1、-1-静安区静安区 2019 学年第学年第一一学期学期教学质量检测教学质量检测 高三数学试卷高三数学试卷 2019.122019.12 一、填空一、填空题题：（本大题：（本大题 1212 小题，小题，1 1-6 6 每题每题 4 分分，7-12 每题每题 5 分，共分，共 54 分）分）1.计算lim(1 0.9)nn_.【答案】1【解析】lim(1 0.9)nn1 2.双曲线在单位圆中，60o的圆心角所对的弧长为_.【答案】3【解析】23lr 3.若直线1l和直线2l的倾斜角分别为32o和152o则1l与2l的夹角为_.【答案】60o【解析】1801523260oooo 4.若直线l的一个法
2、向量为(2,1)n r，则若直线l的斜率k _.【答案】2【解析】(2,1)n r，则单位向量(1,2)d u r，221k 5.设某种细胞每隔一小时就会分裂一次，每隔细胞分裂为两个细胞，则7小时后，1个此种细胞将分裂为_个.【答案】128【解析】71 2128 6.设ABC是等腰直角三角形，斜边2AB,现将ABC（及其内部）绕斜边AB所在的直线旋转一周形成一个旋转体，则该旋转体的体积为_.【答案】23【解析】22112(2)333r 7.如图，在平行四边形ABCD中，2AB，1AD,则AC BDuuu r uuu r的值为_.-2-【答案】-3【解析】()()1 4-3AC BDABAD A
3、DAB uuu r uuu ruuu ruuu r uuu ruuu r 8.三倍角的正切公式为tan3_.【答案】【解析】322tantantan31 3tan.9.设集合A共有 6 个元素，用这全部的 6 个元素组成的不同矩阵的个数为_.【答案】2880【解析】4 种类型的矩阵6642880P 10.现 将 函 数s e c,(0,)yx x的 反 函 数 定 义 为 正 反 割 函 数，记 为：secyarcx.则sec(4)arc_.（请保留两位小数）【答案】1.82【解析】cosy，(0,)x，故可知4cost，arccos(1.824t）.11.设双曲线222xyaa的两个焦点为2
4、F、F，点P在双曲线上，若2PFPF，则点P到坐标原点O的距离的最小值为_.【答案】32【解析】22caa,12a 时，可知min32c.12.设0,0,0aaMN，我们可以证明对数的运算性质如下：loglogloglogaaaaMNMNaaaMNQ，logloglogaaaMNMN.我们将式称为证明的“关键步骤”.则证明loglograaMrM（其中0,MrR）的“关键步骤”为_.【答案】loglograaMrM【解析】,loglog()aaMrMrraaMQ,loglograaMrM.二、二、选择题选择题 -3-13.“三个实数,a b c成等差数列”是“2bac”的 （）A.充分不必要条
5、件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为三个实数,a b c成等差数列”，所以2bac.14.设,x yR，若复数xiyi是纯虚数，则点(,)p x y一定满足 （）A.yx B.yx C.yx D.yx 【答案】B【解析】2221()()()()()()xxi yixyxy ixyxy iyiyi yiyyy，并且1xyi为纯虚数，则0 xy，1yx.15.若展开()(2)(3)(4)(5)aaaaa，则展开式中3a的系数等于 ()A.在2 3 4 5，中所有任取两个不同的数的乘积之和；B.在2 3 4 5，中所有任取三个不同的数的乘积之和；C.在
6、2 3 4 5，中所有任取四个不同的数的乘积之和；D.以上结论都不对.【答案】A【解析】由二项式定理可知展开式中3a的系数等于在2 3 4 5，中所有任取两个不同的数的乘积之和.16.某人驾驶一艘小游艇位于湖面A处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东2o方向，且塔顶的仰角为8o，此人驾驶游艇向正东方向行驶 1000 米后到达B处，此时测得塔底位于北偏西39o方向，则该塔的高度约为 （）A.265 米 B.279 米 C.292 米 D.306 米【答案】C【解析】000sin5sin60 cos69 tan87292.728oooo米.三三.解答题解答题（本大题共（本大题共 5 题，共题，共 1
7、4+14+14+16+18=76 分）分）17.（本题满分本题满分 1212 分，第分，第 1 1 小题小题 6 6 分，第分，第 2 2 小题小题 8 8 分）分）如图，在正六棱锥PABCDEF中，已知底边为 2，侧棱与底面所成角为60.-4-（1）求该六棱锥的体积V；（2）求证：PACE 【答案】（1）12；（2）见解析.【解析】（1）连接BE、AD，设交点为O，连接PO PABCDEFQ为正六棱锥 ABCDEF为正六边形 侧棱与底面所成角即PBO 2 3PO 116 3 2 31233VS h （2）PO Q面ABCDEF，CE 面ABCDEF P OC E Q底面为正六边形 A OC
