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2020届上海市静安区高三上学期第一次模拟考试(期末)数学试题(PDF版).pdf

1、-1-静安区静安区 2019 学年第学年第一一学期学期教学质量检测教学质量检测 高三数学试卷高三数学试卷 2019.122019.12 一、填空一、填空题题:(本大题:(本大题 1212 小题,小题,1 1-6 6 每题每题 4 分分,7-12 每题每题 5 分,共分,共 54 分)分)1.计算lim(1 0.9)nn_.【答案】1【解析】lim(1 0.9)nn1 2.双曲线在单位圆中,60o的圆心角所对的弧长为_.【答案】3【解析】23lr 3.若直线1l和直线2l的倾斜角分别为32o和152o则1l与2l的夹角为_.【答案】60o【解析】1801523260oooo 4.若直线l的一个法

2、向量为(2,1)n r,则若直线l的斜率k _.【答案】2【解析】(2,1)n r,则单位向量(1,2)d u r,221k 5.设某种细胞每隔一小时就会分裂一次,每隔细胞分裂为两个细胞,则7小时后,1个此种细胞将分裂为_个.【答案】128【解析】71 2128 6.设ABC是等腰直角三角形,斜边2AB,现将ABC(及其内部)绕斜边AB所在的直线旋转一周形成一个旋转体,则该旋转体的体积为_.【答案】23【解析】22112(2)333r 7.如图,在平行四边形ABCD中,2AB,1AD,则AC BDuuu r uuu r的值为_.-2-【答案】-3【解析】()()1 4-3AC BDABAD A

3、DAB uuu r uuu ruuu ruuu r uuu ruuu r 8.三倍角的正切公式为tan3_.【答案】【解析】322tantantan31 3tan.9.设集合A共有 6 个元素,用这全部的 6 个元素组成的不同矩阵的个数为_.【答案】2880【解析】4 种类型的矩阵6642880P 10.现 将 函 数s e c,(0,)yx x的 反 函 数 定 义 为 正 反 割 函 数,记 为:secyarcx.则sec(4)arc_.(请保留两位小数)【答案】1.82【解析】cosy,(0,)x,故可知4cost,arccos(1.824t).11.设双曲线222xyaa的两个焦点为2

4、F、F,点P在双曲线上,若2PFPF,则点P到坐标原点O的距离的最小值为_.【答案】32【解析】22caa,12a 时,可知min32c.12.设0,0,0aaMN,我们可以证明对数的运算性质如下:loglogloglogaaaaMNMNaaaMNQ,logloglogaaaMNMN.我们将式称为证明的“关键步骤”.则证明loglograaMrM(其中0,MrR)的“关键步骤”为_.【答案】loglograaMrM【解析】,loglog()aaMrMrraaMQ,loglograaMrM.二、二、选择题选择题 -3-13.“三个实数,a b c成等差数列”是“2bac”的 ()A.充分不必要条

5、件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为三个实数,a b c成等差数列”,所以2bac.14.设,x yR,若复数xiyi是纯虚数,则点(,)p x y一定满足 ()A.yx B.yx C.yx D.yx 【答案】B【解析】2221()()()()()()xxi yixyxy ixyxy iyiyi yiyyy,并且1xyi为纯虚数,则0 xy,1yx.15.若展开()(2)(3)(4)(5)aaaaa,则展开式中3a的系数等于 ()A.在2 3 4 5,中所有任取两个不同的数的乘积之和;B.在2 3 4 5,中所有任取三个不同的数的乘积之和;C.在

6、2 3 4 5,中所有任取四个不同的数的乘积之和;D.以上结论都不对.【答案】A【解析】由二项式定理可知展开式中3a的系数等于在2 3 4 5,中所有任取两个不同的数的乘积之和.16.某人驾驶一艘小游艇位于湖面A处,测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东2o方向,且塔顶的仰角为8o,此人驾驶游艇向正东方向行驶 1000 米后到达B处,此时测得塔底位于北偏西39o方向,则该塔的高度约为 ()A.265 米 B.279 米 C.292 米 D.306 米【答案】C【解析】000sin5sin60 cos69 tan87292.728oooo米.三三.解答题解答题(本大题共(本大题共 5 题,共题,共 1

7、4+14+14+16+18=76 分)分)17.(本题满分本题满分 1212 分,第分,第 1 1 小题小题 6 6 分,第分,第 2 2 小题小题 8 8 分)分)如图,在正六棱锥PABCDEF中,已知底边为 2,侧棱与底面所成角为60.-4-(1)求该六棱锥的体积V;(2)求证:PACE 【答案】(1)12;(2)见解析.【解析】(1)连接BE、AD,设交点为O,连接PO PABCDEFQ为正六棱锥 ABCDEF为正六边形 侧棱与底面所成角即PBO 2 3PO 116 3 2 31233VS h (2)PO Q面ABCDEF,CE 面ABCDEF P OC E Q底面为正六边形 A OC

