1、2023学年高考数学模拟测试卷考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，则的最小值为（ ）ABCD2已知向量，且，则（ ）ABC1D23已知函数（）的部分图象如图所示，且，则的最小值为（ ）ABCD4设全集，集合，则（
2、 ）ABCD5某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体中最长的棱长为（ ）ABC1D6函数的图象与函数的图象的交点横坐标的和为（ ）ABCD7已知复数为虚数单位） ，则z 的虚部为（ ）A2BC4D8复数满足，则复数等于（）ABC2D-29为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（ ）A甲的数据分析素养优于乙B乙的数据分析素养优于数学建模素养C甲的六大素养整体水平优于乙D甲的六大素养中数学运算最强103
3、本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率是（ ）ABCD11已知函数，则的极大值点为( )ABCD12阿基米德（公元前287年公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的，且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为，则该圆柱的内切球体积为( )ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知函数，若恒成立，则的取值范围是_.14已知向量，且，则_.15已知实数满约束条件，则的最大值为_.16已知
4、圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，圆柱的高和球半径均为2，则该圆柱的底面半径为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知，其中（1）当时，设函数，求函数的极值（2）若函数在区间上递增，求的取值范围；（3）证明：18（12分）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数），圆的方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求和的极坐标方程；（2）过且倾斜角为的直线与交于点，与交于另一点，若，求的取值范围.19（12分）已知，不等式恒成立.（1）求证:（2）求证:.20（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数）以
5、平面直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为（1）求曲线的极坐标方程；（2）设和交点的交点为，求 的面积21（12分）设函数，（1）当，求不等式的解集；（2）已知，的最小值为1，求证：.22（10分）已知直线与抛物线交于两点.（1）当点的横坐标之和为4时，求直线的斜率；（2）已知点，直线过点，记直线的斜率分别为，当取最大值时，求直线的方程.2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【答案解析】根据三角函数的平移求出函数的解析式，结合三角函数的性质进行求
6、解即可【题目详解】将函数的图象向左平移个单位，得到，此时与函数的图象重合，则，即，当时，取得最小值为，故选：【答案点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的平移关系求出解析式是解决本题的关键2、A【答案解析】根据向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值.【题目详解】由于向量，且，所以解得.故选：A【答案点睛】本小题主要考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.3、A【答案解析】是函数的零点，根据五点法求出图中零点及轴左边第一个零点可得【题目详解】由题意，函数在轴右边的第一个零点为，在轴左边第一个零点是，的最小值是故选：A.【答案点睛】本题考查三角函数的周期性，考查函数的对称性函数的零点就
7、是其图象对称中心的横坐标4、B【答案解析】可解出集合，然后进行补集、交集的运算即可【题目详解】，则，因此，.故选：B.【答案点睛】本题考查补集和交集的运算，涉及一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.5、B【答案解析】首先由三视图还原几何体，进一步求出几何体的棱长【题目详解】解：根据三视图还原几何体如图所示，所以，该四棱锥体的最长的棱长为故选：B【答案点睛】本题主要考查由三视图还原几何体，考查运算能力和推理能力，属于基础题6、B【答案解析】根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可.【题目详解】令，有，所以或.又，所以或或或，所以函数的图象与函数的图象交点的横坐标的和，故
