1、2023学年高考数学模拟测试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设i为虚数单位，若复数，则复数z等于( )ABCD02已知等差数列中，若，则此数列中一定为0的是（ ）ABCD3已知集合，则ABCD4已知函数，则下列结论错误的是( )A函数的最小正周期
2、为B函数的图象关于点对称C函数在上单调递增D函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到5设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）A若,则B若，,则C若,则D若,则6已知双曲线的离心率为，抛物线的焦点坐标为，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）ABCD7已知为圆：上任意一点，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为( )ABC（）D（）8在等差数列中，若，则（ ）A8B12C14D109设，则（ ）ABCD10已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于点、，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，三角形AOB的面积为，则p=（ ）A1BC2D311已知角的顶点与坐标原点重合，始
3、边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则的值为（ ）ABCD12已知集合，则（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13若双曲线的两条渐近线斜率分别为，若，则该双曲线的离心率为_.14（5分）已知曲线的方程为，其图象经过点，则曲线在点处的切线方程是_15如图，在正四棱柱中，P是侧棱上一点，且.设三棱锥的体积为，正四棱柱的体积为V，则的值为_.16若点为点在平面上的正投影，则记.如图，在棱长为1的正方体中，记平面为，平面为，点是线段上一动点，.给出下列四个结论：为的重心；当时，平面；当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为.其中，所有正确结论的序号是_.三、解答题：共70
4、分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）如图，已知四边形的直角梯形，BC，为线段的中点，平面，为线段上一点（不与端点重合）（1）若，（）求证：PC平面；（）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；（2）否存在实数满足，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，确定的值，若不存在，请说明理由18（12分）已知函数.（1）解不等式；（2）若，求证：.19（12分）设函数，（1）当，求不等式的解集；（2）已知，的最小值为1，求证：.20（12分）为贯彻十九大报告中“要提供更多优质生态产品以满足人民日益增长的优美生态环境需要”的要求，某生物小组通过抽样检测植物高度的方法来监测培育的某种植
5、物的生长情况现分别从、三块试验田中各随机抽取株植物测量高度，数据如下表（单位：厘米）： 组组组假设所有植株的生长情况相互独立从、三组各随机选株，组选出的植株记为甲，组选出的植株记为乙，组选出的植株记为丙（1）求丙的高度小于厘米的概率；（2）求甲的高度大于乙的高度的概率；（3）表格中所有数据的平均数记为从、三块试验田中分别再随机抽取株该种植物，它们的高度依次是、（单位：厘米）这个新数据与表格中的所有数据构成的新样本的平均数记为，试比较和的大小（结论不要求证明）21（12分）如图，三棱锥中，点，分别为，的中点，且平面平面求证：平面；若，求证：平面平面.22（10分）如图，四棱锥中，四边形是矩形，为
6、正三角形，且平面平面，、分别为、的中点.（1）证明：平面；（2）求几何体的体积.2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【答案解析】根据复数除法的运算法则，即可求解.【题目详解】.故选:B.【答案点睛】本题考查复数的代数运算，属于基础题.2、A【答案解析】将已知条件转化为的形式，由此确定数列为的项.【题目详解】由于等差数列中，所以，化简得，所以为.故选：A【答案点睛】本小题主要考查等差数列的基本量计算，属于基础题.3、C【答案解析】分析：根据集合可直接求解.详解：,故选C点睛：集合题
7、也是每年高考的必考内容，一般以客观题形式出现，一般解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最简形式，如果是“离散型”集合可采用Venn图法解决，若是“连续型”集合则可借助不等式进行运算.4、D【答案解析】由可判断选项A；当时，可判断选项B；利用整体换元法可判断选项C；可判断选项D.【题目详解】由题知，最小正周期，所以A正确；当时，所以B正确；当时，所以C正确；由的图象向左平移个单位，得，所以D错误.故选：D.【答案点睛】本题考查余弦型函数的性质，涉及到周期性、对称性、单调性以及图象变换后的解析式等知识，是一道中档题.5、C【答案解析】在A中，与相交或平行；在B中，或；在C中，由线面垂直的判定定理
