1、第七章第七章 线性变换线性变换 7.1 7.1 线性映射线性映射 7.27.2线性变换的运算线性变换的运算 7.3 7.3 线性变换和矩阵线性变换和矩阵 7.4 7.4 不变子空间不变子空间 7.5 7.5 特征值和特征向量特征值和特征向量 7.6 7.6 可以对角化矩阵可以对角化矩阵 课外学习课外学习8 8：一类特殊矩阵的特征值：一类特殊矩阵的特征值 当代数和几何结合成伴侣时，他们就相互吸取当代数和几何结合成伴侣时，他们就相互吸取对方的新鲜活力，并迅速地趋于完美。对方的新鲜活力，并迅速地趋于完美。-拉格朗日（拉格朗日（Lagrange,1736Lagrange,1736-18131813）数
2、与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少知觉，形少数时难入微。数缺形时少知觉，形少数时难入微。-华罗庚（华罗庚（1910191019851985）7.1 7.1 线性映射线性映射 一、内容分布一、内容分布 7.1.1 7.1.1 线性映射的定义、例线性映射的定义、例.7.1.2 7.1.2 线性变换的象与核线性变换的象与核.二、二、教学目的教学目的:1 1准确线性变换（线性映射）的定义，判断给准确线性变换（线性映射）的定义，判断给定的法则是否是一个线性变换（线性映射）定的法则是否是一个线性变换（线性映射）2 2正确理解线性变换的象与核的概念及相互间正确理
3、解线性变换的象与核的概念及相互间的联系，并能求给定线性变换的象与核的联系，并能求给定线性变换的象与核 三、三、重点难点重点难点:判断给定的法则是否是一个线性判断给定的法则是否是一个线性变换（线性映射），求给定线性变换的象与核变换（线性映射），求给定线性变换的象与核 7.1.1 7.1.1 线性映射的定义、例线性映射的定义、例 设F是一个数域，V和W是F上向量空间.定义定义1 1 设设是是V V 到到W W 的一个映射的一个映射.如果下列条如果下列条件被满足，就称件被满足，就称是是V V 到到W W 的一个线性映射：的一个线性映射：对于任意对于任意 对于任意对于任意 容易证明上面的两个条件等价于
4、下面一个条件：容易证明上面的两个条件等价于下面一个条件：对于任意对于任意 和任意和任意 ,V).()()()()(,aaVFaFba,V)()()(baba在在中取中取 ，对对进行数学归纳，可以得到进行数学归纳，可以得到：（1）（2）0a0)0()()()(1111nnnnaaaa例例1 1 对于对于 的每一向量的每一向量 定义定义 是是 到到 的一个映射，我们证明，的一个映射，我们证明，是一个线是一个线性映射性映射.2R21,xx 321211,Rxxxxx3R2R例例2 2 令令H H是是 中经过原点的一个平面中经过原点的一个平面.对于对于 的每的每一向量一向量，令，令 表示向量表示向量在
5、平面在平面H H上的正射影上的正射影.根根据射影的性质，据射影的性质，是是 到到 的一个线性映的一个线性映射射.3V3V :3V3V例例3 3 令令A A是数域是数域F F上一个上一个m m n n矩阵，对于矩阵，对于n n元列空元列空间的间的 每一向量每一向量 mFnxxx21规定：是一个是一个m m1 1矩阵，矩阵，即是空间即是空间 的一个向量，的一个向量，是是 到到 的一个线性映射的一个线性映射.mFmFnF例例4 4 令令V V 和和W W是数域是数域F F 上向量空间上向量空间.对于对于V V 的每一向的每一向量量令令W W 的零向量的零向量0 0与它对应，容易看出这是与它对应，容易
6、看出这是V V 到到W W的一个线性映射，叫做零映射的一个线性映射，叫做零映射.例例5 令令V V是数域是数域F F上一个向量空间，取定上一个向量空间，取定F F的一个数的一个数k k，对于任意对于任意 定义定义 容易验证，容易验证，是是V V 到自身的一个线性映射，这样一到自身的一个线性映射，这样一个线性映射叫做个线性映射叫做V V 的一个位似的一个位似.特别，取特别，取k=k=1 1，那么对于每一，那么对于每一 都有都有 这时这时就是就是V V到到V V的恒等映射，或者叫做的恒等映射，或者叫做V V的单位映的单位映射，如果取射，如果取k=k=0 0，那么，那么就是就是V V 到到V V的零
