1、2023年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说 明：1评阅试卷时，请依据本评分标准. 选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次.一、选择题(此题总分值36分，每题6分)1ABC，假设对任意tR，那么ABC一定为A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D答案不确定 答C解：令ABC，过A作ADBC于D，由，推出2t t2,令t，代入上式，得 2cos2cos2，即
2、sin2, 也即sin从而有由此可得ACB 2设logx(2x2x1)logx21，那么x的取值范围为Ax1 Bx且x1 C x1 D 0x1 答B解：因为，解得x且x1由logx(2x2x1)logx21， logx(2x3x2x)logx2 或解得0x1或x1所以x的取值范围为x且x1 3集合Ax|5xa0，Bx|6xb0，a，bN，且ABN2，3，4，那么整数对(a，b)的个数为A20 B25 C30 D42 答C解：5xa0x；6xb0x要使ABN2，3，4，那么，即所以数对(a，b)共有CC30个 4在直三棱柱A1B1C1ABC中，BAC，ABACAA11G与E分别为A1B1和CC1
3、的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点)假设GDEF，那么线段DF的长度的取值范围为A，1) B，2) C1，) D，) 答A解：建立直角坐标系，以A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，那么F(t1，0，0)(0t11)，E(0，1，)，G(，0，1)，D(0，t2，0)(0t21)所以(t1，1，)，(，t2，1)因为GDEF，所以t12t21，由此推出0t2又(t1，t2，0)，从而有15设f(x)x3log2(x)，那么对任意实数a，b，ab0是f(a)f(b)0的A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4、答A解：显然f(x)x3log2(x)为奇函数，且单调递增于是假设ab0，那么ab，有f(a)f(b)，即f(a)f(b)，从而有f(a)f(b)0反之，假设f(a)f(b)0，那么f(a)f(b)f(b),推出ab，即ab0 6数码a1，a2，a3，a2023中有奇数个9的2023位十进制数的个数为A(10202382023) B(10202382023) C10202382023 D10202382023答B解：出现奇数个9的十进制数个数有AC92023C92022C9又由于 (91)2023C92023k以及(91)2023C(1)k92023k从而得AC92023C92022C9(10
5、202382023)二、填空题(此题总分值54分，每题9分)7. 设f(x)sin4xsinxcosxcos4x，那么f(x)的值域是 填0，解：f(x)sin4xsinxcosxcos4x1sin2x sin22x令tsin2x，那么f(x)g(t)1tt2(t)2因此g(t)g(1)0， g(t)g() 故，f(x)0，8. 假设对一切R，复数z(acos)(2asin)i的模不超过2，那么实数a的取值范围为 填，解：依题意，得|z|2(acos)2(2asin)242a(cos2sin)35a22asin()35a2(arcsin)对任意实数成立2|a|35a2|a|，故 a的取值范围为
6、，9椭圆1的左右焦点分别为F1与F2，点P在直线l：xy820上. 当F1PF2取最大值时，比的值为 填1.解：由平面几何知，要使F1PF2最大，那么过F1，F2，P三点的圆必定和直线l相切于点P直线l交x轴于A(82，0)，那么APF1AF2P，即APF1AF2P，即 又由圆幂定理，|AP|2|AF1|AF2| 而F1(2，0)，F2(2，0)，A(82，0)，从而有|AF1|8，|AF2|84代入，得，110底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，那么需要注水 cm3填()解：设四个实
7、心铁球的球心为O1，O2，O3，O4，其中O1，O2为下层两球的球心，A，B，C，D分别为四个球心在底面的射影那么ABCD是一个边长为的正方形。所以注水高为1故应注水(1)4()3()11方程(x20231)(1x2x4x2022)2023x2023的实数解的个数为 填1解：(x20231)(1x2x4x2022)2023x2023(x)(1x2x4x2022)2023 xx3x5x20232023，故x0，否那么左边0 2023xx3x2023210032023等号当且仅当x1时成立所以x1是原方程的全部解因此原方程的实数解个数为112. 袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然
8、后放回1个白球，那么第4次恰好取完所有红球的概率为 填解：第4次恰好取完所有红球的概率为()2()20.0434三、解答题（此题总分值60分，每题20分）13. 给定整数n2，设M0(x0，y0)是抛物线y2nx1与直线yx的一个交点. 试证明对于任意正整数m，必存在整数k2，使(x，y)为抛物线y2kx1与直线yx的一个交点证明：因为y2nx1与yx的交点为x0y0显然有x0=n2(5分)假设(x，y)为抛物线y2kx1与直线yx的一个交点，那么kx(10分)记kmx，由于k1n是整数，k2x(x0)22n22也是整数，且 km1km(x0)km1nkmkm1，(m2) (13.1)所以根据
9、数学归纳法，通过()式可证明对于一切正整数m，kmx是正整数，且km2现在对于任意正整数m，取kx，满足k2，且使得y2kx1与yx的交点为(x，y)(20分)14将2023表示成5个正整数x1，x2，x3，x4，x5之和记Sxixj问： 当x1，x2，x3，x4，x5取何值时，S取到最大值； 进一步地，对任意1i，j5有2，当x1，x2，x3，x4，x5取何值时，S取到最小值. 说明理由解：(1) 首先这样的S的值是有界集，故必存在最大值与最小值。 假设x1x2x3x4x52023，且使Sxixj取到最大值，那么必有 1 (1i，j5) (5分) (x)事实上，假设(x)不成立，不妨假设x1
10、x22，那么令x1x11，x2x21，xixi (i3，4，5)有x1x2x1x2，x1x2x1x2x1x21x1x2将S改写成Sxixjx1x2(x1x2)(x3x4x5)x3x4x3x5x4x5同时有 Sx1x2(x1x2)(x3x4x5)x3x4x3x5x4x5于是有SSx1x2x1x20这与S在x1，x2，x3，x4，x5时取到最大值矛盾所以必有1，(1i，j5)因此当x1402，x2x3x4x5401时S取到最大值 (10分) 当x1x2x3x4x52023，且2时，只有（I） 402， 402， 402， 400， 400；（II） 402， 402， 401， 401， 400；
11、（III） 402， 401， 401， 401， 401； 三种情形满足要求 (15分)而后两种情形是由第一组作xixi1，xjxj1调整下得到的根据上一小题的证明可知道，每次调整都使和式Sxixj变大所以在x1x2x3402，x4x5400时S取到最小值(20分)15设 f(x)x2a. 记f1(x)f(x)，fn(x)f(fn1(x)，n1，2，3，MaR|对所有正整数n，2证明，M2，证明： 如果a2，那么|a|2，aM (5分) 如果2a，由题意，f1(0)a，fn(0)(fn1(0)2a，n2，3，那么 当0a时，(n1). 事实上，当n1时，|a|，设nk1时成立(k2为某整数），那么对nk， a()2 当2a0时，|a|，(n1)事实上，当n1时，|a|，设nk1时成立(k2为某整数)，那么对nk，有|a|aaa2a注意到当2a0时，总有a22a，即a2aa|a|从而有|a|由归纳法，推出2，M(15分) 当a时，记anfn(0)，那么对于任意n1，ana且an1fn1(0)f(fn(0)f(an)aa对于任意n1，an1anaana(an)2aa那么an1ana所以，an1aan1a1n(a)当n时，an1n(a)a2aa2，即fn1(0)2因此aM综合，