8、选B.【答案点睛】本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.7、A【答案解析】对复数进行乘法运算，并计算得到，从而得到虚部为2.【题目详解】因为，所以z 的虚部为2.【答案点睛】本题考查复数的四则运算及虚部的概念，计算过程要注意.8、B【答案解析】通过复数的模以及复数的代数形式混合运算，化简求解即可.【题目详解】复数满足，故选B.【答案点睛】本题主要考查复数的基本运算，复数模长的概念，属于基础题9、D【答案解析】根据所给的雷达图逐个选项分析即可.【题目详解】对于A，甲的数据分析素养为100分，乙的数据分析素养为80分，故甲的数据分析素养优于乙，故A正确；对于B
9、，乙的数据分析素养为80分，数学建模素养为60分，故乙的数据分析素养优于数学建模素养，故B正确；对于C，甲的六大素养整体水平平均得分为，乙的六大素养整体水平均得分为，故C正确；对于D，甲的六大素养中数学运算为80分，不是最强的，故D错误；故选：D【答案点睛】本题考查了样本数据的特征、平均数的计算，考查了学生的数据处理能力，属于基础题.10、D【答案解析】把5本书编号，然后用列举法列出所有基本事件计数后可求得概率【题目详解】3本不同的语文书编号为，2本不同的数学书编号为，从中任意取出2本，所有的可能为：共10个，恰好都是数学书的只有一种，所求概率为故选：D.【答案点睛】本题考查古典概型，解题方法
10、是列举法，用列举法写出所有的基本事件，然后计数计算概率11、A【答案解析】求出函数的导函数，令导数为零，根据函数单调性，求得极大值点即可.【题目详解】因为，故可得，令，因为，故可得或，则在区间单调递增，在单调递减，在单调递增，故的极大值点为.故选：A.【答案点睛】本题考查利用导数求函数的极值点，属基础题.12、D【答案解析】设圆柱的底面半径为,则其母线长为,由圆柱的表面积求出,代入圆柱的体积公式求出其体积,结合题中的结论即可求出该圆柱的内切球体积.【题目详解】设圆柱的底面半径为,则其母线长为,因为圆柱的表面积公式为，所以,解得,因为圆柱的体积公式为,所以,由题知,圆柱内切球的体积是圆柱体积的，
11、所以所求圆柱内切球的体积为.故选:D【答案点睛】本题考查圆柱的轴截面及表面积和体积公式;考查运算求解能力;熟练掌握圆柱的表面积和体积公式是求解本题的关键;属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【答案解析】求导得到，讨论和两种情况，计算时，函数在上单调递减，故，不符合，排除，得到答案。【题目详解】因为，所以，因为，所以.当，即时，则在上单调递增，从而，故符合题意；当，即时，因为在上单调递增，且，所以存在唯一的，使得.令，得，则在上单调递减，从而，故不符合题意.综上，的取值范围是.故答案为：.【答案点睛】本题考查了不等式恒成立问题，转化为函数的最值问题是解题的关键.14
12、、【答案解析】由向量平行的坐标表示得出，求解即可得出答案.【题目详解】因为，所以，解得.故答案为：【答案点睛】本题主要考查了由向量共线或平行求参数，属于基础题.15、8【答案解析】画出可行域和目标函数，根据平移计算得到答案.【题目详解】根据约束条件，画出可行域，图中阴影部分为可行域.又目标函数表示直线在轴上的截距，由图可知当经过点时截距最大，故的最大值为8.故答案为：.【答案点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.16、【答案解析】由圆柱外接球的性质，即可求得结果.【题目详解】解：由于圆柱的高和球半径均为2，,则球心到圆柱底面的距离为1，设圆柱底面半径为，由已知有，即圆柱的底面半径
13、为.故答案为：.【答案点睛】本题考查由圆柱的外接球的性质求圆柱底面半径，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）极大值，无极小值；（2）（3）见解析【答案解析】（1）先求导，根据导数和函数极值的关系即可求出；（2）先求导，再函数在区间上递增，分离参数，构造函数，求出函数的最值，问题得以解决；（3）取得到，取，可得，累加和根据对数的运算性和放缩法即可证明.【题目详解】解：（1）当时，设函数，则令，解得当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减所以当时，函数取得极大值，即极大值为，无极小值；（2）因为，所以，因为在区间上递增，所以在上恒成立，所以在区间
14、上恒成立当时，在区间上恒成立，当时，设，则在区间上恒成立所以在单调递增，则，所以，即综上所述（3）由（2）可知当时，函数在区间上递增，所以，即，取，则所以所以【答案点睛】此题考查了参数的取值范围以及恒成立的问题，以及不等式的证明，构造函数是关键，属于较难题.18、（1）；（2）【答案解析】（1）直接利用转换公式，把参数方程，直角坐标方程与极坐标方程进行转化；（2）利用极坐标方程将转化为三角函数求解即可.【题目详解】（1）因为，所以的普通方程为，又，的极坐标方程为，的方程即为，对应极坐标方程为.（2）由己知设，则，所以，又，当，即时，取得最小值；当，即时，取得最大值.所以，的取值范围为.【答案点睛】本题主要考查了直角坐标方程，参数方程与极