件.6在ABC中，M是AC中点，N是AB的三等分点，且，BM与CN交于D，假设，那么=_.7不共线，点C分所成的比为2，那么_.8=b, ab=|a-b|=2，当AOB面积最大时，a与b的夹角为_.9把函数y=2x2-4x+5的图象按向量a平移后得到y=2x2的图象，c=(1, -1), 假设，cb=4，那么b的坐标为_.10将向量a=(2, 1)绕原点按逆时针方向旋转得到向量b，那么b的坐标为_.11在RtBAC中，BC=a，假设长为2a的线段PQ以点A为中点，试问与的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值。12在四
11、边形ABCD中，如果ab=bc=cd=da，试判断四边形ABCD的形状。 四、高考水平训练题1点O是平面上一定点，A，B，C是此平面上不共线的三个点，动点P满足 那么点P的轨迹一定通过ABC的_心。2在ABC中，且ab1(kR)，那么k的取值范围是_.4平面内四点A，B，C，D满足，那么的取值有_个.5A1A2A3A4A5是半径为r的O内接正五边形，P为O上任意一点，那么取值的集合是_.6O为ABC所在平面内一点，A，B，C为ABC 的角，假设sinA+sinB+sinC，那么点O为ABC 的_心.7对于非零向量a, b, “|a|=|b|是“(a+b)(a-b)的_条件.8在ABC 中，又(cb)：(ba)：(ac)=1：2：3，那么ABC 三边长之比|a|：|b|：|c|=_.9P为ABC内一点，且，CP交AB于D，求证：10ABC的垂心为H，HBC，HCA，HAB的外心分别为O1，O2，O3，令，求证：（1）2p=b+c-a；（2）H为O1O2O3的外心。11设坐标平面上全部向量的集合为V，a=(a1, a2)为V中的一个单位向量，从V到的变换T，由T(x)=-x+2(xa)a(xV)确定，（1）对于V的任意两个向量x, y, 求证：T(x)T(y)=xy；（2）对于V的任意向量x，计算TT(x)-x