8、E QA OP OO CE面PAO QPA面PAO C EP A 18.（本题满分本题满分 1414 分，第分，第 1 1 小题小题 7 7 分，第分，第 2 2 小题小题 7 7 分）分）请解答以下问题，要求解决两个问题的方法不同.（1）如图 1，要在一个半径为 1 米的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD，如何截取？并求出这个最大矩形的面积.（2）如图 2，要在一个长半轴为 2 米，短半轴为 1 米的半个椭圆铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD，如何截取？并求出这个最大矩形的面积.图 1 图 2 【答案】（1）1（2）2【解析】（1）设(01)OAxx，1OD Q 21ADx 221
9、Sxx -5-22211122xxxx Q 当且仅当21xx，即22x 时等号成立 1212S（3）椭圆方程为221(01)4xyy 设(2cos,sin)0,C 2 2cossin2sin2S 当且仅当sin1，即4时取得最大值 面积最大值为 2，此时2OB，22BC.19.19.（本题满分本题满分 1414 分，第分，第 1 1 小题小题 6 6 分，第分，第 2 2 小题小题 8 8 分）分）设na是等差数列，公差为d，前n项和为nS.（1）设140a，638a，求nS的最大值.（2）设11a，*2()nanbnN，数列nb的前n项和为nT，且对任意的*nN，都有20nT，求d的取值范围
10、.【答案】（1）2020（2）29-,log10【解析】（1）有等差数列可知，1(1)naand，由140a，638a 可知d=2-5，由240(1)05nan可得，101n，所以当n=100 或者n=101 时取得最大值，由公式可知为 2020.（2）设1(1)nad n，得122(2)naddnnb，可知nb为等比数列，Q对任意的*nN，都有20nT 12lim201 21 2nddbT恒成立且21d d 29-,log10 -6-20.20.（本题满分（本题满分 1818 分，第分，第 1 1 小题小题 5 5 分，第分，第 2 2 小题小题 6 6 分，第分，第 3 3 小题小题 7
11、7 分）分）已知抛物的准线方程为02 yx.焦点为 1,1F.（1）求证：抛物线上任意一点P的坐标yx,都满足方程：;088222yxyxyx（2）请支出抛物线的对称性和范围，并运用以上方程证明你的结论；（3）设垂直于x轴的直线与抛物线交于BA、两点，求线段AB的中点M的轨迹方程.【答案】（1）见解析（2）关于xy 对称1,1-yx。（3）4 xy（在抛物线内）【解析】（1）根据定义得：221122yxyx;088222yxyxyx啊（2）将yx,对称互换方程没有发生变化，若yxP,在图像上xyP,也在图像上，所以图像关于xy 对称，10088222yyyxyx，1x同（3）设 2211,yx
12、ByxA，4,088222ttMyxyxyxtx所以中点的轨迹方程是4 xy（在抛物线内）21.21.（本题满分（本题满分 1818 分，第分，第 1 1 小题小题 5 5 分，第分，第 2 2 小题小题 6 6 分，第分，第 3 3 小题小题 7 7 分）分）现定义：设a是非零实常数，若对于任意的Dx，都有xafxaf，则称函数 xfy 为“关于的a偶型函数”（1）请以三角函数为例，写出一个“关于 2 的偶型函数”的解析式，并给予证明（2）设定义域为的“关于的a偶型函数”在区间a,-上单调递增，求证在区间,a上单调递减（3）设定义域为R的“关于21的偶型函数”xfy 是奇函数，若*Nn，请猜
13、测 nf的值，并用数学归纳法证明你的结论【答案】（1）2cosxy答案不唯一 （2）证明见解析（3）0nf【解析】（1）xfxfxxfxxfxy22cos2),cos()2(2cos，的（2）xfxafxafxaf2.任取axaxaaxx,22,2121啊因为函数在a,-单调递增，所以 212122xfxfxafxaf.所以函数在,a上单调递减（3）猜测 xfy 数学归纳法：-7-1.当1n时 102121ffxfxf因为 xfy 是奇函数，所以 01 f得证 2.假设当*Nkkn，0kf成立，因为xfxfxfxf12121，又因为奇函数所以 xfxfxfxf1，所以当*1Nkkn时，01kfkf，所以得证。