8、得；在D中，与平行或【题目详解】设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则：在A中，若，则与相交或平行，故A错误；在B中，若，则或，故B错误；在C中，若，则由线面垂直的判定定理得，故C正确；在D中，若，则与平行或，故D错误故选C【答案点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题6、A【答案解析】求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解a，b关系，即可得到双曲线的渐近线方程【题目详解】抛物线y22px（p0）的焦点坐标为（1，0），则p2，又ep，所以e2，可得c24a2a2+b2，可得：ba，所以双曲线的渐近线方程为：y故选：A【答案点睛】本
9、题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，涉及抛物线的简单性质的应用7、B【答案解析】如图所示：连接，根据垂直平分线知，故轨迹为双曲线，计算得到答案.【题目详解】如图所示：连接，根据垂直平分线知，故，故轨迹为双曲线，故，故轨迹方程为.故选：.【答案点睛】本题考查了轨迹方程，确定轨迹方程为双曲线是解题的关键.8、C【答案解析】将，分别用和的形式表示，然后求解出和的值即可表示.【题目详解】设等差数列的首项为，公差为，则由，得解得，所以故选C【答案点睛】本题考查等差数列的基本量的求解，难度较易.已知等差数列的任意两项的值，可通过构建和的方程组求通项公式.9、D【答案解析】集合是一次不等式的解集
10、，分别求出再求交集即可【题目详解】，则故选【答案点睛】本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算，属于基础题10、C【答案解析】试题分析：抛物线的准线为，双曲线的离心率为2，则，渐近线方程为，求出交点，则；选C考点：1.双曲线的渐近线和离心率；2.抛物线的准线方程；11、B【答案解析】根据三角函数定义得到，故，再利用和差公式得到答案.【题目详解】角的终边过点，.故选：.【答案点睛】本题考查了三角函数定义，和差公式，意在考查学生的计算能力.12、A【答案解析】考虑既属于又属于的集合，即得.【题目详解】.故选：【答案点睛】本题考查集合的交运算，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分
11、，共20分。13、2【答案解析】由题得,再根据求解即可.【题目详解】双曲线的两条渐近线为,可令,则,所以,解得.故答案为：2.【答案点睛】本题考查双曲线渐近线求离心率的问题.属于基础题.14、【答案解析】依题意，将点的坐标代入曲线的方程中，解得.由，得，则曲线在点处切线的斜率，所以在点处的切线方程是，即15、【答案解析】设正四棱柱的底面边长，高，再根据柱体、锥体的体积公式计算可得.【题目详解】解：设正四棱柱的底面边长，高，则，即故答案为：【答案点睛】本题考查柱体、锥体的体积计算，属于基础题.16、【答案解析】点在平面内的正投影为点，而正方体的体对角线与和它不相交的的面对角线垂直，所以直线垂直于
12、平面，而为正三角形，可得为正三角形的重心，所以是正确的；取的中点，连接，则点在平面的正投影在上，记为，而平面平面，所以，所以正确；若设，则由可得，然后对应边成比例，可解，所以正确；由于，而的面积是定值，所以当点到平面的距离最大时，三棱锥的体积最大，而当点与点重合时，点到平面的距离最大，此时为棱长为的正四面体，其外接球半径，则球，所以错误.【题目详解】因为，连接，则有平面平面为正三角形，所以为正三角形的中心，也是的重心，所以正确；由平面，可知平面平面，记，由，可得平面平面，则，所以正确；若平面，则，设由得，易得，由，则，由得，解得，所以正确；当与重合时，最大，为棱长为的正四面体，其外接球半径，则
13、球，所以错误.故答案为：【答案点睛】此题考查立体几何中的垂直、平行关系，求几何体的体积，考查空间想象能力和推理能力，属于难题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（）证明见解析（）（2）存在，【答案解析】（1）（i）连接交于点，连接，依题意易证四边形为平行四边形，从而有，由此能证明PC平面（ii）推导出，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解；（2）设，求出平面的法向量，利用向量法求解.【题目详解】（1）（）证明：连接交于点，连接，因为为线段的中点，所以,因为，所以因为所以四边形为平行四边形所以又因为，所以又因为平面，平面，所以平面（）解：如图，在平行四边形中因为，所以以为原点建立空间直角坐标系则，所以， 平面的法向量为设平面的法向量为，则，即，取，得，设平面和平面所成的锐二面角为，则所以锐二面角的余弦值为（2）设所以，设平面的法向量为，则，取，得，因为直线与平面所成的角的正弦值为，所以解得所以存在满足，使得直线与平面所成的角的正弦值为.【答案点睛】此题二查线面平行的证明，考查锐二面角的余弦值的求法，考查满足线面角的正弦值的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线，线面，面面的位置关系等知识，考查了推理能力与计算能