8、E QA OP OO CE面PAO QPA面PAO C EP A 18.(本题满分本题满分 1414 分,第分,第 1 1 小题小题 7 7 分,第分,第 2 2 小题小题 7 7 分)分)请解答以下问题,要求解决两个问题的方法不同.(1)如图 1,要在一个半径为 1 米的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD,如何截取?并求出这个最大矩形的面积.(2)如图 2,要在一个长半轴为 2 米,短半轴为 1 米的半个椭圆铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD,如何截取?并求出这个最大矩形的面积.图 1 图 2 【答案】(1)1(2)2【解析】(1)设(01)OAxx,1OD Q 21ADx 221

9、Sxx -5-22211122xxxx Q 当且仅当21xx,即22x 时等号成立 1212S(3)椭圆方程为221(01)4xyy 设(2cos,sin)0,C 2 2cossin2sin2S 当且仅当sin1,即4时取得最大值 面积最大值为 2,此时2OB,22BC.19.19.(本题满分本题满分 1414 分,第分,第 1 1 小题小题 6 6 分,第分,第 2 2 小题小题 8 8 分)分)设na是等差数列,公差为d,前n项和为nS.(1)设140a,638a,求nS的最大值.(2)设11a,*2()nanbnN,数列nb的前n项和为nT,且对任意的*nN,都有20nT,求d的取值范围

10、.【答案】(1)2020(2)29-,log10【解析】(1)有等差数列可知,1(1)naand,由140a,638a 可知d=2-5,由240(1)05nan可得,101n,所以当n=100 或者n=101 时取得最大值,由公式可知为 2020.(2)设1(1)nad n,得122(2)naddnnb,可知nb为等比数列,Q对任意的*nN,都有20nT 12lim201 21 2nddbT恒成立且21d d 29-,log10 -6-20.20.(本题满分(本题满分 1818 分,第分,第 1 1 小题小题 5 5 分,第分,第 2 2 小题小题 6 6 分,第分,第 3 3 小题小题 7

11、7 分)分)已知抛物的准线方程为02 yx.焦点为 1,1F.(1)求证:抛物线上任意一点P的坐标yx,都满足方程:;088222yxyxyx(2)请支出抛物线的对称性和范围,并运用以上方程证明你的结论;(3)设垂直于x轴的直线与抛物线交于BA、两点,求线段AB的中点M的轨迹方程.【答案】(1)见解析(2)关于xy 对称1,1-yx。(3)4 xy(在抛物线内)【解析】(1)根据定义得:221122yxyx;088222yxyxyx啊(2)将yx,对称互换方程没有发生变化,若yxP,在图像上xyP,也在图像上,所以图像关于xy 对称,10088222yyyxyx,1x同(3)设 2211,yx

12、ByxA,4,088222ttMyxyxyxtx所以中点的轨迹方程是4 xy(在抛物线内)21.21.(本题满分(本题满分 1818 分,第分,第 1 1 小题小题 5 5 分,第分,第 2 2 小题小题 6 6 分,第分,第 3 3 小题小题 7 7 分)分)现定义:设a是非零实常数,若对于任意的Dx,都有xafxaf,则称函数 xfy 为“关于的a偶型函数”(1)请以三角函数为例,写出一个“关于 2 的偶型函数”的解析式,并给予证明(2)设定义域为的“关于的a偶型函数”在区间a,-上单调递增,求证在区间,a上单调递减(3)设定义域为R的“关于21的偶型函数”xfy 是奇函数,若*Nn,请猜

13、测 nf的值,并用数学归纳法证明你的结论【答案】(1)2cosxy答案不唯一 (2)证明见解析(3)0nf【解析】(1)xfxfxxfxxfxy22cos2),cos()2(2cos,的(2)xfxafxafxaf2.任取axaxaaxx,22,2121啊因为函数在a,-单调递增,所以 212122xfxfxafxaf.所以函数在,a上单调递减(3)猜测 xfy 数学归纳法:-7-1.当1n时 102121ffxfxf因为 xfy 是奇函数,所以 01 f得证 2.假设当*Nkkn,0kf成立,因为xfxfxfxf12121,又因为奇函数所以 xfxfxfxf1,所以当*1Nkkn时,01kfkf,所以得证。

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