1、专题05 整式中的两种规律探索问题类型一、数字类规律探索例.观察：（x1）（x+1）x21，（x1）（x2+x+1）x31，（x1）（x3+x2+x+1）x41，据此规律，当（x1）（x5+x4+x3+x2+x+1）0时，代数式x20191的值为 _【答案】0或2【详解】解：根据题意得 （x1）（x+1）x21，（x1）（x2+x+1）x31，（x1）（x3+x2+x+1）x41，（x1）（x5+x4+x3+x2+x+1）x61（x1）（x5+x4+x3+x2+x+1）0，x610，解得：x1或x1，则x201910或2，故答案为：0或2【变式训练1】a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，
2、如2的差倒数为，1的差倒数为，已知，是差倒数，是差倒数，是差倒数，以此类推，的值是（ ）A5BCD【答案】B【解析】 ， 是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，根据规律可得以，为周期进行循环，因为202167332，所以故选B【变式训练2】有2021个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间数等于前后两数的和，如果第一个数是0，第二个数是1， 那么前6个数的和是_， 这2021个数的和是_【答案】0 1 【解析】由题意得：第3个数是，第4个数是，第5个数是，第6个数是，则前6个数的和是，第7个数是，第8个数是，归纳类推得：这2021个数是按循环往复的，且前6个数的和是0，这2021个数的和与前
3、5个数的和相等，即为，故答案为：0，1【变式训练3】有一列数，那么第n个数为_【答案】【详解】解：，由此发现：第n个数为故答案为：【变式训练4】杨辉三角又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角：按照前面的规律，则的展开式中从左起第三项为_【答案】【详解】解：根据题意，=，的展开式中从左起第三项为，故答案为：类型二、图形类规律探索例.如图，两条直线相交，有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有_个交点，n条直线相交最多有_个交点【答案】 6 【详解】解： 如图，两条直线相交最多有1个交点，即；三条直线相交最多有3个交点，即；四条直线相交最多有
4、6个交点，即，五条直线相交最多有10个交点，即，n条直线两两相交，最多有个交点（n为正整数，且n2）故答案为6；【变式训练1】如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第_个图形共有45个小球【答案】9【详解】解：第1个图中有1个小球，第2个图中有3个小球，3=1+2，第3个图中有6个小球，6=1+2+3，第4个图中有10个小球，10=1+2+3+4，照此规律，第n个图形有1+2+3+4+n=n（1+n）个小球，n（1+n）=45，解得n=9或-10（舍去），故答案为：9【变式训练2】为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛如图所示：按照上面的规律，摆第n个
5、“金鱼”和第(n1)个“金鱼”需用火柴棒的根数为130根，则n的值为_【答案】10【详解】解：由题可知：第n个图形有(6n+2)根火柴棒，第(n+1)个图形有(6n+8)根火柴棒，摆第n个“金鱼”和第(n1)个“金鱼”需用火柴棒的根数为130根，6n+2+6n+8=130，解得n=10故答案为：10【变式训练3】如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第10层中含有正三角形个数为_个，第层含有正三角形个数为_个【答案】114 【解析】根据题意分析可得
6、：从里向外的第1层包括6个正三角形，第2层包括18个正三角形，此后，每层都比前一层多12个，依此递推，第10层中含有正三角形个数是6+129=114个，则第n层中含有正三角形个数是6+12（n-1）=个，故答案为：114，【变式训练4】观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，用6064个五角星摆出的图案应该是第_个图形【答案】2021【解析】观察发现，第1个图形五角星的个数是：1+34，第2个图形五角星的个数是：1+327，第3个图形五角星的个数是：1+3310，第4个图形五角星的个数是：1+3413，第n个图形五角星的个数是：1+3n1+3n，用6064个五角星摆出的图案应该是第2
7、021个图形，故答案为：2021课后训练1下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第1个图有3张黑色正方形纸片，第2个图有5张黑色正方形纸片，第3个图有7张黑色正方形纸片，按此规律排列下去，若第n个图中有201张黑色正方形纸片，则n的值为（）A99B100C101D102【答案】B【详解】解：观察图形知：第一个图中有3=1+21个正方形，第二个图中有5122个正方形，第三个图中有7122个正方形，故第n个图中有12n2n+1=201（个）正方形，解得n=100故选B2如图，将若干颗棋子按箭头方向依次摆放，记第一颗棋子摆放的位置为第1列第1排，第二颗棋子摆放的位置为第2列第1排，第三颗棋
8、子摆放的位置为第2列第2排，按此规律摆放在第16列第8排的是第（）颗棋子A85B86C87D88【答案】B【详解】偶数列数与排数表：偶数列数排数22436485n当n=16时，排数为：，前16列共有棋子：（颗），第16列第8排的棋子位次是：87-1=86故选B3将一正方形按如图方式分成个完全相同的长方形，上、下各横排三个，中间两行各竖排若干个，则的值为（）A12B16C18D20【答案】C【详解】解：设长方形的长为a，宽为b， 根据题意得，2a+2b=3a， 整理得，a=2b， 竖排的一行的长方形的个数为3ab=（32b）b=6， n=32+62=6+12=18 故选：C4幻方是古老的数学问题
