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2023年全国高中数学联合竞赛一试B卷高中数学.docx

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1、2023年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准B卷说明:1评阅试卷时,请依据本评分标准选择题只设6分和0分两档,填空题只设9分和0分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次2如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中5分为一个档次,不要增加其他中间档次一、选择题此题总分值36分,每题6分1函数在上的最小值是 B A3 B2 C1 D0解 当时,因此,当且仅当时上式取等号而此方程有解,因此在上的最小值为22设,假设,那么实数的取值范围为 A A B C D 解 因有两个实根 ,故等价于

2、且,即且,解之得3甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止设甲在每局中获胜的概率为,乙在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立,那么比赛停止时已打局数的期望为 C A. B. C. D. 解法一 依题意知,的所有可能值为2,4,6.设每两局比赛为一轮,那么该轮结束时比赛停止的概率为 假设该轮结束时比赛还将继续,那么甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响从而有,故解法二 依题意知,的所有可能值为2,4,6.令表示甲在第局比赛中获胜,那么表示乙在第局比赛中获胜由独立性与互不相容性得, , ,故4假设三个棱

3、长均为整数单位:cm的正方体的外表积之和为564 cm2,那么这三个正方体的体积之和为 D A. 586 cm3 B. 586 cm3或564 cm3 C. 764 cm3 D. 764 cm3或586 cm3解 设这三个正方体的棱长分别为,那么有,不妨设,从而,故只能取9,8,7,6假设,那么,易知,得一组解假设,那么,但,从而或5假设,那么无解,假设,那么无解此时无解假设,那么,有唯一解,假设,那么,此时,故,但,故,此时无解综上,共有两组解或体积为cm3或cm35方程组的有理数解的个数为 C A. 4 B. 3 C. 2 D. 1解 假设,那么解得或假设,那么由得 由得 将代入得 由得,

4、代入化简得.易知无有理数根,故,由得,由得,与矛盾,故该方程组共有两组有理数解或6设的内角所对的边成等比数列,那么的取值范围是 B A. B. C. D. 解 设的公比为,那么,而 因此,只需求的取值范围因成等比数列,最大边只能是或,因此要构成三角形的三边,必需且只需且即有不等式组即解得从而,因此所求的取值范围是二、填空题此题总分值54分,每题9分7设,其中为实数,假设,那么 17 .解 由题意知,由得,因此,因此8设的最小值为,那么解 ,(1) 时,当时取最小值;(2) 时,当时取最小值1;(3) 时,当时取最小值又或时,的最小值不能为,故,解得,(舍去)9将24个志愿者名额分配给3个学校,

5、那么每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 222种解法一 用4条棍子间的空隙代表3个学校,而用表示名额如 表示第一、二、三个学校分别有4,18,2个名额假设把每个“与每个“都视为一个位置,由于左右两端必须是“,故不同的分配方法相当于个位置两端不在内被2个“占领的一种“占位法“每校至少有一个名额的分法相当于在24个“之间的23个空隙中选出2个空隙插入“,故有种又在“每校至少有一个名额的分法中“至少有两个学校的名额数相同的分配方法有31种综上知,满足条件的分配方法共有25331222种解法二设分配给3个学校的名额数分别为,那么每校至少有一个名额的分法数为不定方程的正整数解的个数,即方

6、程的非负整数解的个数,它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合:又在“每校至少有一个名额的分法中“至少有两个学校的名额数相同的分配方法有31种综上知,满足条件的分配方法共有25331222种10设数列的前项和满足:,那么=解 ,即 2 =,由此得 2令, (),有,故,所以因此11设是定义在上的函数,假设 ,且对任意,满足 ,那么=解法一 由题设条件知 ,因此有,故 解法二 令,那么 ,即,故,得是周期为2的周期函数,所以12一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动,那么该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 答12图1解 如答12图1,考虑小球挤在一个角时的

7、情况,记小球半径为,作平面/平面,与小球相切于点,那么小球球心为正四面体的中心,垂足为的中心因 ,故,从而记此时小球与面的切点为,连接,那么考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为)相切时的情况,易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形,记为,如答12图2记正四面体的棱长为,过作于答12图2 因,有,故小三角形的边长小球与面不能接触到的局部的面积为如答12图2中阴影局部 又,所以由对称性,且正四面体共4个面,所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为三、解答题此题总分值60分,每题20分13函数的图像与直线 有且仅有三个交点,交点的横坐标的最大值为,求证: 答13图证 的图象与直线 的三个交点如

8、答13图所示,且在内相切,其切点为,5分 由于,所以,即 10分因此 15分 20分14解不等式解法一 由,且在上为增函数,故原不等式等价于即 5分分组分解 ,10分所以, 15分所以,即故原不等式解集为 20分解法二 由,且在上为增函数,故原不等式等价于5分即, , 10分令,那么不等式为, 显然在上为增函数,由此上面不等式等价于 , 15分即,解得,故原不等式解集为 20分题15图15如题15图,是抛物线上的动点,点在直线上,圆内切于,求面积的最小值解 设,不妨设直线的方程:,化简得 又圆心到的距离为1, , 5分故,展开得,易知,故,同理有 10分所以,因是抛物线上的点,有,即,那么,故, 15分所以 当时,上式取等号,此时因此的最小值为8 20分

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