1、第一讲 极限、无穷小与连续性 一、知识网络图 二、重点考核点 这部分的重点是: 掌握求极限的各种方法 掌握无穷小阶的比较及确定无穷小阶的方法 判断函数是否连续及确定间断点的类型(本质上是求极限) 复合函数、分段函数及函数记号的运算1 极限的重要性质 1不等式性质 设,且AB,则存在自然数N,使得当nN时有xnyn 设,且存在自然数N,当nN时有xnyn,则AB 作为上述性质的推论,有如下的保号性质:设,且A0,则存在自然数N,使得当nN时有xn0设,且存在自然数N,当nN时有xn0,则A0 对各种函数极限有类似的性质例如:设,且AB,则存在0,使得当有f(x)g(x)设,且存在0,使得当0xx
2、0时f(x)g(x),则AB 2有界或局部有界性性质 设,则数列xn有界,即存在M0,使得xnM(n = 1,2,3,) 设则函数f(x)在x = x0的某空心邻域中有界,即存在0和M0,使得当0xx0时有f(x)M对其他类型的函数极限也有类似的结论2 求极限的方法 1极限的四则运算法则及其推广 设,则 只要设存在或是无穷大量,上面的四则运算法则可以推广到除“”,“”,“0”,“”四种未定式以外的各种情形即: 1设,则.()又B0,则2设,当xx0时局部有界,(即,使得时),则 设,当xx0时g(x)局部有正下界,(即$0,b0使得0x x0时g(x)b0),则 3设,则,又$0使得0x x0
3、时f(x)g(x)0,则 4设,xx0时g(x)局部有界,则(无穷小量与有界变量之积为无穷小) 2幂指函数的极限及其推广 设 只要设存在或是无穷大量,上面的结果可以推广到除“1”,“00”及“0”三种未定式以外的各种情形这是因为仅在这三个情况下是“0”型未定式 1设 = 0(0x时f(x)0),则 2设 = A0,A1, = + ,则 3设 = + ,则 用相消法求或型极限利用洛必达法则求极限分别求左、右极限的情形,分别求的情形利用函数极限求数列极限3 无穷小和它的阶 1无穷小、极限、无穷大及其联系 (1)无穷小与无穷大的定义 (2)极限与无穷小,无穷小与无穷大的关系 其中o(1)表示无穷小量
4、 在同一个极限过程中,u是无穷小量(u0)是无穷大量反之若u是无穷大量,则是无穷小量 2无穷小阶的概念 (1)定义 同一极限过程中,a(x),b(x)为无穷小, 设 定义 设在同一极限过程中a(x),b(x)均为无穷小,a(x)为基本无穷小,若存在正数k与常数使得 称b(x)是a(x)的k阶无穷小,特别有,称xx0时b(x)是(xx0)的k阶无穷小 (2)重要的等价无穷小x0时 sinx x,tanx x,(1 + x) x,ex1 x; ax1 xlna,arcsinx x,arctanx x;(1 + x)a1 ax,1cosx (3)等价无穷小的重要性质 在同一个极限过程中 1若a b,
5、b ga g 2 a ba = b + o(b) 3在求“”型与“0”型极限过程中等价无穷小因子可以替换4 连续性及其判断 1连续性概念 (1)连续的定义: 函数f(x)满足,则称f(x)在点x = x0处连续;f(x)满足(或,则称f(x)在x = x0处右(或左)连续 若f(x)在(a,b)内每一点连续,则称f(x)在(a,b)内连续;若f(x)在(a,b)内连续,且在x = a处右连续,在点x = b处左连续,则称f(x)在a,b上连续(2)单双侧连续性 f(x)在x = x0处连续 f(x)在x = x0处既左连续,又右连续 (3)间断点的分类: 设f(x)在点x = x0的某一空心邻
6、域内有定义,且x0是f(x)的间断点 若f(x)在点x = x0处的左、右极限f(x00)与f(x0 + 0)存在并相等,但不等于函数值f(x0)或f(x)在x0无定义,则称点x0是可去间断点;若f(x)在点x = x0处的左、右极限f(x00)与f(x0 + 0)存在但不等,则称点x0是跳跃间断点:它们统称为第一类间断点 若f(x)在点x = x0处的左、右极限f(x00)与f(x0 + 0)至少有一个不存在,则称点x0为第二类间断点 2函数连续性与间断点类型的判断: 若f(x)为初等函数,则f(x)在其定义域区间D上连续,即当开区间(a,b) D,则f(x)在(a,b)内连续;当闭区间c,