9、，我国古代的洛书中记载了最早的幻方九宫格将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方图（2）是一个未完成的幻方，则与的和是（）A9B10C11D12【答案】D【详解】解：设如图表所示：根据题意可得：x+6+20=22+z+y，整理得：x-y=-4+z，x+22+n=20+z+n，20+y+m=x+z+m，整理得：x=-2+z，y=2z-22，x-y=-2+z-(2z-22)=-4+z，解得：z=12，x+y=3z-24=12故选：D5如图，按此规律，第6行最后一个数字是_，第_行最后一个数是2020【答案】16 674 【详解】 每
10、一行的最后一个数字分别是1,4,7,10 ,，第n行的最后一个数字为：，第6行最后一个数字为：；，解得：，故答案为：16,6746如图，每个图形中的三个数之间均具有相同的规律根据此规律，若图形中，则的值为_【答案】【详解】解：1（2+1）=3，3（4+1）=15，5（6+1）=35，右下圆圈内的数=上方圆圈内的数（左下圆圈内的数+1），M=m（n+1），M=11(12+1)=143故答案为：1437为了求的值，可令，则，因此，所以按照以上推理计算出的值是_【答案】【详解】解：令，则，因此，则，得：，所以故答案为：8今年“10.1”黄金周，适逢祖国70大庆，广西柳州赛长桌宴，民族风情浓郁，吸引了
11、大量游客如果长桌宴按下图方式就坐（其中代表桌子，代表座位），则拼接n（n为正整数）张桌子时，最多可就坐_人【答案】（6n+2）【详解】解：根据图示知，拼1张桌子，可以坐（2+6）人拼2张桌子，可以坐2+（62）人拼3张桌子，可以坐2+（63）人拼接n（n为正整数）张桌子，可以坐（6n+2）人故答案是：（6n+2）9在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2012年8月份的日历我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交又相乘，再相减，例如：，不难发现，结果都是72012年8月日一二三四五六123456789101112131415161718192021222
12、32425262728293031（1）请你再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律；（2）换一个月的月历试一下，是否有同样的规律？（3）请你利用整式的运算对以上的规律加以证明【答案】（1），符合；（2）；（3）见解析【详解】解：（1）由题意得：，符合；（2）；答：换一个月的月历试一下还是同样的规律；（3）设上边第一个数为x，则其后的数为（x+1），第二行的两个数分别为（x+7），（x+8），根据题意，得10（1）你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？第5个图形中应该有多少个小圆圈？为什么？（2）完成下表：边上的小圆圈数12345每个图中小圆圈的总数（3）如果用n表示六边形边上的小
13、圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么？【答案】（1）第1个图形：1个；第2个图形：7个；第3个图形：19个；第4个图形：37个；第5个图形：61个，理由见解析；（2）1，7，19，37，61；（3）【详解】（1）观察每个图形的特点，就可以算出第1个图形的小圆圈有1个，第2个图形的小圆圈有2+3+2=7个，第3个图形的小圆圈有3+4+5+4+3=19个，第4个图形的小圆圈有4+5+6+7+6+5+4=37个，由此可推知第5个图形的小圆圈有5+6+7+8+9+8+7+6+5=61个；（2）将（1）算出的结果填入下列表格，如下表所示，边上的小圆圈数12345每个图中小圆圈的
14、总数17193761（3）结合（1）（2）可知，与之间的函数关系为：首尾相加得11对任意一个四位正整数m，如果m的百位数字等于个位数字与十位数字之和，m的千位数字等于十位数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数m为“筋斗数”例如：m5321，满足123，2215，所以5321是“筋斗数”例如：m8523，满足235，但22378，所以8523不是“筋斗数”(1)判断9633和2642是不是“筋斗数”，并说明理由；(2)若m是“筋斗数”，且m与13的和能被11整除，求满足条件的所有“筋斗数”m【答案】(1)9633是“筋斗数”；2642不是“筋斗数”； 理由见解析(2)m的值为9909或2110或
15、6422【解析】(1)解：9633是“筋斗数”，2642不是“筋斗数”，理由如下：6=3+3，9=23+3，9633是“筋斗数”；6=4+2，2642不是“筋斗数”；(2)设m的个位数为a，0a9，十位数为0b9，且a、b为整数是“筋斗数”，m的百位数为a+b，千位数为2b+a；m=1000（2b+a）+100（a+b）+10b+a=1100a+110b+2000b+a与13的和能被11整除，1100a+110b+2000b+a+13能被11整除，2b+a9且a、b为整数，b4.51100a+110b能被11整除，2000b+a+13能被11整除，b=0，a=9或b=1，a=0或b=2，a=2
16、或b=3，a=4，或b=4，a=6，a+b=9，2b+a=9或a+b=1，2b+a=2或a+b=4，2b+a=6或a+b=7，2b+a=10（舍去）或a+b=10，2b+a=14（舍去），的值为9909或2110或642212看图填空：如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形等分成两个面积为的长方形，再把面积为的长方形等分成面积为的长方形，如此进行下去(1)试利用图形揭示的规律计算：_并使用代数方法证明你的结论(2)请给利用图（2），再设计一个能求：的值的几何图形【答案】(1) ，证明见解析；(2)见解析【解析】(1)解：由题意可知当最后一个小长方形的面积为时 ，的值为正方形面积减去最后一个小长方形面积，即： ，；设 ， ，即，；(2)如图所示，将面积为1的正方形等分成两个面积为的三角形，接着把面积为的三角形等分成两个面积为的三角形，再把面积为的三角形等分成面积为的三角形，如此进行下去，则的值即为正方形面积减去最后一个小三角形面积：