1、2023年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准B卷说明：1评阅试卷时，请依据本评分标准选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次2如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次一、选择题此题总分值36分，每题6分1函数在上的最小值是 B A3 B2 C1 D0解 当时，因此，当且仅当时上式取等号而此方程有解，因此在上的最小值为22设，假设，那么实数的取值范围为 A A B C D 解 因有两个实根 ，故等价于
2、且，即且，解之得3甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，那么比赛停止时已打局数的期望为 C A. B. C. D. 解法一 依题意知，的所有可能值为2，4，6.设每两局比赛为一轮，那么该轮结束时比赛停止的概率为 假设该轮结束时比赛还将继续，那么甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响从而有，故解法二 依题意知，的所有可能值为2，4，6.令表示甲在第局比赛中获胜，那么表示乙在第局比赛中获胜由独立性与互不相容性得， ， ，故4假设三个棱
3、长均为整数单位：cm的正方体的外表积之和为564 cm2，那么这三个正方体的体积之和为 D A. 586 cm3 B. 586 cm3或564 cm3 C. 764 cm3 D. 764 cm3或586 cm3解 设这三个正方体的棱长分别为，那么有，不妨设，从而，故只能取9，8，7，6假设，那么，易知，得一组解假设，那么，但，从而或5假设，那么无解，假设，那么无解此时无解假设，那么，有唯一解，假设，那么，此时，故，但，故，此时无解综上，共有两组解或体积为cm3或cm35方程组的有理数解的个数为 C A. 4 B. 3 C. 2 D. 1解 假设，那么解得或假设，那么由得 由得 将代入得 由得，
4、代入化简得.易知无有理数根，故，由得，由得，与矛盾，故该方程组共有两组有理数解或6设的内角所对的边成等比数列，那么的取值范围是 B A. B. C. D. 解 设的公比为，那么，而 因此，只需求的取值范围因成等比数列，最大边只能是或，因此要构成三角形的三边，必需且只需且即有不等式组即解得从而，因此所求的取值范围是二、填空题此题总分值54分，每题9分7设，其中为实数，假设，那么 17 .解 由题意知，由得，因此，因此8设的最小值为，那么解 ，(1) 时，当时取最小值；(2) 时，当时取最小值1；(3) 时，当时取最小值又或时，的最小值不能为，故，解得，(舍去)9将24个志愿者名额分配给3个学校，
5、那么每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 222种解法一 用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用表示名额如 表示第一、二、三个学校分别有4，18，2个名额假设把每个“与每个“都视为一个位置，由于左右两端必须是“，故不同的分配方法相当于个位置两端不在内被2个“占领的一种“占位法“每校至少有一个名额的分法相当于在24个“之间的23个空隙中选出2个空隙插入“，故有种又在“每校至少有一个名额的分法中“至少有两个学校的名额数相同的分配方法有31种综上知，满足条件的分配方法共有25331222种解法二设分配给3个学校的名额数分别为，那么每校至少有一个名额的分法数为不定方程的正整数解的个数，即方
6、程的非负整数解的个数，它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合：又在“每校至少有一个名额的分法中“至少有两个学校的名额数相同的分配方法有31种综上知，满足条件的分配方法共有25331222种10设数列的前项和满足：，那么=解 ，即 2 =，由此得 2令， ()，有，故，所以因此11设是定义在上的函数，假设 ，且对任意，满足 ，那么=解法一 由题设条件知 ，因此有，故 解法二 令，那么 ，即，故，得是周期为2的周期函数，所以12一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，那么该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 答12图1解 如答12图1，考虑小球挤在一个角时的
7、情况，记小球半径为，作平面/平面，与小球相切于点，那么小球球心为正四面体的中心，垂足为的中心因 ，故，从而记此时小球与面的切点为，连接，那么考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为)相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为，如答12图2记正四面体的棱长为，过作于答12图2 因，有，故小三角形的边长小球与面不能接触到的局部的面积为如答12图2中阴影局部 又，所以由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为三、解答题此题总分值60分，每题20分13函数的图像与直线 有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为，求证： 答13图证 的图象与直线 的三个交点如
8、答13图所示，且在内相切，其切点为，5分 由于，所以，即 10分因此 15分 20分14解不等式解法一 由，且在上为增函数，故原不等式等价于即 5分分组分解 ，10分所以， 15分所以，即故原不等式解集为 20分解法二 由，且在上为增函数，故原不等式等价于5分即， ， 10分令，那么不等式为， 显然在上为增函数，由此上面不等式等价于 ， 15分即，解得，故原不等式解集为 20分题15图15如题15图，是抛物线上的动点，点在直线上，圆内切于，求面积的最小值解 设，不妨设直线的方程:，化简得 又圆心到的距离为1， ， 5分故，展开得，易知，故，同理有 10分所以，因是抛物线上的点，有，即，那么，故， 15分所以 当时，上式取等号，此时因此的最小值为8 20分