7、d D,则f(x)在c,d上连续若f(x)是非初等函数或不清楚它是否为初等函数,则用连续的定义和连续性运算法则(四则运算,反函数运算与复合运算)来判断当f(x)为分段函数时,在其分界点处则需按定义或分别判断左、右连续性 判断f(x)的间断点的类型,就是求极限 3有界闭区间a,b上连续函数的性质: 最大值和最小值定理:设f(x)在闭区间a,b上连续,则存在和a,b,使得 f()f(x)f(),(axb) 有界性定理:设f(x)在闭区间a,b上连续,则存在M0,使得 f(x)M,(axb) 介值定理:设函数f(x)在闭区间a,b上连续,且f(a)f(b),则对f(a)与f(b)之间的任意一个数c,
8、在(a,b)内至少存在一点,使得 f() = c 推论1(零值定理):设f(x)在闭区间a,b上连续,且f(a)f(b)0,则在(a,b)内至少存在一点,使得 f() = 0 推论2:设f(x)在闭区间a,b上连续,且m和M分别是f(x)在a,b上最小值和最大值,若mM,则f(x)在a,b上的值域为m,M第二讲 一元函数微分学的概念、计算及简单应用 一、知识网络图 二、重点考核点 这部分的重点是 导数与微分的定义、几何意义,讨论函数的可导性及导函数的连续性,特别是分段函数,可导与连续的关系 按定义或微分法则求各种类型函数的一、二阶导数或微分(包括:初等函数,幂指数函数,反函数,隐函数,变限积分
9、函数,参数式,分段函数及带抽象函数记号的复合函数),求n阶导数表达式 求平面曲线的切线与法线,描述某些物理量的变化率 导数在经济领域的应用如“弹性”,“边际”等(只对数三,数四)1 一元函数微分学中的基本概念及其联系 1可导与可微的定义及其联系 2几何意义与力学意义是曲线y = f(x)在点(x0,f(x0)处切线的斜率 是相应于Dx该切线上纵坐标的增量 质点作直线运动,t时刻质点的坐标为x = x(t),是t = t0时刻的速度 3单侧导数与双侧导数 f(x)在x = x0可导均存在且相等 此时 2 一元函数求导法 反函数求导法: 设f(x)在区间Ix可导,值域区间为Iy,则它的反函数x =
10、j(y)在Iy可导且 变限积分求导法: 设函数f(x)在a,b上连续,则在a,b上可导,且 ,(axb) 设在c,d上连续,当x a,b时函数u(x),v(x)可导,且的值域不超出c,d,则在a,b上可导,且 ,(axb)隐函数求导法:分段函数求导法1没说明对常数a,b,x3时f(x)均可导 2先由x = 3处可导求出a值,再由连续性求出b值请看以下错误表达: “因 由得a = 6再由连续性 f(3 + 0) = f(30)即 9 = 3a + b,b=9” 错误在于当3a + b9时不存在,也不可能有 f(3 + 0)= f(30)不能保证f(x)在x = 3连续仅当f(3 + 0) = f
11、(30)= f(3)时才能保证x = 3连续 必须先由连续性定出3a + b = 9,在此条件下就可得 高阶导数与n阶导数的求法 常见的五个函数的n阶导数公式: 第三讲 一元函数积分学 一、知识网络图 二、重点考核点 这部分的重点是: 不定积分、原函数及定积分概念,特别是定积分的主要性质 两个基本公式:牛顿莱布尼兹公式,变限积分及其导数公式 熟记基本积分表,掌握分项积分法、分段积分法、换元积分法和分部积分法计算各类积分 反常积分敛散性概念与计算 定积分的应用1 一元函数积分学的基本概念与基本定理 1原函数与不定积分的概念及性质: (1)定义 若F(x)的导函数在某区间上成立,则称F(x)是f(
12、x)在该区间上的一个原函数:f(x)的全体原函数称为f(x)的不定积分,记为 (2)原函数与不定积分的关系 若已知F(x)是f(x)的一个原函数,则 其中C是任意常数 (3)求不定积分与求导是互为逆运算的关系,即 其中C也是任意常数 (4)不定积分的基本性质: 2定积分的概念与性质: (1)定义设,若对任何存在,则称f(x)在a,b上可积,并称此极限值为f(x)在a,b上的定积分,记为 定积分的值与积分变量的名称无关,即把积分变量x换为t或u等其他字母时,有 另外,约定 (2)可积性条件 可积的必要条件:若f(x)在a,b上可积,则f(x)在a,b上有界 可积函数类(可积的充分但非必要的条件): 1f(x)在a,b上连续,则f(x)在a,b上可积; 2f(x)在a,b上有界且仅有有限个间断点,则f(x)在a,b上可积 (3)定积分的几何意义: 设f(x)在a,b上连续,则表示界于x轴、曲线y = f(x)以及直线x = a