1、第第8484讲讲 22211.(2 0 1 1)2 1xyAxyBx yA B 已知、均为实数，求证：，并说明等号何常州期末卷时成立 2222222212222110.1A BxyxyxxxyyxxxyxABxy因为，解析：所以当且仅当时，等号成立242.90 xxx若，求的最小值322233min29994223 223929(4)3 36.xxxxxxxxxxx，当且仅当时，等号成立所以解析：2222223.a bx ya xb y 已知，求 的取值范围22222422,2abxyaxbyaxbyaxby利用柯西不等式，有，故，则的取值范是解围析：1 111()2 34.An nn N比较
2、与的大小111111231.AnnnnnA nnn 解，故析 为：因 23323311118218511.xxxxxxxxxxxR设是 正 数，求 证：；若，不 等 式是否 仍 然 成 立？如 果 仍 成 立，请 给 出 证 明；如 果 不成 立，请 举 出 一 个 使 它 不 成 立 的 的 值 2323343222210120120,1201118.210101121 11311()0.24xxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx R因为，所以，三个同向正值不等式相乘得时原不等式仍然成立 思路：分类讨论、证；思路：左边解析：利用均值不等式证明利用均值不等式证明不等式不等式 123
3、1231231 1 1 9.1 a a aa a a ma a a m 设，均为正数，且，求证：【例】123123123123123123123111()111 ()()3 39301119.maaaaaaaaaaaamaaamaaaaaam因 为，当 且 仅 当时 等 号 成 立 又 因 为，所 以【解 析】要能够根据式子的结构特征构造应用均值不等式使用的条件，同时要注意检验等号成立的条件 【变式练习1】a,b,cR，求证 2 22 22 22()abbc ca a b c 222222222222222()222()22abababaabbabababababab因为，所以，即，两边开算术
4、平方：得解析22222222222()22 ()2 2()bcbccacaabbccaabc同理可得，三式相加，得应用柯西不等式证明应用柯西不等式证明不等式不等式 22326 2 112.xyx y 已知【，求证：例】222222221(2)(3)(3)()()324111 (32)()611326211.xyxyxyxy 由柯西不等式得，所以【证明】要能够根据式子的结构特征构造应用柯西不等式使用的条件，同时要注意检验等号成立的条件 222221111.a b b aa b 已知，【变式练习求证：】222222222222222211(1)(1)11,.111111.abbaaabbbbaaa
5、baba babab由柯西不等式，当且仅当时 上式取等号所以即明，证】于是【例3】a+b+c=1，求证：.22213abc不等式证明方法的不等式证明方法的应用应用【解析】方法1：综合法 因为a2+b2+c2=(a+b+c)2-(2ab+2bc+2ac)(a+b+c)2-2(a2+b2+c2),所以3(a2+b2+c2)(a+b+c)2=1.所以 .22213abc方法2：比较法 因为 ,所以 .22222222222221()331(222222)31()()()03a b cabcabcabcabbcaca bb ca c 22213abc (1)综合法的思维特点是执因索果.根本不等式以及一
6、些已经得证的不等式往往与特征的不等式有着这样或那样的联系，作由此及彼的联想往往能启发我们证明的方向.(2)证明不等式的常用的方法有：比较法、综合法、分析法，它们各有其优点.解题有法，但无定法，具体运用时，应该对具体问题的特点作具体分析，选择适宜的方法.当问题比较复杂时，通常用分析法寻找证明的思路，而用综合法来表达、表达整个证明过程.另外此题也可用柯西不等式证明如下：因为(12+12+12)(a2+b2+c2)(a+b+c)2=1,即3(a2+b2+c2)1,所以 22213abc【变式练习3】a+b+c=0，求证：ab+bc+ca0.【证明】方法1：综合法 因为a+b+c=0，所以(a+b+c
7、)2=0，展开，得ab+bc+ca=.所以ab+bc+ca0.2222abc22222222000102abbccaabcabbccaabcabcabbccaabbcac方法：分析法要证，因为，故只需证，即证，即，显然成立，所以原式成立22222303()024abccababbccaabab cababababbba 方法：因为，所以，所以11.4 9ababab已知，为正数，求证：。00144()()54149529.abbaabababbaababab【证明】因为，所以，所以33312.2.3abca b ca b c 设，为正实数，求证：33333336333301132323.1“”
8、3123.abcabca b ca b ca ba b ca b ca b cabcabca b c因 为，为 正 实【证数，所 以，又当 且 仅 当时所明取以】222222121211223.11.1.nnnna aax xxa xa xa x 已知，求证：1 1221 12211222222221212|()()1nnnnnna xa xa xa xa xa xaaaxxx由柯西【证不等式可得，故原不明】等式得证4.(2 0 1 161 4)3x xxaa宿迁市一模卷若存在实数使成立，求常数的取值范围 2361432114(32114)3 12 14643614810(8)xxxxxxxx
9、xxxa ，由柯西不等式得，所以，当且仅当时取“”，于是，常数 的取值范围是解，析：1.利用柯西不等式的关键在于正确理解柯西不等式，掌握它的各种结构，根据所给的式子，联想二维和三维柯西不等式，通过变形构造模型(有难度的通常要逐步调整去构造).2.比较法证明不等式的步骤：作差变形判定，关键是变形.常见变形手段有因式分解、配方、通分、有理化及放缩法.3.分析法是“执果索因，综合法是“由因导果，它们的论证顺序相反.常利用分析法从要证的问题入手，逐步推求，再用综合法逐步完善，最后找到起始条件.4.反证法是假定原命题不成立，经过正确推理，最后得出矛盾，说明假定错误，从而证明了原命题成立.一般在利用综合法、分析法比较困难时才用反证法，即“正难那么反.反证法是证明不等式的间接方法.5.比较法、分析法、综合法和反证法四种方法是证明不等式的根本方法，特别提醒的是对较复杂的命题往往要运用多种方法，甚至利用函数法，换元法等.