1、第一讲 极限、无穷小与连续性 一、知识网络图 二、重点考核点 这部分的重点是： 掌握求极限的各种方法 掌握无穷小阶的比较及确定无穷小阶的方法 判断函数是否连续及确定间断点的类型（本质上是求极限） 复合函数、分段函数及函数记号的运算1 极限的重要性质 1不等式性质 设，且AB，则存在自然数N，使得当nN时有xnyn 设，且存在自然数N，当nN时有xnyn，则AB 作为上述性质的推论，有如下的保号性质：设，且A0，则存在自然数N，使得当nN时有xn0设，且存在自然数N，当nN时有xn0，则A0 对各种函数极限有类似的性质例如：设，且AB，则存在0，使得当有f（x）g（x）设，且存在0，使得当0xx
2、0时f（x）g（x），则AB 2有界或局部有界性性质 设，则数列xn有界，即存在M0，使得xnM（n = 1，2，3，） 设则函数f（x）在x = x0的某空心邻域中有界，即存在0和M0，使得当0xx0时有f（x）M对其他类型的函数极限也有类似的结论2 求极限的方法 1极限的四则运算法则及其推广 设，则 只要设存在或是无穷大量，上面的四则运算法则可以推广到除“”，“”，“0”，“”四种未定式以外的各种情形即： 1设，则.（）又B0，则2设，当xx0时局部有界，（即，使得时），则 设，当xx0时g（x）局部有正下界，（即$0，b0使得0x x0时g（x）b0），则 3设，则，又$0使得0x x0
3、时f（x）g（x）0，则 4设，xx0时g（x）局部有界，则（无穷小量与有界变量之积为无穷小） 2幂指函数的极限及其推广 设 只要设存在或是无穷大量,上面的结果可以推广到除“1”，“00”及“0”三种未定式以外的各种情形这是因为仅在这三个情况下是“0”型未定式 1设 = 0（0x时f（x）0），则 2设 = A0，A1， = + ，则 3设 = + ，则 用相消法求或型极限利用洛必达法则求极限分别求左、右极限的情形，分别求的情形利用函数极限求数列极限3 无穷小和它的阶 1无穷小、极限、无穷大及其联系 （1）无穷小与无穷大的定义 （2）极限与无穷小，无穷小与无穷大的关系 其中o（1）表示无穷小量
4、 在同一个极限过程中，u是无穷小量（u0）是无穷大量反之若u是无穷大量，则是无穷小量 2无穷小阶的概念 （1）定义 同一极限过程中，a（x），b（x）为无穷小， 设 定义 设在同一极限过程中a（x），b（x）均为无穷小，a（x）为基本无穷小，若存在正数k与常数使得 称b（x）是a（x）的k阶无穷小，特别有，称xx0时b（x）是（xx0）的k阶无穷小 （2）重要的等价无穷小x0时 sinx x，tanx x，（1 + x） x，ex1 x； ax1 xlna，arcsinx x，arctanx x；（1 + x）a1 ax，1cosx （3）等价无穷小的重要性质 在同一个极限过程中 1若a b，
5、b ga g 2 a ba = b + o（b） 3在求“”型与“0”型极限过程中等价无穷小因子可以替换4 连续性及其判断 1连续性概念 （1）连续的定义： 函数f（x）满足，则称f（x）在点x = x0处连续；f（x）满足（或，则称f（x）在x = x0处右（或左）连续 若f（x）在（a，b）内每一点连续，则称f（x）在（a，b）内连续；若f（x）在（a，b）内连续，且在x = a处右连续，在点x = b处左连续，则称f（x）在a，b上连续（2）单双侧连续性 f（x）在x = x0处连续 f（x）在x = x0处既左连续，又右连续 （3）间断点的分类： 设f（x）在点x = x0的某一空心邻
6、域内有定义，且x0是f（x）的间断点 若f（x）在点x = x0处的左、右极限f（x00）与f（x0 + 0）存在并相等，但不等于函数值f（x0）或f（x）在x0无定义，则称点x0是可去间断点；若f（x）在点x = x0处的左、右极限f（x00）与f（x0 + 0）存在但不等，则称点x0是跳跃间断点：它们统称为第一类间断点 若f（x）在点x = x0处的左、右极限f（x00）与f（x0 + 0）至少有一个不存在，则称点x0为第二类间断点 2函数连续性与间断点类型的判断： 若f（x）为初等函数，则f（x）在其定义域区间D上连续，即当开区间（a，b） D，则f（x）在（a，b）内连续；当闭区间c，