7、映射的零映射.,V k,V,例例6 6 取定取定F F的一个的一个n n元数列元数列 对于对于 的每一向量的每一向量 规定规定 容易验证容易验证，是是 到到F F的一个线性映射，这个线的一个线性映射，这个线性映射也叫做性映射也叫做F F上一个上一个n n元线性函数或元线性函数或 上一个上一个线性型线性型.21naaanF.21nxxx Fxaxaxann2211nFnF例例7 7 对于对于F F x x 的每一多项式的每一多项式f f（x x），令它的导数），令它的导数 与它对应，根据导数的基本性质，这样定义与它对应，根据导数的基本性质，这样定义的映射是的映射是F F x x 到自身的一个线性
8、映射到自身的一个线性映射.xf 例例8 8 令令C C a a,b b 是定义在是定义在 a a,b b 上一切连续实函数上一切连续实函数所成的所成的R R上向量空间，对于每一上向量空间，对于每一 规定规定 仍是仍是 a a,b b 上一个连续实函数，根据积分上一个连续实函数，根据积分的基本性质的基本性质，是是C C a a,b b 到自身的一个线性映射到自身的一个线性映射.,baCxf dttfxfxa xf7.1.2 7.1.2 线性变换的象与核线性变换的象与核 定义定义2 2 设设是向量空间是向量空间V V到到W W的一个线性映射的一个线性映射,(1)(1)如果如果 那么那么 叫做叫做
9、在在之下的象之下的象.(2)(2)设设 那么那么 叫做叫做 在在 之下的原象之下的原象.,VV|)()(VVV,WW W)(|VW定理定理7.1.17.1.1 设设V V 和和W W 是数域是数域F F 上向量空间，而上向量空间，而 是一个线性映射，那么是一个线性映射，那么V V 的任意子空间的任意子空间在在之下的象是之下的象是W W 的一个子空间，而的一个子空间，而W W 的任意子空的任意子空间在间在之下的原象是之下的原象是V V 的一个子空间的一个子空间.WV:特别，向量空间特别，向量空间V V 在在之下的象是之下的象是W W 的一个的一个子空间，叫做子空间，叫做的象的象,记为记为 即即
10、另外，另外，W W 的零子空间的零子空间 0 0 在在之下的原之下的原象是象是V V 的一个子空间，叫做的一个子空间，叫做的核，的核，记为记为 即即),Im().()Im(V),(Ker.0)(|)(VKer定理定理7.1.27.1.2 设设V V和和W W是数域是数域F F向量空间，而是一个线性映向量空间，而是一个线性映射，那么射，那么 (i)(i)是满射是满射 (ii)(ii)是单射是单射 证明证明 论断论断(i)(i)是显然的是显然的,我们只证论断我们只证论断(ii)(ii)如果如果是单射是单射,那么那么ker()ker()只能是含有唯一的零向量只能是含有唯一的零向量.反过来设反过来设k
11、er()=0.ker()=0.如果如果 那么那么 从而从而 所以所以 即即是单射是单射.WV:W)Im(0)(Ker).()(,而V,0)()()(.0)ker(,如果线性映射如果线性映射 有逆映射有逆映射 ，那么是那么是W W 到到V V 的一个线性映射的一个线性映射.建议同学给出证明建议同学给出证明.WV:17.2 7.2 线性变换的运算线性变换的运算 一、内容分布一、内容分布 7.2.1 7.2.1 加法和数乘加法和数乘 7.2.27.2.2线性变换的积线性变换的积 7.2.37.2.3线性变换的多项式线性变换的多项式 二、二、教学目的教学目的:掌握线性映射的加法、数乘和积定义，会做运算