7、d D，则f（x）在c，d上连续若f（x）是非初等函数或不清楚它是否为初等函数，则用连续的定义和连续性运算法则（四则运算，反函数运算与复合运算）来判断当f（x）为分段函数时，在其分界点处则需按定义或分别判断左、右连续性 判断f（x）的间断点的类型，就是求极限 3有界闭区间a，b上连续函数的性质： 最大值和最小值定理：设f（x）在闭区间a，b上连续，则存在和a，b，使得 f（）f（x）f（），（axb） 有界性定理：设f（x）在闭区间a，b上连续，则存在M0，使得 f（x）M，（axb） 介值定理：设函数f（x）在闭区间a，b上连续，且f（a）f（b），则对f（a）与f（b）之间的任意一个数c，
8、在（a，b）内至少存在一点，使得 f（） = c 推论1（零值定理）：设f（x）在闭区间a，b上连续，且f（a）f（b）0，则在（a，b）内至少存在一点，使得 f（） = 0 推论2：设f（x）在闭区间a，b上连续，且m和M分别是f（x）在a，b上最小值和最大值，若mM，则f（x）在a，b上的值域为m，M第二讲 一元函数微分学的概念、计算及简单应用 一、知识网络图 二、重点考核点 这部分的重点是 导数与微分的定义、几何意义，讨论函数的可导性及导函数的连续性，特别是分段函数，可导与连续的关系 按定义或微分法则求各种类型函数的一、二阶导数或微分（包括：初等函数，幂指数函数，反函数，隐函数，变限积分
9、函数，参数式，分段函数及带抽象函数记号的复合函数），求n阶导数表达式 求平面曲线的切线与法线，描述某些物理量的变化率 导数在经济领域的应用如“弹性”，“边际”等（只对数三，数四）1 一元函数微分学中的基本概念及其联系 1可导与可微的定义及其联系 2几何意义与力学意义是曲线y = f（x）在点（x0，f(x0）处切线的斜率 是相应于Dx该切线上纵坐标的增量 质点作直线运动，t时刻质点的坐标为x = x(t），是t = t0时刻的速度 3单侧导数与双侧导数 f（x）在x = x0可导均存在且相等 此时 2 一元函数求导法 反函数求导法： 设f（x）在区间Ix可导，值域区间为Iy，则它的反函数x =
10、j（y）在Iy可导且 变限积分求导法： 设函数f（x）在a，b上连续，则在a，b上可导，且 ，（axb） 设在c，d上连续，当x a，b时函数u（x），v（x）可导，且的值域不超出c，d，则在a，b上可导，且 ，（axb）隐函数求导法：分段函数求导法1没说明对常数a，b，x3时f（x）均可导 2先由x = 3处可导求出a值，再由连续性求出b值请看以下错误表达： “因 由得a = 6再由连续性 f（3 + 0） = f（30）即 9 = 3a + b，b=9” 错误在于当3a + b9时不存在，也不可能有 f（3 + 0）= f（30）不能保证f（x）在x = 3连续仅当f（3 + 0） = f
11、（30）= f（3）时才能保证x = 3连续 必须先由连续性定出3a + b = 9，在此条件下就可得 高阶导数与n阶导数的求法 常见的五个函数的n阶导数公式： 第三讲 一元函数积分学 一、知识网络图 二、重点考核点 这部分的重点是： 不定积分、原函数及定积分概念，特别是定积分的主要性质 两个基本公式：牛顿莱布尼兹公式，变限积分及其导数公式 熟记基本积分表，掌握分项积分法、分段积分法、换元积分法和分部积分法计算各类积分 反常积分敛散性概念与计算 定积分的应用1 一元函数积分学的基本概念与基本定理 1原函数与不定积分的概念及性质： （1）定义 若F（x）的导函数在某区间上成立，则称F（x）是f（
12、x）在该区间上的一个原函数：f（x）的全体原函数称为f（x）的不定积分，记为 （2）原函数与不定积分的关系 若已知F（x）是f（x）的一个原函数，则 其中C是任意常数 （3）求不定积分与求导是互为逆运算的关系，即 其中C也是任意常数 （4）不定积分的基本性质： 2定积分的概念与性质： （1）定义设，若对任何存在，则称f（x）在a，b上可积，并称此极限值为f（x）在a，b上的定积分，记为 定积分的值与积分变量的名称无关，即把积分变量x换为t或u等其他字母时，有 另外，约定 （2）可积性条件 可积的必要条件：若f（x）在a，b上可积，则f（x）在a，b上有界 可积函数类（可积的充分但非必要的条件）： 1f（x）在a，b上连续，则f（x）在a，b上可积； 2f（x）在a，b上有界且仅有有限个间断点，则f（x）在a，b上可积 （3）定积分的几何意义： 设f（x）在a，b上连续，则表示界于x轴、曲线y = f（x）以及直线x = a