12、掌握线性映射的加法、数乘和积定义，会做运算.掌握线性变换的多项式掌握线性变换的多项式,能够求出给定线性变换能够求出给定线性变换的多项式的多项式.三、三、重点难点重点难点:会做运算会做运算.7.2.1 7.2.1 加法和数乘加法和数乘 令令V V是数域是数域F F上一个向量空间，上一个向量空间，V V到自身的一个到自身的一个线性映射叫做线性映射叫做V V 的一个线性变换的一个线性变换.我们用我们用L L（V V）表示向量空间和一切线性变换所成的）表示向量空间和一切线性变换所成的集合，设集合，设 定义定义:加法加法:数乘数乘:,那么是那么是V V的一个线性变换的一个线性变换.可以证明可以证明:和和
13、 都是都是V V 的一个线性变换的一个线性变换.,),(,FkvL)()(:)(:kkk令令 ，那么对于任意那么对于任意 和任意和任意 Fba,V 证明证明 ).()()()()()()()()()()()()(bababababababa所以所以 是是V V的一个线性变换的一个线性变换 k令令 ，那么对于任意那么对于任意 和任意和任意 Fba,V.)()()()()()()()(babkakbakbakba所以所以k k是是V V的一个线性变换的一个线性变换.线性变换的加法满足变换律和结合律线性变换的加法满足变换律和结合律,容易证明容易证明,对对于任意于任意 ,以下等式成立以下等式成立:)(
14、,vL(1)(1);(2)(2).()(令令表示表示V V到自身的零映射到自身的零映射,称为称为V V的零变换的零变换,它显然它显然具有以下性质：对任意具有以下性质：对任意 有有：)(vL(3)(3)设设 的负变换的负变换指的是指的是V V到到V V的映射的映射 容易验证，容易验证，也是也是V V的线性变换，并且的线性变换，并且 ),(vL).(:（4 4）)(线性变换的数乘满足下列算线性变换的数乘满足下列算律：律：,)()5(kkk,)()6(lklk),()()7(lkkl,1)8(这里这里k k,l l是是F F中任意数，中任意数，,是是V V的任意线性变换的任意线性变换.定理定理7.2
15、.17.2.1 L L（V V）对于加法和数乘来说作成数域）对于加法和数乘来说作成数域F F上一个向量空间上一个向量空间.7.2.27.2.2线性变换的积线性变换的积 设设 容易证明合成映射容易证明合成映射 也是也是V V上的线上的线性变换，即性变换，即 我们也把合成映射我们也把合成映射 叫叫做做与与的积，并且简记作的积，并且简记作 。除上面的性质。除上面的性质外，还有外，还有：),(,VL).(VL,)()9(,)()10(),()()()11(kkk对于任意对于任意 成立成立。)(,vLFk证明证明 我们验证一下等式（我们验证一下等式（9 9）其余等式可以类似地）其余等式可以类似地验证。设
16、验证。设 我们有我们有.V),)()()()()()()()()(因而（因而（9 9）成立）成立。7.2.3 7.2.3 线性变换的多项式线性变换的多项式 线性变换的乘法满足结合律：线性变换的乘法满足结合律：对于任意对于任意 都有都有 ),(,vL).()(因此因此,我们可以合理地定义一个线性变换我们可以合理地定义一个线性变换的的n n次幂次幂 nn这里这里n n是正整数是正整数。我们再定义我们再定义 0这里这里表示表示V V到到V V的单位映射，称为的单位映射，称为V V的单位变换。的单位变换。这样一来，一个线性变换的任意非负整数幂有意义。这样一来，一个线性变换的任意非负整数幂有意义。进一步，设进一步，设 .)(10nnxaxaaxf是是F F上一个多项式，而上一个多项式，而 以以代替代替x x，以，以 代替代替 ，得到得到V V的一个线性变换的一个线性变换 ),(VL0a0a.10nnaaa 这个线性变换叫做当这个线性变换叫做当 时时f f(x x)的值，并且的值，并且记作记作 x).(f（1 1）因为对于任意）因为对于任意 我们也可将我们也可将 简记作简记作 ，这时可以写这时可以
